Number Theory Marathon

[กขฃคฅฆง]

76.จงพิสูจน์ว่ามีจำนวนนับ $n$ เพียงจำนวนเดียวที่ทำให้มีจำนวนเต็ม $a$ ซึ่ง $2^{n+1}\mid (a^{2^{n-1}}+1)$ แต่ไม่มีจำนวนนับ $n$ ที่ทำให้ $2^{n+2}\mid (a^{2^{n-1}}-1)$ ทุกจำนวนเต็มคี่ $a$

[Thgx0312555]

76. 1) พิจารณา $n=1, a=3$ เป็นคำตอบ
สำหรับ $n>1$, $a^{2^{n-1}}+1 \equiv 1,2 \pmod 4 \Rightarrow 4 \nmid a^{2^{n-1}}+1 $

2) $n=1$ เห็นได้ชัด ดังนั้นสมมติ $n>1$
เลือก $a=5$ จะได้ $a^{2^{n-1}}-1=(a-1)(a+1)(a^2+1)\cdots (a^{2^{n-2}}+1)$

จะได้ $a^{2^k}+1 \equiv 2 \pmod 4$
$\therefore 2^{n+1} \left\Vert\,\right. a^{2^{n-1}}-1 \Rightarrow 2^{n+2} \nmid a^{2^{n-1}}-1$

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

75. ขาไป ให้ $x=17x_1+k_1$ และ $y=17y_1+k_2$ โดยที่ $x_1,y_1,k_1,k_2 \in \mathbb{Z} $ และ $0\leqslant k_1,k_2 \leqslant 16$ จะได้ $17\mid 2k_1+3k_2$

แทนค่าจะได้ $(k_1,k_2) = (0,0) , (7,1) , (14,2) , (4,3) , (11,4) , (1,5) , (8,6) , (15,7) , (5,8) , (12,9) , (2,10) , (9,11) , (16,12) , (6,13) , (13,14) , (3,15) , (10,16)$

ซึ่งแต่ละตัวทำให้ $17\mid 9k_1+5k_2$ ดังนั้น $17\mid 9(17x_1+k_1)+5(17y_1+k_2)$ นั่นคือ $17\mid (9x+5y)$

ขากลับ ทำเหมือนกัน

77. คล้ายข้อ 75 นะครับ จงพิสูจน์ว่า $6773 \mid 4847x+5683y \iff 6773 \mid 2921x+4593y$
(ถ้าจะทำวิธีเดิมอนุญาตให้ใช้เครื่องคิดเลขรวมถึง Wolframalpha ได้ครับ)

[กขฃคฅฆง]

77.

ขาไป $6773\mid 2(4847x+5683y)-6773(x+y) = 2921x+4593y$

ขากลับ $6773\mid 3387(2921x+4593y)-6773(1460x)-6773(2296y) = 4847x+5683y$

[กขฃคฅฆง]

78. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ $x^3+y! = 5833$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กขฃคฅฆง

78. จงหาคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มทั้งหมดของสมการ $x^3+y! = 5833$

ถ้า $y<0$ จะได้ $y!$ ไม่เป็นจำนวนเต็ม $\therefore y\ge 0$ เเละเมื่อ $y\ge 7$ พบว่า $y!\equiv 0 \pmod {7}$ เเละจาก $x^3\equiv 0,1,6\pmod {7}$

เท่านั้น ดังนั้น $2 \equiv 5833=x^3+y!\not\equiv 2\pmod {7}$ จึงเกิดข้อขัดเเย้ง ทำให้เราได้ว่า

$y\le 6$ เเทนค่าจะได้ว่า $(x,y)=(18,0),(18,1)$

[Amankris]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

$x^3\equiv 0,1,4,5,6,9 \pmod {10}$

เขียนอะไรผิดไปรึเปล่า

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Amankris

เขียนอะไรผิดไปรึเปล่า

แก้เเล้วนะครับ

[PP_nine]

79. หาจำนวนเต็ม $x,y,z$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $2x^3+3y^3+6z^3=18xyz$
80. หาจำนวนเต็ม $x,y,z \not= 0$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x\sqrt{2}+y\sqrt{3}+z\sqrt{6}$ เป็นจำนวนเต็ม
81. หาจำนวนเต็ม $x,y \not= 0$ และ $a>0$ เป็น square free ที่ทำให้ $x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}$ เป็นจำนวนเต็ม

ปล. ผมไม่ได้ล็อกอิน mathcenter มา 4 ปีเศษๆ ส่วนมากชะแว้บผ่านไปผ่านมา ไม่ได้ติดตาม แต่ช่วงนี้มีเรื่องให้เข้าบ่อยๆเลยล็อกอินแวะมาเยี่มเยียน และแจกโจทย์ให้ทำเล่นครับ จะมีใครเล่นกระทู้นี้ต่อไหมครับเนี่ย

[Napper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

79. หาจำนวนเต็ม $x,y,z$ ทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ $2x^3+3y^3+6z^3=18xyz$
80. หาจำนวนเต็ม $x,y,z \not= 0$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x\sqrt{2}+y\sqrt{3}+z\sqrt{6}$ เป็นจำนวนเต็ม
81. หาจำนวนเต็ม $x,y \not= 0$ และ $a>0$ เป็น square free ที่ทำให้ $x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}$ เป็นจำนวนเต็ม

