ข้อสอบคัดผู้แทนศูนย์มหิดล 2563

[Leng เล้ง]

สอบวันที่ 18 มีนาคม 2563
ช่วงเช้า 8.30-12.00น.

$1. \ ให้\ A,\ B\ เป็นเซตของจำนวนจริง\ โดยที่\ |A|=11 \ และ\ B=\left\{\,uv \ | \ u,v \in A \ และ \ u\not= v\right\}$
$จงแสดงว่า\ ค่าน้อยสุดของ\ |B|\ เป็น \ 17$

$2. \ ให้\ ABC \ เป็นรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่ \ AB=AC \ และมี\ I \ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมแนบใน\ วาดวงกลม\ 3\ วง\ ดังนี้$
$\Gamma _1 \ เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ \ A \ และมี \ AB \ เป็นรัศมี$
$\Gamma _2 \ เป็นวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ \ I \ และมี \ IB \ เป็นรัศมี$
$\Gamma _3 \ เป็นวงกลมที่ผ่านจุด \ I\ และ\ B \ โดยที่\ \Gamma _3 \ ตัดกับ\ \Gamma _1 \ และ\ \Gamma _2 \ ที่จุด \ P\ และ\ Q\ ตามลำดับ$
$ให้ \ R \ เป็นจุดตัดของ \ BQ \ กับ \ IP \ $
$จงพิสูจน์ว่า \ CR \ ตั้งฉากกับ\ BR$

$3.\ ให้\ f(x)\ เป็นพหุนาม\ ในแต่ละครั้งของการดำเนินการสามารถเลือกได้อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้$
$\quad (i)\ \ x^2\cdot f(\frac{1}{x} +1)\ $
$\quad (ii)\ (x-1)^2\cdot f(\frac{1}{x-1})\ $
$จงพิจารณาว่า\ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะดำเนินการกับพหุนาม\ x^2+4x+3\ เป็นจำนวนจำกัดครั้ง\ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น\ x^2+10x+9$

$4.\ ให้\ a\ เป็นจำนวนนับ\ โดยที่\ a>1\ และ$

$S=\left\{\,a^2+a-1,a^3+a^2-1,a^4+a^3-1,...\right\}$

$จงแสดงว่า\ มีสับเซตอนันต์\ T\subset S\ ซึ่งแต่ละสมาชิกของ\ T\ เป็นจำนวนเฉพาะสัมพัทธ์กัน$

ช่วงบ่าย 13.00-16.00น.

$5.\ จงหาจำนวนเต็มบวก\ k\leqslant 105\ ทั้งหมดที่ทำให้\ \frac{1!2!3!...100!}{k!}\ เป็นกำลังสองสมบูรณ์$

$6.\ ให้\ x,y,z\ เป็นจำนวนจริงบวก\ โดยที่\ x,y,z\in\left[\frac{1}{2},2\right] $
$\quad 6.1\ จงพิสูจน์ว่า\ 4xy+4\leqslant 5x+5y$
$\quad \!6.2\ จงหาค่าต่ำสุดของ\ \frac{60x^2-1}{4xy+5z} +\frac{60y^2-1}{4yz+5x}+\frac{60z^2-1}{4zx+5y}$

$7.\ ให้\ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ เป็นฟังก์ชัน\ จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชัน\ f\ ที่สอดคล้องกับ$

$3f(-n^2+3n+1)-2f(n)^2=5$

$สำหรับทุกๆ\ จำนวนเต็ม\ n\ หรือไม่\ เพราะเหตุใด\ ถ้ามี\ จงยกตัวอย่างฟังก์ชัน\ f\ ดังกล่าว$

