Geometry marathon

[Coco]

มือใหม่ลองทำครับ ผิดถูกยังไงช่วยแก้ด้วยครับ (Latex ไม่เก่งเลยครับ)


(ฎ) ถ้ารูปสี่เหลี่ยมนี้แนบในวงกลม
จะได้ว่า g = p - a และ d = p - b
ดังนั้น ab + bg + gd + da = ab +b(p - a) + (p - a)(p - b) + (p - b)b = $\pi^{2}$

(ฌ) สมมติ a, b, g, d เป็นมุมในสี่เหลี่ยมซึ่ง ab + bg + gd + da = $\pi^{2}$
ดังนั้น (a + g)(b + d) = $\pi^{2}$
มุมในสี่เหลี่ยมรวมกันได้ 2p ดังนั้น (a + g) + (b + d) = 2p
แก้สมการจะได้ g = p - a และ d = p - b
นั่นคือมุมตรงข้ามของสี่เหลี่ยมรวมกันได้ 180 องศา
เพราะฉะนั้นจึงเป็นสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลม

[nongtum]

ที่ทำมาด้านบนถูกแล้วครับ แต่ขาไปง่ายกว่านั้นเยอะหากสังเกตดีๆ กล่าวคือ αβ+αδ+γβ+γδ=(α+γ)(β+δ)=p² ครับ

ตอนนี้ก็เหลือแต่รอโจทย์ใหม่จากคุณ coco หรือจากคนที่แสดงโจทย์ข้อ 6 ได้สมบูรณ์ครับ

Edit: ไม่แน่ใจว่าเป็น bug หรือเปล่า ลองก็อบมาตรงๆ นอกจากจะแสดงผลหลังจากกด post ไม่ถูกแล้ว วงเล็บด้านท้ายยังถูกตีความเป็น emocon ไปซะงั้น

[TOP]

คงจะเป็นผลมาจากตัว Unicode ที่คุณ nongtum ใส่เข้ามา ทำให้เว็บบอร์ดทำงานไม่ถูกต้อง ลองเปลี่ยนมาใช้ UBB Code แทน alpha , beta , gamma สิครับ หรือไม่ก็ใช้เป็น LaTeX แทน

[nongtum]

ระหว่างรอ ขออีกสองข้อละกัน

9.(Very easy exercise) A circle is tangent to another circle internally at point $E$. A line tangent to the smaller circle at point $P$ intersects the bigger circle at point A and B. Prove that line $EP$ bisects $\angle{AEB}$.

10. (Medium) วงกลมวงหนึ่งผ่านจุดยอด $A$ ของสี่เหลี่ยมด้านขนาน $ABCD$ ตัดด้าน $AB,\ AD$ และเส้นแทยงมุม $AC$ ที่จุด $K,L$ และ $M$ ตามลำดับ จงแสดงว่า $AB\cdot{AK}+AD\cdot{AL}=AC\cdot{AM}$

ปล. ขอบคุณคุณ top มากครับที่ชี้แจงข้อสงสัย

[Alberta]

ขอข้อ9ก่อนละกันครับ
สังเกตโดยวาดรูปประกอบ
ลากรูปตามเส้นสีแดงดังภาพ
จะเห็นโดยใช้ทบ.เส้นสัมผัสวงกลมว่ามุมในรูปมีขนาดเท่ากัน(มุมที่เท่ากันมีสีเดียวกัน)
พิจรณาสามเหลี่ยม REPและ สามเหลี่ยม PEB จะเห็นได้ไม่ยากว่ามุมที่สาม ต้องเท่ากัน(มุมREP=มุมPEB)
นั้นคือ เส้น PE แบ่งครึ่งมุมAEB ตามต้องการ

[Alberta]

พี่nongtumครับข้อ10ยากจัง
ขอhintหน่อยก็ดีครับ

[nongtum]

โจทย์ข้อสิบอาจโหดกว่าที่คิด ใบ้ให้ว่าให้กำหนดจุด G บน AC ที่ทำให้มุม AGB เท่ากับมุม AKM ครับ (ใบ้มากแล้วนะ...)