79

ชัดเจนว่า $(x,y,z)=(0,0,0)$ เป็นหนึ่งคำตอบ

มี 1 ตัวแปรที่เป็น 0

• ถ้า $x=0$ และ $y,z\not=0$ จะได้ว่า $3y^3+6z^3=0$ จัดรูปเป็น $(\frac{y}{z})^3=2$ ซึ่งไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม เพราะ $\sqrt[3]{2}$ ไม่ใช่จำนวนตรรกยะ
  
  ในทำนองเดียวกัน ถ้าหากว่าเฉพาะ $y=0$ หรือเฉพาะ $z=0$ ก็จะไม่มีคำตอบเป็นจำนวนเต็ม

มี 2 ตัวแปรที่เป็น 0

• ถ้ามีสองตัวแปรใดๆเป็น 0 จะได้ว่าตัวแปรสุดท้ายต้องมีค่าเท่ากับ 0 ด้วย ได้คำตอบซ้ำกับ $(x,y,z)=(0,0,0)$

ไม่มีตัวใดเป็น 0

• สมมติว่ามีคำตอบ $x,y,z$ ซึ่งไม่มีตัวใดเป็น 0 สังเกตว่าสมการนี้เป็นพหุนาม homogeneous ถ้าหากว่า $d=\gcd(x,y,z)>1$ เราสามารถลดทอนรูปของสมการให้เป็น
  
  $$2\left(\frac{x}{d}\right)^3+3\left(\frac{y}{d}\right)^3+6\left(\frac{z}{d}\right)^3=18\left(\frac{x}{d}\right)\left(\frac{y}{d }\right)\left(\frac{z}{d}\right)$$
  
  หรือก็คือ $2X^3+3Y^3+6Z^3=18XYZ$ โดยที่ $\gcd(X,Y,Z)=1$ ดังนั้น เราสามารถสมมติได้ว่าคำตอบ $(x,y,z)$ สอดคล้องเงื่อนไข $\gcd(x,y,z)=1$
  
  จากสมการ $2x^3+3y^3+6z^3=18xyz$ สังเกตว่า 3 หารทุกพจน์ลงตัวหมด ยกเว้น $2x^3$ ดังนั้น $3 \mid 2x^3$ เช่นกัน จึงได้ว่า $3 \mid x$ สมมติว่า $x=3a$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $a \not=0$ แทนลงในสมการและหาร 3 ตลอด ได้เป็น
  
  $$18a^3+y^3+2z^3=18ayz$$
  
  ในทำนองเดียวกัน สังเกตว่า 2 หารทุกพจน์ลงตัวหมดยกเว้น $y^3$ แสดงว่า $2 \mid y^3$ นั่นคือ $2 \mid y$ สมมติว่า $y=2b$ สำหรับบาง $b \not=0$ แทนลงในสมการและหารตลอดด้วย 2 เป็น
  
  $$9a^3+4b^3+z^3=18abz$$
  
  พิจารณาสมการนี้ใน mod 9 ลดรูปเหลือแค่
  
  $$4b^3+z^3 \equiv 0 \pmod{9}$$
  
  ใช้ข้อเท็จจริงว่าสำหรับจำนวนเต็ม $n$ ใดๆ $n^3 \equiv 0,1,8 \pmod{9}$ เขียนเศษเหลือที่เป็นไปได้ของ $4b^3+z^3$ พบว่ามีเพียงกรณีเดียวที่ทำให้เศษเหลือเป็น 0 นั่นคือ เมื่อ $b^3 \equiv 0 \pmod{9}$ และ $z^3 \equiv 0 \pmod{9}$ จึงได้ว่า $3 \mid b$ และ $3 \mid z$
  
  อย่างไรก็ตาม เดิมมี $3 \mid x$ และยังได้ว่า $3 \mid y$ (เพราะ $y=2b$ และ $3 \mid b$) และ $3 \mid z$ เกิดข้อขัดแย้งกับข้อสมมติที่ว่า $\gcd(x,y,z)=1$ จึงได้ว่าไม่มีคำตอบในกรณีนี้

โดยสรุปแล้ว สมการนี้มีคำตอบเดียวคือ $(x,y,z)=(0,0,0)$

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._

80

สมมติว่ามีจำนวนเต็ม $x,y,z \not=0$ และจำนวนเต็ม $k$ ที่ทำให้
\begin{align}
x\sqrt{2}+y\sqrt{3}+z\sqrt{6} &= k\\[5pt]
x\sqrt{2}+y\sqrt{3} &= k-z\sqrt{6}\\[5pt]
2x^2+3y^2+2xy\sqrt{6} &= k^2+6z^2-2kz\sqrt{6}\\[5pt]
(2xy+2kz)\sqrt{6} &= k^2+6z^2-2x^2-3y^2
\end{align}
เนื่องจาก $\sqrt{6}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ แต่ $x,y,z,k$ ต่างเป็นจำนวนเต็ม จึงได้ว่ามีกรณีเดียวที่เป็นไปได้คือ $2xy+2kz=0$ และ $k^2+6z^2-2x^2-3y^2=0$ คูณสมการแรกด้วย $\sqrt{6}$ และบวกเข้ากับสมการสอง จัดรูปได้ว่า
\begin{align}
k^2+6z^2+(2\sqrt{6})kz &= 2x^2+3y^2-(2\sqrt{6})xy\\[5pt]
(k+z\sqrt{6})^2 &= (x\sqrt{2}-y\sqrt{3})^2\\[5pt]
k+z\sqrt{6} &= \pm (x\sqrt{2}-y\sqrt{3})
\end{align}

