Inequality Marathon

[frenchnicky]

ข้อสอบอังกฤษครับ
1.(BMO) p,q,r ฮ R⁺ โดยที่ p+q+r = 1 จงแสดงว่า 7(pq+qr+rp) ฃ 2+9pqr
2. x,y,z ฮ R⁺ โดยที่ x²+y²+z²=1 จงแสดงว่า x²yz+xy²z+xyz² ฃ 1/3

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ frenchnicky:
ข้อสอบอังกฤษครับ
1.(BMO) p,q,r ฮ R⁺ โดยที่ p+q+r = 1 จงแสดงว่า 7(pq+qr+rp) ฃ 2+9pqr
2. x,y,z ฮ R⁺ โดยที่ x²+y²+z²=1 จงแสดงว่า x²yz+xy²z+xyz² ฃ 1/3

ข้อ 1 อยู่ในกระทู้อสมการเมื่อไม่นานนี่เองครับ
ข้อ 2

My Solution

$$xyz(x+y+z)\leq (\frac{x^2+y^2+z^2}{3})^{3/2}\sqrt{3(x^2+y^2+z^2)} = \frac{1}{3}$$

[nongtum]

ขอกู้กระทู้

12(หากนับเลขข้อไม่ผิด). จงแสดงว่า \[\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11\]

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ขอกู้กระทู้

12(หากนับเลขข้อไม่ผิด). จงแสดงว่า \[\sqrt{100+\sqrt{99+\sqrt{98+\cdots+\sqrt{2+\sqrt{1}}}}}<11\]

My Solution

นิยาม $a_1 = 1, a_n^2= a_{n-1} + n$
โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ได้ไม่ยากว่า
$$a_n < \sqrt{n}+1$$ ทุกค่า $n\geq 1$

[Char Aznable]

ยังไม่มีคำถามข้อใหม่ ผมขอใช้สิทธิ์เดิมข้อก่อนตั้งแล้วกันนะครับ
13.ให้ a,b,c ฮ R⁺ จงแสดงว่า
\[ \frac{2}{b(a+b)}+\frac{2}{c(b+c)}+\frac{2}{a(c+a)} \geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}} \]

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
13.ให้ a,b,c ฮ R⁺ จงแสดงว่า
\[ \frac{2}{b(a+b)}+\frac{2}{c(b+c)}+\frac{2}{a(c+a)} \geq \frac{27}{(a+b+c)^{2}} \]

โดยไม่เสียนัย ให้ aณbณc>0 เราจะได้ \(\sum_{cyc}\frac{1}{a(a+b)}\le\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}\) ดังนั้น \[2\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}
\ge\sum_{cyc}\frac{1}{a(a+b)}+\sum_{cyc}\frac{1}{b(a+b)}
=\sum_{cyc}\frac{1}{ab}
\ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\]อสมการสุดท้ายเป็นจริงโดย AM-GM:\[(a+b+c)^3\ge27abc
\Rightarrow\sum_{cyc}\frac{1}{ab}\ge\frac{27}{(a+b+c)^2}\] ###

และแล้วก็ข้อถัดไป
14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า
\[\frac{\ln{a}}{(a-b)(a-c)}+\frac{\ln{b}}{(b-c)(b-a)}+\frac{\ln{c}}{(c-a)(c-b)}<0\]

[devil jr.]

14. ให้ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวกสามจำนวนที่แตกต่างกัน จงแสดงว่า...

สมมติให้ a>b>c

พิจารณา f(x) = (ln(x)-ln(b))/(x-b) เมื่อ b เป็นค่าคงที่
f'(x)= (-ln(x)+ln(b)+1-b/x)/(x-b)^2

เนื่องจาก ln(x/b)+b/x > 1 ทุก xนb
ดังนั้น -ln(x)+ln(b)+1-b/x<0
=> f'(x)<0 ทุก xนb

เนื่องจาก a>cได้ว่า

(ln(a)-ln(b))/(a-b) < (ln(c)-ln(b))/(c-b)

จัดรูปใหม่ได้

(b-c)ln(a) + (c-a)ln(b) + (a-b)ln(c) <0
หารด้วย (a-b)(a-c)(b-c) จะได้ตามโจทย์

[Char Aznable]

ไม่มีคำถามใหม่ ผมขอใช้สิทธิ์ตั้งคำถามแทนพี่ devil jr. แล้วกันครับ(แต่งเองครับ)
\[ ให้ a,b,c > 0 ; abc = 1
จงพิสูจน์ว่า \frac{a^{2}(a+b)(a+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{2}(b+a)(b+c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{2}(c+b)(c+a)}{(c-b)(c-a)} \geq 9 \]

[devil jr.]

ข้อความเดิมของคุณ devil jr.:
a,b,c are positivev reals. Prove that
(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)>=(9/4)(ab+bc+ca)^2

ข้อนี้ของผมยังไม่มีคนตอบเลย

[devil jr.]

ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
ไม่มีคำถามใหม่ ผมขอใช้สิทธิ์ตั้งคำถามแทนพี่ devil jr. แล้วกันครับ(แต่งเองครับ)
\[ ให้ a,b,c > 0 ; abc = 1
จงพิสูจน์ว่า \frac{a^{2}(a+b)(a+c)}{(a-b)(a-c)}+\frac{b^{2}(b+a)(b+c)}{(b-a)(b-c)}+\frac{c^{2}(c+b)(c+a)}{(c-b)(c-a)} \geq 9 \]

สมมติให้ a>b>c
คูณ (a-b)(b-c)(c-a)เข้าไปทั้งสองข้างจัดรูปได้

(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c)^2 >= 9(a-b)(a-c)(b-c)

(a-b)(a-c)(b-c)(a+b+c+3)(a+b+c-3)>=0

ซึ่งเป็นจริงเนื่องจาก a+b+c >= 3(abc)^(1/3)=3

[devil jr.]

ขอแก้ข้างบนนะครับ

คูณด้วย (a-b)(a-c)(b-c)ครับ ไม่ใช่ (a-b)(b-c)(c-a)

[Char Aznable]

ให้ x , y , z เป็นจำนวนจริงบวกที่มีผลบวกเป็น 3
จงพิสูจน์ว่า \[ \sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z} \geq xy + yz + zx \]

[Char Aznable]

ไม่ค่อยมีคนเลยนะครับ กระทู้นี้
ให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง x+y+z=xyz จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} \leq \frac{3}{2}\]

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
ไม่ค่อยมีคนเลยนะครับ กระทู้นี้
ให้ x,y,z เป็นจำนวนจริงบวก ซึ่ง x+y+z=xyz จงพิสูจน์ว่า
\[ \frac{1}{\sqrt{1+x^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+y^{2}}}+\frac{1}{\sqrt{1+z^{2}}} \leq \frac{3}{2}\]

อสมการนี้สมมูลกับ อสมการ
cos A + cos B + cos C ฃ 3/2
เมื่อ A,B,C เป็นมุมภายในของสามเหลี่ยม

[gon]

เดี๋ยวต้องจัดสรรเวลาใหม่ครับ ช่วงนี้ไม่มีเวลาคิดเลขบ้างเลย จับปลาหลายมือ