[Alberta]

ขอบคุณสำหรับHintมากๆครับ โหขนาดให้Hintแล้วยัง(แอบ)โหดเลยนะเนี่ย
เมื่อทำตามคำแนะนำของพี่nongtumแล้ว โดยการสร้างGบนACให้ะAKM=ะAGB
เราจะได้ว่า ABทAK= AMทAG ...1
แล้วสร้างแบบเดิมอีกโดยสร้างHบนด้านACให้ ะAHD=ะALM
เราจะได้อีกว่า ADทAL=AMทAH ...2
พิจรณา DH และ BG
จะแสดงว่า DH // BG เนื่องจาก ะALM+ะAKM=180 และเนื่องจากะAHD=ะALM กับ ะAKM=ะAGB เมื่อต่อDH,BGไปถึงX,Yตามลำดับ
จะเห็นว่า ะXHG=ะAHD ดังนั้นะXHG+ะAGB=180นั่นคือDH // BG
พิจรณา DBGC และ DADH จะได้ว่า DBGC @ DADH (พิสูจน์ได้ไม่ยากโดยอาศัยผลจากAD=BCและDH // BG )
ดังนั้น AH=GC ...3
นำ1+2 และผลจาก3
จะได้ABทAK+ADทAL=AMทAG+AMทAH=AM(AG+AH)=AM(AG+GC)=ACทAMตามต้องการ
ปล.พี่ครับ แล้วเราจะรู้ได้ไงว่าเราควรลากอะไรดีละ สร้างแบบนี้ทำยังไงผมก็ไม่มีทางคิดออก ถ้าไม่Hintแน่ๆครับช่วยบอกด้วยครับ

[nongtum]

ตอนแรกที่เห็นโจทย์ข้อนี้ก็นึกไม่ออกเหมือนกันแหละครับ แต่พอรู้แค่นั้นเป็นอ๋อ

ข้อนี้หากสังเกตหลังจากวาดรูปและไล่มุมแลัวลากเส้นเท่าที่จำเป็นครบ (ในที่นี้ลาก LK ด้วย)โดยที่ยังไม่กำหนดจุด G เราจะพบว่าน่าจะต้องลากเส้นอะไรเพิ่ม แต่เนื่องจากเรามีมุม DAC=มุม ACB แล้ว เราสามารถทดลองสร้าง DCBG ให้คล้ายกับ DALG ได้ไม่ยากนัก (ตรงนี้หากไม่ไล่มุมดีๆจะไม่รู้)
จุด G ในข้อนี้ทำให้ DALM~DCGB และ DAKM~DAGB ซึ่งไล่ต่อไปอีกนิดก็ได้คำตอบ จึงเป็นขั้นตอนที่สำคัญที่สุดครับ

น้อง Alberta ตั้งโจทย์ข้อถัดไปได้เลยครับ

[Alberta]

ข้อต่อไปครับ
11. ABC is acute-angled. P is an interior point. The line BP meets AC at E, and the line CP meets AB at F. AP meets EF at D. K is the foot of the perpendicular from D to BC. Show that KD bisects ∠EKF.

[zead]

ยังไม่มีใครตอบข้อ11เลย...ตอบตอนนี้ช้าไปรึป่าวครับ เหอๆ

ไม่ค่อยมั่นใจฝากเช็คให้ด้วยครับ

ใช้ ทฤษฎีบท ceva กับ $\bigtriangleup AFE$ จะได้

$\frac{AB}{BF} \bullet \frac{FD}{DE} \bullet \frac{EC}{AC} = 1$

ดังนั้น$ \frac{FD}{DE} = \frac{BF}{EC} \bullet \frac{AC}{AB} $

จากฏของsine ใน $\bigtriangleup BFK $ได้ว่า

$\frac{BF}{FK} = \frac{sinFKB}{sinB}$ _(1)

ในทำนองเดียวกัน$ \frac{EC}{EK} = \frac{sinEKC}{sinC}$ _(2)

และ$\frac{AC}{AB}=\frac{sinB}{sinc}$ _(3)

$\frac{(1)}{(2)}\times (3);\frac{FD}{DE} = \frac{BF}{EC} \bullet \frac{AC}{AB} = \frac
{FK}{EK} \bullet \frac{sinBKF}{sinEKC} $ _(4)

