TMO 17

[nowhere]

5. กำหนดตารางขนาด $n\times n$ ช่อง ซึ่งแต่ละช่องมีขนาดเท่า ๆ กัน
ในแต่ละครั้งจะเลือกช่องของตารางมาหนึ่งช่อง แล้วลบด้านสามด้านใด ๆ ของช่องนั้นทิ้ง ทำเช่นนี้ไปเรื่อย ๆ
โดยแต่ละครั้งที่เลือกช่องต้องเลือกช่องที่มีด้านเหลืออย่างน้อยสามด้าน และลบด้านที่ยังเหลืออยู่เท่านั้น
จงหาจำนวนนับ $n$ ทั้งหมด ที่ทำให้ลบด้านตามเงื่อนไขได้จนหมดทุกด้าน

[orion]

คำตอบ: $n=2,6k+3,6k+5$

เนื่องจากจำนวนเส้นขอบทั้งหมดเท่ากับ $2n(n+1)$ ดังนั้น $3 \mid 2n(n+1)$ ทำให้ได้ว่า $n \equiv 0,2 \mod 3$

นอกจากนี้ ต้องแสดงว่าจำนวนคู่ $n > 2$ ใช้ไม่ได้ ให้ลองเลือกสักสี่เหลี่ยมย่อยที่ติดขอบตาราง และเลือก 3 ขอบย่อยของสี่เหลี่ยมนั้นดู เมื่อเลือกแล้วจะเป็นการบังคับการเลือก 3 ขอบย่อย ของสี่เหลี่ยมย่อยที่ติดของตารางไปเรื่อยๆ จะพบข้อขัดแย้ง

ไม่ยากที่จะหาตัวอย่างกรณี $n=2,3,5$ แนวทางคือให้เริ่มจากสี่เหลี่ยมย่อยที่ติดขอบตาราง สุดท้ายให้พิจารณาว่าจะเพิ่มจาก $n$ ไป $n+6$ อย่างไร