Inequality Marathon

[nooonuii]

ข้อ 6 ต้องการแนะนำให้รู้จักกับเอกลักษณ์นี้ครับ

$$(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)=(1+a+b+c)(1+ab+bc+ca)$$


8. (nooonuii) ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $a + b + c = 3$ จงพิสูจน์ว่า

$$ a^{n} (\frac{a+1}{b+1}) + b^{n} (\frac{b+1}{c+1}) + c^{n} (\frac{c+1}{a+1}) \geq 3$$

ทุกจำนวนเต็ม $n$

[Mr.high]

หวัดดีครับ คราวนี้ผมจะมาแก้โจทย์ของคุณ nooonuii ข้อข้างบนน่ะครับ
case 1 : n ณ 2
\frac{aⁿ(a+1)}{(b+1)} +\frac{bⁿ(b+1)}{(c+1} + \frac{cⁿ(c+1)}{(a+1)}ณ \frac{(a^n/2(a+1)+b^n/2(b+1)+b^n/2(b+1))}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} โดย โคชี

พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) ฃ 12
เนื่องจาก ab+bc+ca ฃ \frac{(a+b+c)^{2}}{3}

และ จาก power mean aⁿ+bⁿ+cⁿ ณ 3
จึงได้ว่า case 1 เป็นจริง
อิๆที่เหลือให้คนอื่นคิดบ้างดีกว่าคับ
อืม เพิ่งเข้ามาเป็นสมาชิกใหม่ก็ขอฝากเนื้อฝากตัวพี่ๆด้วยนะครับ
ผมก็ไม่ได้เก่งอะไรมากมายมีอะไรก็ชี้แนะด้วยนะคับ
ที่จิงผมก็เพิ่งเริ่มใช้ latex อาจจะมีผิดพลาดไปบ้างก็ขอโทษนะครับ

[Mr.high]

ขอแก้อันข้างบนนะครับ
case 1 : n ณ 2
\[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq \frac{(a^{n/2}(a+1)+b^{n/2}(b+1)+c^{n/2}(b+1))^{2}}{(a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1)} \] โดย โคชี
พิจารณา ตัว (a+1)(b+1)+(b+1)(c+1)+(c+1)(a+1) ฃ 12
เนื่องจาก ab+bc+ca ฃ \( \frac{(a+b+c)^{2}}{3}\)

และ จาก power mean aⁿ+bⁿ+cⁿ ณ 3
ดังนั้น \[\frac{a^{n}(a+1)}{(b+1)} +\frac{b^{n}(b+1)}{(c+1)} + \frac{c^{n}(c+1)}{(a+1)} \geq 3 \] เป็นจริง

[devil jr.]

use rearrangement inequality to show that

(a^n)(a+1)/(b+1)+(b^n)(b+1)/(c+1)+(c^n)(c+1)/(a+1)
>= (a^n)(a+1)/(a+1)+(b^n)(b+1)/(b+1)+(c^n)(c+1)/(c+1)
=a^n+b^n+c^n
>=3((a+b+c)/3)^n (by power mean inequality)

[gon]

ใครที่ยังใช้ Latex ไม่เป็น หรือไม่คล่องลองไปหัดเขียนเล่นในห้องข้างบนดูได้ครับ.
ในห้องนั้นมีกระทู้ปักหมุดสอนและคำสั่งครบหมดแล้ว

- เวลากดตอบกระทู้ สามารถกดดูล่วงหน้าได้ว่า ถ้าส่งไปแล้วจะเห็นแบบไหน
- ถ้าคิดว่าตอบผิด สามารถแก้ไขคำตอบของตัวเองได้ครับ กดตรงรูปดินสอ ก็จะเข้าโหมดแก้ไข ไม่จำ้เป็นต้องตอบซ้ำครับ.
- ถ้าอยากเรียนรู้การใช้ Latex อย่างรวดเร็ว ก็สามารถทำได้โดยการกดปุ่ม quote เพื่อดูคำสั่งของคนที่ตอบก่อนหน้านี้ของใครก็ได้ ตรงรูป "" ของคนที่ตอบ

ปล. Nooonuii ถ้าเข้ามาอ่าน เปิดดูข้อความส่วนตัวด้วยครับ.

