ขอแนวคิดข้อนี้หน่อยครับ แบบฝึกหัดเรื่องสมการกำลังสองเด็กกิ๊ฟ

[sck]

เจอเด็กเอามาให้เฉลยให้ แต่มองไม่ออก แบบฝึกหัดเรื่องสมการกำลังสองเด็กกิ๊ฟ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ sck

เจอเด็กเอามาให้เฉลยให้ แต่มองไม่ออก แบบฝึกหัดเรื่องสมการกำลังสองเด็กกิ๊ฟ

เป็นโจทย์ สพฐ.รอบแรกปี 2552 ครับ. ข้อสอบคณิต สพฐ. ม.ต้น คัดเลือกผู้แทน 2552

solution

เนื่องจาก $p$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว

$p^2-5p+3 = 0 \Rightarrow p^n - 5p^{n-1} + 3p^{n-2} = 0 ... (1)$

ทำนองเดียวกัน

เนื่องจาก $q$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว

$q^2-5q+3 = 0 \Rightarrow q^n - 5q^{n-1} + 3q^{n-2} = 0 ... (2)$

(1)+(2), $A_n - 5A_{n-1} + 3A_{n-2} = 0$

ดังนั้น $A_n = 5A_{n-1} - 3A_{n-2}$

ทำให้ได้ว่า $A_{n+1} = 5A_n - 3A_{n-1} ... (3)$

แต่จากที่โจทย์กำหนดให้ $A_m = 5A_n - 3A_{n-1} ... (4)$

เทียบ (3) กับ (4) ได้ $n + 1 = m \Rightarrow m - n = 1$

เพราะฉะนั้น $A_{m-n} = A_1 = p + q = 5$

[sck]

ขอบคุณครับคุณ gon
ไม่ได้สังเกตุเห็นเลยเลยว่าสมการกำลังสองที่ให้ กับตรงที่ถามเป็น 5 และ 3 เหมือนกันเอามาจัดรูปหากันได้

[math ninja]

ถามข้อนึงครับ จากแบบฝึกหัดเหมือนกัน
กำหนด $$x+y+z=14$$
$$x^3+y^3+z^3=15$$
$$x^5+y^5+z^5=83$$
จงหาค่า $x^2+y^2+z^2$

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ math ninja

ถามข้อนึงครับ จากแบบฝึกหัดเหมือนกัน
กำหนด $$x+y+z=14$$
$$x^3+y^3+z^3=15$$
$$x^5+y^5+z^5=83$$
จงหาค่า $x^2+y^2+z^2$

ใช้เอกลักษณ์นี้ดูครับ (ลองพิสูจน์ให้ได้ก่อนนำไปใช้นะครับ)

คำตอบจะสวยหรือไม่ ขึ้นอยู่กับว่าตั้งให้ลงตัวหรือไม่นะครับ

ถ้า $a+b+c+d = 0 \Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\cdot \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{3} = \frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{5}$

[cfcadet]

ขอบคุณมากๆ ครับ

[zong]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

เป็นโจทย์ สพฐ.รอบแรกปี 2552 ครับ. ข้อสอบคณิต สพฐ. ม.ต้น คัดเลือกผู้แทน 2552

solution

เนื่องจาก $p$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว

$p^2-5p+3 = 0 \Rightarrow p^n - 5p^{n-1} + 3p^{n-2} = 0 ... (1)$

ทำนองเดียวกัน

เนื่องจาก $q$ เป็นคำตอบของสมการ แล้ว

$q^2-5q+3 = 0 \Rightarrow q^n - 5q^{n-1} + 3q^{n-2} = 0 ... (2)$

(1)+(2), $A_n - 5A_{n-1} + 3A_{n-2} = 0$

ดังนั้น $A_n = 5A_{n-1} - 3A_{n-2}$

ทำให้ได้ว่า $A_{n+1} = 5A_n - 3A_{n-1} ... (3)$

แต่จากที่โจทย์กำหนดให้ $A_m = 5A_n - 3A_{n-1} ... (4)$

เทียบ (3) กับ (4) ได้ $n + 1 = m \Rightarrow m - n = 1$

เพราะฉะนั้น $A_{m-n} = A_1 = p + q = 5$

สงสัยครับว่า p+q = 5 มาได้ยังไง
ถ้าถอดราก p q ติดค่า +- แล้วจะเลือกค่าไหน รู้ได้ยังไงครับ

[BigPaPa]

เอกลักษณ์นี้ ถ้ามีสามพจน์ a+b+c=0 พิสูจน์ได้ค่ะ
แต่พอมี พจน์ d ด้วย งง ไปเลยค่ะ
แยกตัวประกอบไม่เป็นเลย

[BigPaPa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ใช้เอกลักษณ์นี้ดูครับ (ลองพิสูจน์ให้ได้ก่อนนำไปใช้นะครับ)

คำตอบจะสวยหรือไม่ ขึ้นอยู่กับว่าตั้งให้ลงตัวหรือไม่นะครับ

ถ้า $a+b+c+d = 0 \Rightarrow \frac{a^2+b^2+c^2+d^2}{2}\cdot \frac{a^3+b^3+c^3+d^3}{3} = \frac{a^5+b^5+c^5+d^5}{5}$

เอกลักษณ์นี้ ถ้ามีสามพจน์ a+b+c=0 พิสูจน์ได้ค่ะ
แต่พอมี พจน์ d ด้วย งง ไปเลยค่ะ
แยกตัวประกอบไม่เป็นเลย