$8.\ กำหนด\ ABCDEF\ เป็นรูปหกเหลี่ยมนูนแนบในวงกลม\ โดยที่\ ACE\ เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม$
$ให้\ M,N,P,Q,R,S\ เป็นจุดกึ่งกลางของ\ AC,BD,CE,DF,EA,FB\ ตามลำดับ$
$ให้\ U,V\ เป็นจุดตัดของ\ AC\ กับ\ BD,BF\ ตามลำดับ$
$ให้\ W,X\ เป็นจุดตัดของ\ CE\ กับ\ DF,DB\ ตามลำดับ$
$ให้\ Y,Z\ เป็นจุดตัดของ\ EA\ กับ\ FD,FB\ ตามลำดับ$
$\quad 8.1\ จงแสดงว่า\ UX,VY,WZ\ ตัดกันที่จุดเดียว$
$\quad 8.2\ ถ้า\ M,N,P,Q,R,S\ มีวงกลมล้อมรอบ\ แล้วจงแสดงว่า\ EM,FN,AP,BQ,CR,DS\ ตัดกันที่จุดเดียว$

[Leng เล้ง]

ผู้แทนศูนย์ ตัดที่ 21 คะแนน

[Napper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง

$3.\ ให้\ f(x)\ เป็นพหุนาม\ ในแต่ละครั้งของการดำเนินการสามารถเลือกได้อย่างใดอย่างหนึ่งต่อไปนี้$
$\quad (i)\ \ x^2\cdot f(\frac{1}{x} +1)\ $
$\quad (ii)\ (x-1)^2\cdot f(\frac{1}{x-1})\ $
$จงพิจารณาว่า\ เป็นไปได้หรือไม่ที่จะดำเนินการกับพหุนาม\ x^2+4x+3\ เป็นจำนวนจำกัดครั้ง\ แล้วได้ผลลัพธ์เป็น\ x^2+10x+9$

ข้อนี้สังเกตว่าการดำเนินการสองอันนี้เป็นอินเวอร์สกันและกัน (ถ้าเรียน Linear algebra แล้ว จะมองเป็น linear transformation ก็ได้ ซึ่งเมทริกซ์การแปลงของสองอันนี้เป็นอินเวอร์สกันและกัน) ดังนั้น การทำการดำเนินการสองอันนี้ซ้ำๆกันก็จะตัดกันจนเหลือแค่อันใดอันหนึ่ง และจบการพิสูจน์ด้วยการแสดงว่าถ้าทำการดำเนินการอันใดอันหนึ่งซ้ำๆแล้วจะไม่มีทางได้ผลลัพธ์ที่ต้องการ

การดำเนินการดังกล่าวกับพหุนามดีกรีไม่เกินสองนั้น จะได้ผลลัพธ์เป็นพหุนามดีกรีไม่เกินสองตลอด ดังนี้ (ตามลำดับ)

(1) $\quad ax^2+bx+c \quad \mapsto \quad (a+b+c)x^2+(2a+b)x+a$

(2) $\quad ax^2+bx+c \quad \mapsto \quad cx^2+(b-2c)x+(a-b+c)$

เพื่อความสะดวก จะเขียนเฉพาะสัมประสิทธิ์ของพหุนาม ได้ว่าการดำเนินการเหล่านี้คือ

(1) $\quad L_1 \quad : \quad (a,b,c) \quad \mapsto \quad (a+b+c,2a+b,a)$

(2) $\quad L_2 \quad : \quad (a,b,c) \quad \mapsto \quad (c,b-2c,a-b+c)$


สังเกตว่า $L_1L_2(a,b,c)=(a,b,c)$ และ $L_2L_1(a,b,c)=(a,b,c)$ หมายความว่าถ้ามีชุดการดำเนินการจำนวนจำกัดชุดหนึ่ง สุดท้ายมันจะตัดกันจนเหลือกำลังของการดำเนินการอันใดอันหนึ่ง เช่น $L_2 L_1 L_2 L_2 L_1 L_2 L_1 L_2 (a,b,c) = L_2^2 (a,b,c)$ ดังนั้น เราสามารถพิจารณาเพียงแค่กรณี $L_1^n(a,b,c)$ และ $L_2^n(a,b,c)$ เมื่อ $n \ge 1$

กรณี 1 $L_1^n(1,4,3)$

$$(1,4,3) \quad \to \quad (8,6,1) \quad \to \quad (15,22,8) \quad \to \quad (45,52,15) \quad \to \quad \cdots$$

