Calculus

[lek2554]

ผมอ่านหนังสือแบบเรียน สสวท ฉบับปรับปรุง 2560
บอกว่า $\frac{dy}{dx}$ ไม่ได้หมายถึง $dy$ หารด้วย $dx$
เลยเกิดข้อสงสัย ผมเข้าใจผิดมาตลอดทั้งชีวิตหรือเปล่า

ผมลองสืบค้นข้อมูลพบว่ามีปัญหาเข้าใจไม่ตรงกันในหลายๆ ประเทศที่ผมเห็นใน google
บ้างก็บอกว่า มันเป็น symbol เป็น notation เป็น operrator เป็น Difference quotient
บางแหล่งก็บอกว่ามันไม่ใช่จำนวนจริง มีการให้เหตุผลหลากหลายมาก
แล้วแต่ว่าใครจะอ้าง Newton หรืออ้าง Leibniz หรืออ้างนักคณิตศาสตร์อีกหลายๆ คน

ส่วนตัวของผม มันคือ อัตราส่วนระหว่างการเปลี่ยนแปลงของ $y$ ต่อการเปลี่ยนแปลงของ $x$ เมื่อการเปลี่ยนแปลงของทั้ง 2 อย่างนั้น มีค่าน้อยมากๆ จนกระทั่งไม่สามารถมองเห็นได้ด้วยตาเปล่าของมนุษย์


ปล. ผม upload ภาพ หนังสือแบบเรียน สสวท แล้วขึ้นข้อความ upload error ครับ


ผมลดขนาดภาพเหลือ 800x950 แล้วครับ

[gon]

เท่าที่เข้าใจ มันมี 2 ความหมายครับ

ความหมายแรก มันคือ สัญลักษณ์ (notation) แทน derivative ของฟังก์ชัน f

leibniz ใช้สัญลักษณ์ $\frac{dy}{dx}$ หรือ $\frac{d}{dx}f(x)$

newton ใช้สัญลักษณ์ $y'$ หรือ $f'(x)$


ทีนี้ตามนิยามของ derivative ของฟังก์ชัน f ซึ่งเขียนสั้น ๆ แบบ leibniz ใช้ได้เป็น

$\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} {\frac{\Delta y}{\Delta x}} $

ซึ่งเจ้าก้อน $\frac{\Delta y}{\Delta x} $ มันเป็นผลหารแน่นอน

ดังนั้นความหมายของ $\frac{dy}{dx}$ เหมือนที่คุณเล็กบอกครับ

มันจึงคล้าย ๆ เป็นผลหารของปริมาณ ใกล้ ๆ $\frac{0}{0}$

----------------------------------------------------------

ความหมายที่สอง เราเรียกมันว่า differential

คือ คิดว่า

dx เป็นตัวแปรอิสระอันใหม่ขึ้นมา (เรียก dx ว่า differential ของ x)

dy มันตัวแปรที่ที่เป็นฟังก์ชันของ x กับ dx (เรียก dy ว่า differential ของ y)

โดยนิยามว่า $dy = (\frac{dy}{dx}) dx$

ดังนั้นตามความหมายนี้ พอเราเอาก้อน dy หารด้วยก้อน dx มันจึงเท่ากับ $\frac{dy}{dx}$

ก้อน dy หารด้วยก้อน dx มันคือ ผลหาร

ส่วน $\frac{dy}{dx}$ ที่คูณอยู่หน้า dx มันไม่ใช่เศษส่วนครับ แต่แทน derivative ของฟังก์ชัน f

[lek2554]

ขอบคุณ คุณกรครับ ที่มาตอบคำถาม
แต่ประเด็นของผมคือ
สสวท. ไม่ควรมาเขียนข้อความบังคับว่า
$dy/dx$ ไม่ได้หมายถึง $dy$ หารด้วย $dx$
ที่ผมศึกษาประวัติศาสตร์
Leibniz คิด $dy$ กับ $dx$ มาแทน $\Delta y$ กับ $\Delta x$ เมื่อ $dy$ กับ $dx$ คือ change in x and y
is infinite small (infinitesimal)
ในยุคของ Leibniz (ศตวรรษที่17) ไม่ได้นิยามอนุพันธ์โดย limit เพิ่งมานิยามในศตวรรษที่ 20
แต่แนวคิดอนุพันธ์ของ Leibniz ยังคงให้แนวคิดที่
เป็นธรรมชาติได้ดีกว่าจนถึงทุกวันนี้
ใช้อธิบายการหาพื้่นที่ใต้โค้งหลักสูตร ม.ปลาย ได้ในเวลาไม่กี่นาที

ปล.สัญลักษณ์ prime เป็นของ Lagrange ครับ ไม่ใช่ Newton