สมการตรีโกณมิติ

[lek2554]

$cos(\frac{5\pi x}{3})=-1$
วิเคราะห์ค่า $x$ อย่างไรครับ ถ้าไม่ไล่แทนค่าเอา
ที่ผมคิดคือ $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ที่ $3$ หารลงตัว
แต่ทำอย่างไรให้ได้คำตอบในรูป $x=6n+3,n\in Z$

หมายเหตุ ลืมบอกว่าต้องการคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มครับ

[lek2554]

ที่ผมคิดคือ

$\dfrac{5x}{3} =2n_1+1,n_1\in Z\bigwedge x=3(2n_2+1),n_2\in Z$

$x=\dfrac{6n_1+3}{5}\bigwedge x=6n_2+3$

ดังน้ัน $x=6n+3,n\in Z$

สรุปแบบนี้พอจะได้ไหมครับ แต่รู้สึกว่ามันขาดเหตุผลอะไรไปอีกหน่อย

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ที่ผมคิดคือ

$\dfrac{5x}{3} =2n_1+1,n_1\in Z\bigwedge x=3(2m_2+1),n_2\in Z$

$x=\dfrac{6n_1+3}{5}\bigwedge x=6n_2+3$

ดังน้ัน $x=6n+3,n\in Z$

สรุปแบบนี้พอจะได้ไหมครับ แต่รู้สึกว่ามันขาดเหตุผลอะไรไปอีกหน่อย

น่าจะได้ครับ แต่ตอนท้ายอาจจะจบแบบนี้หรือเปล่าครับ

ผมใข้ $\cos A = \cos B$ ก็ค่อเมื่อ $A = 2m\pi \pm B$

$\cos \frac{5\pi x}{3} = \cos \pi$

ดังนั้น $ \frac{5\pi x}{3} = 2m\pi \pm \pi$

$x = \frac{3}{5}(2m \pm 1)$

จะเห็นว่า$2m \pm 1$ ต้องเป็นจำนวนคี่ที่หารด้วย 5 ลงตัว

จึงให้ $2m \pm 1 = 10n + 5$

ดังนั้น $x = 6n+3$

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

น่าจะได้ครับ แต่ตอนท้ายอาจจะจบแบบนี้หรือเปล่าครับ

ผมใข้ $\cos A = \cos B$ ก็ค่อเมื่อ $A = 2m\pi \pm B$

$\cos \frac{5\pi x}{3} = \cos \pi$

ดังนั้น $ \frac{5\pi x}{3} = 2m\pi \pm \pi$

$x = \frac{3}{5}(2m \pm 1)$

จะเห็นว่า$2m \pm 1$ ต้องเป็นจำนวนคี่ที่หารด้วย 5 ลงตัว

จึงให้ $2m \pm 1 = 10n + 5$

ดังนั้น $x = 6n+3$

ขอบคุณ คุณกรครับ
ผมคาใจตรง 5 หารลงตัว จะพิสูจน์ต่ออย่างไร
ยากมากเลยครับที่จะอธิบายให้นักเรียนเข้าใจ
นอกจากไล่แทนค่าแล้วสรุปผลลัพธ์
ขอบคุณครับ

[lek2554]

ขอพูดต่อในกระทู้นี้ ไม่อยากตั้งกระทู้ใหม่ครับ

จะมีทางที่จะทำให้บ้านนี้กลับมาเป็นสถานที่พูดคุยแลกเปลี่ยนความคิดเหมือนเช่นในอดีตได้ไหมครับ
ผมอยู่ต่างจังหวัด ไม่มีเพื่อนคุยครับ

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

$cos(\frac{5\pi x}{3})=-1$
วิเคราะห์ค่า $x$ อย่างไรครับ ถ้าไม่ไล่แทนค่าเอา
ที่ผมคิดคือ $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็มคี่ที่ $3$ หารลงตัว
แต่ทำอย่างไรให้ได้คำตอบในรูป $x=6n+3,n\in Z$

หมายเหตุ ลืมบอกว่าต้องการคำตอบที่เป็นจำนวนเต็มครับ

ถ้าโจทย์บอกว่าต้องการ $x$ ที่เป็นจำนวนเต็มลองดูแบบนี้ครับ

$cos(\frac{5\pi x}{3})=cos((2\pi-\frac{\pi}{3})x)=cos(\frac{\pi x}{3})=-1=cos(2n\pi \pm \pi)$

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ขอพูดต่อในกระทู้นี้ ไม่อยากตั้งกระทู้ใหม่ครับ

จะมีทางที่จะทำให้บ้านนี้กลับมาเป็นสถานที่พูดคุยแลกเปลี่ยนความคิดเหมือนเช่นในอดีตได้ไหมครับ
ผมอยู่ต่างจังหวัด ไม่มีเพื่อนคุยครับ

