my math problem collection

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

125. จงแก้ระบบสมการ

$$\frac{1}{\sqrt{1+2x^2}}+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} = \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}.............(1)$$
$$\sqrt{x(1-2x)}+\sqrt{y(1-2y)} = \frac{2}{9}.............(2)$$

จากสมการ 2 เราได้ว่า $0\leqslant x\leqslant\frac{1}{2},0\leqslant y\leqslant\frac{1}{2} \Rightarrow 0\leqslant xy\leqslant\frac{1}{4} $

lemma 1 : ถ้า $a,b\geqslant 0, ab\leqslant 1$ แล้ว $ \frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2} \leqslant \frac{2}{1+ab} $

จับมาลบอีกด้านจะได้ $$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}-\frac{2}{1+ab}=\frac{(a-b)^2(ab-1)}{(1+a^2)(1+b^2)(1+ab)} \leqslant0$$
อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a=b \vee ab=1$

lemma 2 : ถ้า $a,b\geqslant 0, ab\leqslant 1$ แล้ว $ \frac{1}{\sqrt{1+a^2} }+\frac{1}{\sqrt{1+b^2}} \leqslant \frac{2}{\sqrt{1+ab}} $

จับยกกำลังสองจะได้ $$\frac{1}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{2}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}\leqslant \frac{4}{1+ab} $$
แต่จากโคชีจะได้ $$\frac{2}{\sqrt{(1+a^2)(1+b^2)}}\leqslant\frac{2}{1+ab} $$
และโดย Lemma 1 จะได้ว่า อสมการข้างบนเป็นจริง
อสมการจะเป็นสมการเมื่อ $a=b$

แทน $a=\sqrt{2}x,b=\sqrt{2}y $ ใน lemma 2 จะได้ $$ \frac{1}{\sqrt{1+2x^2} }+\frac{1}{\sqrt{1+2y^2}} \leqslant \frac{2}{\sqrt{1+2xy}}$$
แต่จากสมการ 1 แสดงว่าอสมการเป็นสมการจะได้ $x=y$ แทนลงในสมการ 2 จะได้
$$\sqrt{x(1-2x)}=\frac{1}{9}\Rightarrow 162x^2-81x+1=0 \Rightarrow (x-\frac{1}{4} )^2=\frac{73}{1296} \Rightarrow x= \frac{9\pm \sqrt{73} }{36} $$
$\therefore (x,y)=(\frac{9+\sqrt{73} }{36},\frac{9+\sqrt{73} }{36}),(\frac{9-\sqrt{73} }{36},\frac{9-\sqrt{73} }{36})$
ยากเกินไปครับคุณ -InnoXenT- (สำหรับ ม.ปลายน่ะ)

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

130. จงแก้สมการ

$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7} = \sqrt[4]{x+80}$$

จะได้ $x\geqslant 0$ จะเห็นว่า $x=1$ เป็นคำตอบของสมการนี้
ถ้า $x<1 \Rightarrow \sqrt[4]{x+80}>\frac{3}{2} \sqrt[3]{x+7} $ จะได้
$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7} = \sqrt[4]{x+80}>\frac{3}{2} \sqrt[3]{x+7}\Rightarrow 2\sqrt{x}>\sqrt[3]{x+7}\Rightarrow x>1$$ เกิดข้อขัดแย้ง
ถ้า $x>1\Rightarrow \sqrt[4]{x+80}<\frac{3}{2} \sqrt[3]{x+7} $ จะได้
$$\sqrt{x}+\sqrt[3]{x+7} = \sqrt[4]{x+80}<\frac{3}{2} \sqrt[3]{x+7}\Rightarrow
2\sqrt{x}<\sqrt[3]{x+7}\Rightarrow x<1$$ เกิดข้อขัดแย้ง
$\therefore x=1$ เท่านั้น
คิดได้วิธีนี้สวยสุดแล้ว ผมทำวิธีอื่นแล้วเน่ามาก

[Suwiwat B]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lnพwsะบุ๑sสุ๑xล่o

$$(n^2+3n)^2+2n^2+3n+31$$
$$=(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)(1)+(-3n+31)$$
$$=(n^2+3n+1)^2$$
$$-3n+31=1 $$
$$\therefore n=10$$