กรณีเป็นบวก

• ถ้า $k+z\sqrt{6}=x\sqrt{2}-y\sqrt{3}$ บวกกับสมการเดิมคือ $k-z\sqrt{6}=x\sqrt{2}+y\sqrt{3}$ ได้เป็น $2k=(2\sqrt{2})x$ แต่ $\sqrt{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ และ $x \not=0$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง

กรณีเป็นลบ

• ถ้า $k+z\sqrt{6}=-x\sqrt{2}+y\sqrt{3}$ บวกกับสมการเดิมคือ $k-z\sqrt{6}=x\sqrt{2}+y\sqrt{3}$ ได้เป็น $2k=(2\sqrt{3})y$ แต่ $\sqrt{3}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ และ $y \not=0$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง

ดังนั้น ไม่มีจำนวนเต็ม $x,y,z \not=0$ และ $k$ ตามต้องการ

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._

81

ให้ $a>0$ เป็น square-free สมมติว่า $a=p_1 p_2 \cdots p_n$ เมื่อ $p_1,p_2,\ldots,p_n$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกัน

สมมติว่ามีจำนวนเต็ม $x,y \not=0$ และจำนวนเต็ม $z$ ที่ลอดคล้องสมการ $x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}=z$ สังเกตว่าถ้า $z=0$ จะทำให้เกิด $-\frac{x}{y}=\sqrt[3]{a}$ เป็นข้อขัดแย้ง เพราะ $\sqrt[3]{a}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จึงสรุปได้ว่า $z \not=0$ เช่นกัน

ยกกำลังสามโดยกระจายฝั่งซ้ายของสมการในรูป $(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)$ ได้ว่า
$$(x\sqrt[3]{a})^3+(y\sqrt[3]{a^2})^3+3(x\sqrt[3]{a})(y\sqrt[3]{a^2})(x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}) = z^3$$
เนื่องจาก $x\sqrt[3]{a}+y\sqrt[3]{a^2}=z$ แทนลงในวงเล็บขวาสุดของฝั่งซ้ายของสมการ ได้ว่า
$$ax^3+a^2y^3+3axyz = z^3$$
เนื่องจากสมการนี้เป็นพหุนาม homogeneous ในทำนองเดียวกับข้อ 79 สมมติว่าคำตอบสอดคล้องเงื่อนไข $\gcd(x,y,z)=1$

จากสมการข้างต้น สังเกตว่า $a$ หารทุกพจน์ลงตัวหมดยกเว้น $z^3$ จึงได้ว่า $a \mid z^3$ ด้วยเช่นกัน แต่ $a=p_1 p_2 \cdots p_n$ แสดงว่า $p_i \mid z^3$ และทำให้ได้ $p_i \mid z$ ทุก $i=1,2,\ldots,n$ แต่ $p_i$ เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันหมด จึงได้ว่า $p_1 p_2 \cdots p_n \mid z$ หรือก็คือ $a \mid z$ กำหนดให้ $z=aw$ สำหรับบางจำนวนเต็ม $w \not= 0$ เมื่อแทนลงในสมการแล้วหารตลอดด้วย $a$ จะได้ว่า

$$x^3+ay^3+3axyw = a^2w^3$$

ในทำนองเดียวกัน จะได้ว่า $a \mid x^3$ และใช้ความเป็น square-free ของ $a$ สรุปว่า $a \mid x$ ในแบบเดียวกับที่เพิ่งแสดงไป กำหนดให้ $x=au$ สำหรับบาง $u \not=0$ แทนในสมการแล้วหารตลอดด้วย $a$ ได้เป็น

$$a^2u^3+y^3+3auyw = aw^3$$

เช่นเดียวกัน สังเกตว่า $a \mid y^3$ จึงทำให้ $a \mid y$ ได้ข้อสรุปว่า $a \mid x$, $a \mid y$ และ $a \mid z$ เกิดข้อขัดแย้งกับข้อสมมติที่ว่า $\gcd(x,y,z)=1$

ดังนั้น ไม่มีจำนวนเต็ม $x,y,z\not=0$ ตามต้องการ

_._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._._


ปล. ความหมายในเชิง linear algebra ของข้อ 80 และ 81 ก็คือ $\{1,\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{6}\}$ และ $\{1,\sqrt[3]{a},\sqrt[3]{a^2}\}$ ใน vector space $\mathbb{R}$ บนฟีลด์ $\mathbb{Q}$ ต่างเป็นเซตอิสระเชิงเส้น