สำหรับ $(a,b,c)=(1,4,3)$ ซึ่ง $a,b,c>0$ เมื่อทำการดำเนินการจะได้ว่าทุกตำแหน่งของ $(a+b+c,2a+b,a)$ เป็นบวกหมด นอกจากนี้แล้ว ตำแหน่งแรกของสามสิ่งอันดับหลังการดำเนินการมีค่าเพิ่มขึ้นทุกครั้ง เพราะ $a+b+c>a$ จึงเป็นไปไม่ได้ที่ทำการดำเนินการนี้ซ้ำๆแล้วจะจบที่ $(1,10,9)$

กรณี 2 $L_2^n(1,4,3)$

$$(1,4,3) \quad \to \quad (3,-2,0) \quad \to \quad (0,-2,7) \quad \to \quad (7,-16,9) \quad \to \quad \cdots$$

สังเกตว่าการดำเนินการซ้ำสามครั้งแรกยังไม่ให้ผลลัพธ์ที่ต้องการ แต่หลังจากนี้ การดำเนินการนี้ซ้ำๆจะทำให้เกิดผลลัธ์ $(a,b,c)$ ซึ่ง $a,c>0$ และ $b<0$ เสมอ นั่นคือ ความเป็นบวกลบจะคงสภาพเดิม จึงไม่มีทางที่จะทำการดำเนินการนี้ซ้ำๆกับ $(7,-16,9)$ แล้วจบที่ $(1,10,9)$

สมมติว่า $a,c>0$ และ $b<0$ จะได้ว่า $(a',b',c'):=L_2(a,b,c)=(c,b-2c,a-b+c)$ โดยที่ $a'=c>0$, $b'=b-2c<0$ และ $c'=a-b+c>0$ เป็นอันจบการพิสูจน์

[Napper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Leng เล้ง

$7.\ ให้\ f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \ เป็นฟังก์ชัน\ จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชัน\ f\ ที่สอดคล้องกับ$

$3f(-n^2+3n+1)-2f(n)^2=5$

$สำหรับทุกๆ\ จำนวนเต็ม\ n\ หรือไม่\ เพราะเหตุใด\ ถ้ามี\ จงยกตัวอย่างฟังก์ชัน\ f\ ดังกล่าว$

ลองแทนตัวเลขเล่นแล้วจะได้ว่า $n=1,3$ ทำให้เกิดสองสมการของ $f(1)$ และ $f(3)$ จากนั้นก็แสดงให้เห็นว่าระบบสมการนี้ไม่มีคำตอบ จึงสรุปได้ว่าไม่มีฟังก์ชันใดสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชันนี้

แทน $n=1,3$ ได้

$3f(3)-2f(1)^2 = 5$

$3f(1)-2f(3)^2=5$

เพื่อความสะดวก ให้ $x=f(1)$ และ $y=f(3)$ นั่นคือ

$3y-2x^2=5$

$3x-2y^2=5$

จัดรูป $y$ ให้อยู่ในรูปของ $x$ แล้วแทนค่าสงในอีกสมการ ได้ว่า

$2(2x^2+5)^2-27x+45 = 0$

ต่อไปจะพิสูจน์ว่าไม่มีจำนวนจริง $x=f(1)$ ที่สอดคล้องสมการนี้

โดย AM-GM กับข้างในวงเล็บ ได้อสมการ

$2(2x^2+5)^2-27x+45 \ge 2(4 \cdot 10x^2)-27x+45 = 80x^2-27x+95$

ซึ่งพหุนามกำลังสอง $80x^2-27x+95$ มี discriminant เป็น $\Delta = 27^2-4 \cdot 80 \cdot 95 < 0$ และสัมประสิทธ์นำเป็นบวก จึงได้ว่าพหุนามนี้มีค่ามากกว่า 0 เสมอ แสดงว่าไม่มีจำนวนจริง $x$ ที่สอดคล้องสมการดังกล่าว และทำให้ไม่มีฟังก์ชัน $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ ตามต้องการ