DK แบ่งครึ่งมุม EKF $\Leftrightarrow มุม FKB = มุม EKC$

สมมติขัดแย้งว่า $มุม FKB\not= มุม EKC$

WLOG;$ มุมFKB>มุมEKC \Rightarrow มุมDKE> มุมFKD

และ จาก (4); \frac{FD}{DE}>\frac{FK}{EK}$

ใน$\bigtriangleup KDE และ\bigtriangleup FKD $ใช้กฏของ sine

แล้วเราจะได้ว่า$ \frac{sinDKE}{sinFKD}=\frac{DE}{EK} \frac{FK}{DF} >1$

นั่นคือ $ \frac{FD}{DE}<\frac{FK}{EK}$ เกิดข้อขัดแย้ง

$\therefore DKแบ่งครึ่งมุมEKF$

[h-man]

มาต่อกันดีกว่า

12. $ABCD$ is a convex quadrilateral. The perpendicular bisectors of $AB$ and $CD$ meet at $Y$. $X$ is a point inside $ABCD$ such that $∠ADX = ∠BCX < 90^o$ and $∠DAX = ∠CBX < 90^o$. Show that $∠AYB = 2 ∠ADX$.

[kartoon]

กำหนดจุด P และจุด Q อยู่บน Perpendicular bisectors ของด้าน AB
โดยที่ มุม APE = มุม ADX และ มุม PAQ = มุม DAX
เป็นการเพียงพอสำหรับการพิสูจน์ ถ้าเราแสดงให้เห็นได้ว่า P และ Y คือจุดเดียวกัน

เนื่องจาก สามเหลี่ยม ADX คล้ายกับ สามเหลี่ยม APQ ทำให้ AD/AP = AX/AQ
แต่ มุม DAP = มุม XAQ ดังนั้น สามเหลี่ยม DAP คล้ายกับ สามเหลี่ยม XAQ
AD/AX = DP/QX ????????(1)

ทำนองเดียวกัน สามเหลี่ยม BCX คล้ายกับ สามเหลี่ยม BPQ ทำให้ BC/BX = BP/BQ
แต่ มุม PBC = มุม QBX ดังนั้น สามเหลี่ยม PBC คล้ายกับ สามเหลี่ยม QBX
BC/BX = CP/QX ?????????(2)

แต่สามเหลี่ยม AXD คล้ายกับ สามเหลี่ยม BXC
AD/AX = BC/BX ???????..(3)

จาก (1), (2), (3) เราได้ CP = DP
เนื่องจาก Y เป็น unique point ดังนั้น Y กับ P คือจุดๆเดียวกัน
ให้สังเกตว่า คำกล่าวอ้างของโจทย์ จะเป็นจริงก็ต่อเมื่อ AB ต้องไม่ขนานกับ CD

[kartoon]

13) P เป็นจุดภายนอกวงกลมที่มี O เป็นจุดศูนย์กลาง จาก P ลากเส้นตรงตัดวงกลมที่ Q และ E
(โดยที่ E อยู่ระหว่างP และ Q และ QE ไม่ใช่เส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม)
A และ C เป็นจุดสัมผัสวงกลมของเส้นตรงที่ลากจาก P โดย A อยู่บน minor arc QE
B เป็นจุดบน AC โดยที่ QB แบ่งครึ่งมุม AQC และตัด EC ที่จุด G
F เป็นจุดบน AQ ซึ่ง BF ตั้งฉากกับ BE
FG ตัดกับ AC ที่จุด H
จงพิสูจน์ว่า B,H,F และQ มีวงกลมล้อมรอบได้

(โจทย์ข้อนี้ผมสร้างขึ้นมาเอง ลองพิสูจน์ดูครับ.... )

[tatari/nightmare]

ผมเห็นกระทู้เงียบเหงาเลยมาเพิ่มให้ครับ (ข้อของพี่การ์ตูนนี่ยากจัง ขอ HINT หน่อยได้ใหมครับ )
14.กำหนดสี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นสี่เหลี่ยมนูน เส้นแบ่งครึ่งมุม $\angle ABC$ ตัดกับด้าน CD ที่ E ถ้า $\angle BCD=\angle CDA ,\angle AEB=90^{\circ}$ จงพิสูจน์ว่า $AB=AD+BC$
15.บทกลับของข้อ 14. จริงหรือไม่ ถ้าจริงจงพิสูจน์ ถ้าไม่จริงจงหาตัวอย่างค้าน