สวัสดีครับ
ลองพิสูจน์ดูโดย ย้ายมาอยู่กรุงเทพครับ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ขอบคุณ คุณกรครับ
ผมคาใจตรง 5 หารลงตัว จะพิสูจน์ต่ออย่างไร
ยากมากเลยครับที่จะอธิบายให้นักเรียนเข้าใจ
นอกจากไล่แทนค่าแล้วสรุปผลลัพธ์
ขอบคุณครับ

$2m \pm 1$ เป็นจำนวนคี่ และ ต้องหารด้วย 5 ลงตัว

ตอนแรกที่ผมคิดคือผมจะสร้างมันขึ้นมาโดยรู้ว่า 10n เป็นจำนวนคู่ ที่หารด้วย 5 ลงตัว
ดังนั้น 10n + 5 เป็นจำนวนคี่ ที่หารด้วย 5 ลงตัว ครับ

นั่นคือ จึงให้ $2m \pm 1 = 10n + 5$ จึงได้ x = 6n + 3

หรือถ้าคิดแบบนี้ (คิดทีหลัง กึ่ง ๆ เรียกว่า ไล่หรือเปล่า)

จำนวนคี่ ที่หารด้วย 5 ลงตัว คือ 15, 25, 35, ... ซึ่งมีพจน์ที่ n เท่ากับ 10n + 5

แต่ถ้าเลือก 5, 15, 25, ... ซึ่งมีพจน์ที่ n เท่ากับ 10n - 5
(อันนี้จะได้ x = 6n - 3)

แต่ถ้าเลือก -5, 5, 15, ... ซึ่งมีพจน์ที่ n เท่ากับ 10n - 15
(อันนี้จะได้ x = 6n - 6)

ไม่แน่ใจว่าตอบตรงที่สงสัยหรือเปล่านะครับ.

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ lek2554

ขอพูดต่อในกระทู้นี้ ไม่อยากตั้งกระทู้ใหม่ครับ

จะมีทางที่จะทำให้บ้านนี้กลับมาเป็นสถานที่พูดคุยแลกเปลี่ยนความคิดเหมือนเช่นในอดีตได้ไหมครับ
ผมอยู่ต่างจังหวัด ไม่มีเพื่อนคุยครับ

ถ้าผมขยันอัพเดตเว็บ น่าจะดีขึ้นบ้างครับ

[lek2554]

ขอบคุณท่านหยินหยางและคุณกรที่ช่วยให้แนวคิดเพิ่มเติมครับ
แนวคิดที่ท่านหยินหยางแนะนำ ลึกล้ำเกินกำลังภายในของผมครับ
แต่ช่วยเสริมเคล็ดวิชาใหม่ให้ผมครับ
ผมคงต้องฝึกวิชาเก้าเอี้ยง วิชาเคลื่อนย้ายจักรวาล เพิ่มเติม

ความจริงโจทย์ข้อนี้ ผมแต่งขึ้นมาให้นักเรียนทำเมื่อปี 2563

กำหนดให้ $A=\left\{\,\right. 1,2,3,...,456\left.\,\right\} $
$B=\{x\in A\left.\,\right| (\dfrac{1}{2} -\dfrac{\sqrt{3} }{2} i)^x<0\}$
แล้ว $n(B)$ มีค่าเท่ากับเท่าใด
ตอนนั้นผมก็สรุปว่า $cos\left(\,\dfrac{5\pi x}{3} \right) =-1$
$\dfrac{5x}{3} =1,3,5,...$ โดยที่ $x$ เป็นจำนวนเต็มบวก
แทนค่า $x$ ไปเรื่อยๆ จะได้ว่า
$x=3,9,15,...,453$
แล้วค่อยมาหาว่ามีทั้งหมดกี่ต้ว

โควิดผู้ว่าสั่งปิดไม่ให้สอน 2 ปีกว่า
มาสอนอีกที เลยอยากหาวิธีอธิบายที่ดีขึ้นครับ
ได้แนวคิดจากคุณกรว่า
$x=\dfrac{3(2m\pm 1)}{5} $
จึงให้ $2m\pm 1=5(2n+1)$
ไม่จำเป็นต้องใช้ $\pm $ เพราะเป็นมุมจุดเดียวกัน

ปล. ย้ายไปอยู่ กทม. คงไม่ไปแล้วครับ
ไม่เคยไป 20 กว่าปีแล้ว กลัวเดินหลงทางครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ gon

ถ้าผมขยันอัพเดตเว็บ น่าจะดีขึ้นบ้างครับ

ผมยังดีใจและประหลาดใจนะ ที่ทางคุณ gon ยังทำให้เวบบอร์ดนี้มีชีวิตอยู่ ในยุคที่วิธีการสื่อสารเปลี่ยนไปแบบผิดหูผิดตาแบบนี้ แต่ก็คิดว่า การสื่อสารในลักษณะนี้ ยังเหมาะกับการตอบปัญหาคณิตศาสตร์อยู่

ผมอาจไม่ได้เข้ามาถี่ได้เหมือนแต่ก่อน แต่จะพยายามไม่หายตัวไปยาวๆเหมือนที่ผ่านมาครับ

[Mr.Com]

ตามอ่านแบบเงียบ ๆ :-)