เหมือนกลับมาปลุกกระทู้หลังจากผ่านไป 5-6 ปีได้ มาขูดสนิมสักหน่อยหลังจากหายไปนาน

ข้อนี้หลังจากได้ลองดูดีๆ แล้วยังเหลือว่า ตัวเลขอื่นๆ ที่ไม่ใช่ $n=10$ มีตัวอื่นมั้ยที่ทำให้เกิดกำลังสองสมบูรณ์ ซึ่งไม่มี เราจะแสดงได้อย่างไร

โดยการสังเกตว่า $(n^2+3n+2)^2-(n^2+3n+1)^2=2n^2+6n+3$ และ $(n^2+3n+1)^2-(n^2+3n)^2=2n^2+6n+1$ ก็คือดูผลต่างของเลขกำลังสอง สองตัวที่อยู่คิดกันครับ แยกคิดออกมาก่อนครับ

Case 1: $n>10$ เราจะได้ว่า $3(n-10) > 2n^2 + 6n+1$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้
Case 2: $n<-6$ เราจะได้ว่า $3(10-n) > 2n^2+6n+3$ ซึ่งเป็นไปไม่ได้

ตอนนี้เหลือแค่ n ตั้งแต่ -6 ถึง 9 ผมก็นั่งไล่แทนไปเลยครับ (จริงๆ อาจจะมีวิธีที่ดีกว่านี้) ตอนนี้ยังคิดไม่ออกครับ ไล่แทนไปก็จะเห็นว่าไม่มีตัวอื่นแล้วจริงๆครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

121. กำหนดสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า ถ้า

$$\frac{\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C}}{\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}} = 2$$

แล้ว ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก

เคาะสนิมเหมือนกันครับๆ 555

$\displaystyle\frac{\sin^2{A} + \sin^2{B}+\sin^2{C}}{\cos^2{A}+\cos^2{B}+\cos^2{C}} = 2$

$\displaystyle \Longleftrightarrow 1=\cos^2 A+\cos^2 B+ \cos^2 (A+B)$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \sin^2 A = \cos^2 B+\cos^2(A+B) =\cos^2 B+ \cos^2 A\cos^2 B+ \sin^2 A\sin^2 B-2\sin A\sin B\cos A\cos B$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \sin^2 A\cos^2 B = \cos^2 B+\cos^2 A\cos^2 B-2\sin A\sin B\cos A\cos B$

$\displaystyle \Longleftrightarrow \cos(A+B)=0$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

122. กำหนดให้ $a,b,c,d \in \mathbf{R}$ ที่ทำให้ $a^6+b^6+c^6+d^6 = 3^6$ จงหาค่าสูงสุดของ

$$(a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6$$

เเทน $a=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{13}, b=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{15}, c=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{17}, d=\dfrac{3}{2}\sqrt[6]{19}$ ได้ว่า expression มีค่า $5^6$

ให้ $ a=\dfrac{3}{2}x, b=\dfrac{3}{2}y, c=\dfrac{3}{2}z, d=\dfrac{3}{2}w \longrightarrow x^6+y^6+z^6+w^6=2^6$

พิจารณาอสมการ power mean $$\left(\dfrac{\dfrac{3}{2}x+t}{5}\right )^{1/1}=\dfrac{1}{2}\left(\frac{x+x+x+t+t}{5}\right)^{1/1}\le \frac{1}{2}\left(\frac{x^6+x^6+x^6+t^6+t^6}{5}\right)^{1/6}\Longrightarrow (a+t)^6\le 5^5\left(\dfrac{3\cdot x^6+2t^6}{2^6}\right)$$
ดังนั้น $\displaystyle (a+\sqrt[6]{13})^6+(b+\sqrt[6]{15})^6+(c+\sqrt[6]{17})^6+(d+\sqrt[6]{19})^6\le 5^5\left(\dfrac{3\cdot(x^6+y^6+z^6+w^6)+2\cdot (13+15+17+19)}{2^6}\right)=5^6$