NT

[nuv]

จงหา $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $1+5\times 2^m=n^2$

[Wayu]

จงหา $m,n$ เป็นจำนวนเต็มบวกที่ $1+5\times 2^m=n^2$

Solution

ลบ1 ;5$\times$$2^m$=$n^2$-1$\rightarrow$5$\times$$2^m$=$(n-1)(n+1)$
$\therefore$ $n-1 หรือ n+1$ จะเขียนในรูป 2$\times$k,2 $\nmid$ k , k$\in$Z+
($\because$ ถ้า n-1หรือ n+1 คือ 2^y,y$\geqslant$2,y$\in$Z+ จะได้ว่า n+1 หรือ n-1=$2^y$+2 หรือ $2^y$-2)
(ซึ่ง $2^g$ $\nmid$ $2^y$+2 และ $2^y$-2,g$\geqslant$2)
กรณี 1 n-1 เขียนในรูป 2$\times$k,2 $\nmid$ k
1.1 $n-1=2$ (เป็นจริงเมื่อ 5$\mid$$n+1$)
$\therefore$$n=3$ $\rightarrow$ $n+1=4$ แทนแล้วขัดแย้ง
1.2 $n+1=10$
$\therefore$ให้ n-1=10... แทนแล้วขัดแย้ง
กรณี 2 n-1 เขียนในรูป 2$\times$k,2 $\nmid$ k
2.1 $n+1=2$ (เป็นจริงเมื่อ 5$\mid$$n-1$)
$\therefore$$n=1$ $\rightarrow$ $n-1=0$ แทนแล้วขัดแย้ง
2.2 $n+1=10$
$\therefore$$n=9$ $\rightarrow$ $n-1=8$ ... แทนค่า
ได้ค่า $m$ ที่ $m$$\in$Z+ คือ 4 และ n=9
$\therefore$$(m,n)$=$(4,9)$