[nooonuii]

9. (nooonuii) ให้ $a,b,c,x,y,z > 0$ โดยที่ $abc = 1$ และ $x + y + z = 3$ จงพิสูจน์ว่า
$$ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}\geq \frac{3}{2}$$

[devil jr.]

by cauchy

\Large{ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}ณ\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+x+y+z}
=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3}ณ\frac{3}{2}

a+b+cณ3 (by AM-GM)

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
by cauchy

\( \Large{ \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z} \geq \frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+x+y+z}
=\frac{(a+b+c)^2}{a+b+c+3} \geq \frac{3}{2} }
\)
a+b+cณ3 (by AM-GM)

อสมการสุดท้ายไม่น่าจะจริงนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
use rearrangement inequality to show that
\( \Large{ a^n(\frac{a+1}{b+1}) + b^n (\frac{b+1}{c+1}) + c^n (\frac{c+1}{a+1})
\geq a^n(\frac{a+1}{a+1}) + b^n (\frac{b+1}{b+1}) + c^n (\frac{c+1}{c+1})
=a^n+b^n+c^n
\geq 3(\frac{a+b+c}{3})^n = 3 } \)
(by power mean inequality)

ใช้ rearrangement inequality ยังไงเหรอครับ อสมการสุดท้ายจริงสำหรับจำนวนเต็มบวกครับ ยังขาดกรณีจำนวนเต็มลบ

[gools]

อสมการสุดท้ายตรงกับ \((2(a+b+c)+3)(a+b+c-3) \geq 0\) ครับ

[nooonuii]

อ้อเข้าใจแล้วครับ คิดไม่ถึงเหมือนกันว่าจะออกมาทางนี้ได้ ของผมทำค่อนข้างยืดยาวโดยใช้ AM-GM

my solution

เนื่องจาก
$\displaystyle{ ( \frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}) - (\frac{x^2}{a+x} + \frac{y^2}{b+y} + \frac{z^2}{c+z}) }$

$ = (a + b + c) - (x + y + z) \geq 0$

ดังนั้น

$\displaystyle{ 2(\frac{a^2}{a+x} + \frac{b^2}{b+y} + \frac{c^2}{c+z}) \geq \frac{a^2 + x^2}{a+x} + \frac{b^2+y^2}{b+y} + \frac{c^2+z^2}{c+z}}$

$\displaystyle{ \geq \frac{a+x}{2} + \frac{b+y}{2} +\frac{c+z}{2} \geq 3 }$

[devil jr.]

To Nooonuii
Sorry, I'm forget the case n<=0

if n>=0
(a^n)(a+1),(b^n)(b+1),(c^n)(c+1)
has reverse order with
1/(a+1),1/(b+1),1/(c+1)
and you can prove it easily.

if n<0
I will solve it later

P.S. Can you solve my problems? (Hint: equality holds iff a^2=b^2=c^2=6)

[nooonuii]

อ๊ะ ลืมไปเลยครับ ว่ายังมีโจทย์ของคุณ devil jr. อยู่อีกข้อนึง
ถ้าว่างเมื่อไหร่จะลองคิดดูครับ แต่ตอนนี้ขออ่านหนังสือสอบใหญ่ซักสองวิชาก่อนนะครับ

[devil jr.]

10. $a,b,c$ are positive reals. Prove that
$$\min\{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a},\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\} \geq \min\{a+b+c,\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\}.$$

[Char Aznable]

ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
a,b,c are positive reals
Prove that
min{a/b+b/c+c/a,a/c+b/a+c/b} >= min{a+b+c,1/a+1/b+1/c}.

พิจารณาอสมการ (a/b+b/c+c/a)² ณ (a+b+c)(1/a+1/b+1/c)
สมมูลกับ (a/b)²+(b/c)²+(c/a)²+a/c+c/b+b/a ณ 3+a/b+b/c+c/a ซึ่งเป็นจริงจากอสมการโคชี่

จาก(a/b+b/c+c/a)² ณ (a+b+c)(1/a+1/b+1/c) สรุปได้ว่า
min{a/b+b/c+c/a,a/c+b/a+c/b} >= min{a+b+c,1/a+1/b+1/c}