Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 23 ตุลาคม 2020, 14:06
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default Nice formulae in Number Theory

=============================================
Prove that \(\displaystyle \sum_{n\le x}\varphi(n)\left\{\,\dfrac{x}{n}\right\}=\dfrac{x^2}{\zeta(2)}-\dfrac{\left[\,x\right](\left[\,x\right] +1) }{2} +O(\log x)\)
=============================================

Prove that \(\displaystyle \sum_{n\le x}\left\{\,\dfrac{x}{n}\right\} =(1-\gamma)x+O(\sqrt{x})\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle \sum_{\substack{1\le k\le n\\\gcd(k,n)=1}} k=\dfrac{n}{2}\varphi(n)\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle\prod_{d|n}d=n^{\tau(n)/2}\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle\sum_{n\le x}\dfrac{\tau(n)}{n}=\dfrac{1}{2}\log^2 x+2\gamma\log x+(\gamma^2-\gamma_1)+O\left(\dfrac{\log x}{x}\right)\)
=============================================
Prove that \(\displaystyle\sum_{n\le x} \dfrac{\mu(n)}{n^2}=\dfrac{1}{\zeta(2)}+O\left(\dfrac{\log x}{x}\right)\Longrightarrow \sum_{n\ge 1} \dfrac{\mu(n)}{n^2}=\dfrac{1}{\zeta(2)}\)
=============================================
__________________
Vouloir c'est pouvoir

04 มกราคม 2021 15:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 24 ตุลาคม 2020, 23:35
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

Difficult ones, and I've just seen it.
$$\pi(x)=\sum_{1\not =k\le x}\left\lfloor\,\dfrac{\varphi(k)}{k-1}\right\rfloor $$
$$\pi(x)=\sum_{\substack{d|p_1p_2\dots p_\ell \\ \sqrt{x}\ge p_i\in\mathscr P}}\mu(d)\left\lfloor\,\dfrac{x}{d}\right\rfloor +\pi(\sqrt{x})-1$$

$$\displaystyle \sum_{p\le x}\dfrac{\chi_2(p)}{p}=\int_{2}^x\left(\dfrac{\sum_{p\le t}\dfrac{\chi_2(p)\log p}{p}}{t\log^2 t}\right) dt+O\left(\dfrac{1}{\log x}\right)$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

11 ธันวาคม 2020 18:08 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 6 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 11 ธันวาคม 2020, 17:44
Napper's Avatar
Napper Napper ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 สิงหาคม 2014
ข้อความ: 26
Napper is on a distinguished road
Default

สองข้อที่ไม่ได้ใช้ asymptotic approximation ใช้แนวคิดคล้ายๆกันครับ

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
Prove that \(\displaystyle \sum_{\substack{1\le k\le n\\\gcd(k,n)=1}} k=\dfrac{n}{2}\varphi(n)\)
กำหนดให้ $n \ge 2$ และ $P(x)$ แทนข้อความว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $1 \le x < n$ และ $\gcd(x,n)=1$

สังเกตว่า $P(k)$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $P(n-k)$ เป็นจริง เลยได้ว่าผลรวมดังกล่าวสามารถเขียนได้สองแบบคือ $A:=\sum_{P(k)} k$ หรือ $A=\sum_{P(n-k)} n-k=\sum_{P(k)} n-k$ บวกกันหารสองก็จะได้
$$A=\frac{1}{2} \sum_{P(k)} n = \frac{1}{2} \cdot \varphi(n) \cdot n$$
เมื่อ $\varphi(n)$ คือ Euler's totient function


อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
Prove that \(\displaystyle\prod_{d|n}d=n^{\tau(n)/2}\)
กำหนดให้ $n \ge 2$ และ $P(x)$ แทนข้อความว่า $x$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x \mid n$

สังเกตว่า $P(d)$ เป็นจริงก็ต่อเมื่อ $P(\frac{n}{d})$ เป็นจริง เลยเขียนผลคูณได้สองแบบคือ $A:=\prod_{P(d)}d$ หรือ $A=\sum_{P(\frac{n}{d})} \frac{n}{d}=\sum_{P(d)} \frac{n}{d}$ คูณกันแล้วถอดสแควร์รูทได้
$$A=\sqrt{\prod_{P(d)} n}=n^{\frac{\tau(n)}{2}}$$
เมื่อ $\tau(n)$ คือ divisor funtion อันดับ 0 (จำนวนของตัวหารบวกของ $n$)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Function ? share ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 2 18 ธันวาคม 2020 13:30
CDF Function และ Error Function Anupon ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 6 17 สิงหาคม 2014 16:30
ขออธิบาย function, inverse ของ function และ inverse-function แบบบ้าน ๆ share ปัญหาคณิตศาสตร์ทั่วไป 8 18 พฤษภาคม 2013 07:33
Function BLACK-Dragon พีชคณิต 6 14 พฤศจิกายน 2012 16:42
Prove Utility Function (risk-averse) champdean คณิตศาสตร์อุดมศึกษา 3 22 กุมภาพันธ์ 2010 00:25

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:04


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha