Algebra Marathon

[warut]

เอ่อ...ยังหาคำถามให้ไม่ได้เลยครับ ใครมีโจทย์เชิญโพสต์ไปก่อนได้เล้ย

[nongtum]

เอาเป็นว่าถามข้อนี้ละกัน (ขออนุญาตไม่แปลนะครับ)

4. Does there exist a polynomial P(x,y) of a degree not higher than two that assumes the values 1,2,3,4,5,6,7,8,10, each of them exactly once, on the set {1,2,3}ด{1,2,3}?

[nooonuii]

เพิ่งคิดได้สดๆร้อนๆครับ

5. (nooonuii) จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

x²+2yz = zx
y²+2zx = xy
z²+2xy = yz

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
5. (nooonuii) จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

x²+2yz = zx
y²+2zx = xy
z²+2xy = yz

ไม่แน่ใจนะครับว่าทำแบบนี้ได้ไหม ยังไงลองเสนอความคิดเห็นมาได้นะครับ

ก่อนอื่นจับสามสมการมาบวกกัน จะได้\[(x+y+z)^2=xy+yz+zx\le{}x^2+y^2+z^2\]อสมการนี้เป็นจริงทุกจำนวนจริง x,y,z เพราะ \(\sum_{cyc}(x-y)^2\ge0\) ซึ่งจะเกิดสมการก็ต่อเมื่อ x=y=z=0 ซึ่งเป็นคำตอบของระบบสมการนี้ เพราะจากอสมการด้านบนเราจะได้ xy+yz+zx=0=x+y+z นั่นคือ (x,y,z)=(0,0,0) หรือ (z/3,x/3,y/3) แต่คำตอบตัวหลังเมื่อแทนในสมการโจทย์ด้านบนแล้วจะได้คำตอบเป็น (0,0,0)

ปล. ข้อ 4. ของผมไม่ยากมากครับ แต่อาจต้องออกแรงกันหนักหน่อย

[nooonuii]

คำตอบถูกครับ แต่ยังไม่เข้าใจตรงที่สมการเป็นจริงอ่ะครับ เพราะ x=y=z อย่างเดียวก็น่าจะจริงนะ เอ๊ะหรือว่าผมยังไม่ได้จัดรูปอะไรบางอย่างครับ เพราะมันมีเงื่อนไขเพิ่มเติมอยู่

[nongtum]

สมการด้านบนมาแบบนี้ครับ (ตอนที่คิดได้ตอนแรก กะจะไม่พิมพ์สองบรรทัดสุดท้ายด้วยซ้ำ):
ตอนแรกจากอสมการด้านบน เราจะได้ xy+yz+zxฃ0 แต่จากสมการในบรรทัดเดียวกัน เรารู้ด้วยว่า (x+y+z)²=xy+yz+zxณ0 ประกบกันแล้วจะได้สมการคู่แรก ส่วนคู่ที่สองไม่น่ามีปัญหาครับ
อีกบรรทัดที่เหลือเป็นการแทนค่าง่ายๆโดยอาศัยสมการที่เราหามาได้หมาดๆครับ

[Punk]

ไม่ทราบจะนอกเรื่องมั้ย

6. ถ้า A เป็น positive-definite, symmetric nxn matrix (กล่าวคือ \( \sum_{i,j}A_{ij}\xi^i\xi^j>0 \) สำหรับทุก \( (\xi^1,\ldots,\xi^n)\neq0 \) และ \( A_{ij}=A_{ji} \) ทุก \( i,j \))

จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุก \( \xi=(\xi^1,\ldots,\xi^n) \)
\[
\sum_{ij}A_{ij}\xi^i\xi^j\geq\lambda|\xi|^2
\]
เมื่อ \( \lambda>0 \) เป็นค่าคงที่ (จริงๆแล้วมันคือ eigenvalue ค่าน้อยสุด ของ A)

ความเป็นมา: อันนี้เป็น ellipticity condition ของ Riemannian metric, A อาจจะมองเป็น inner product ก็ได้

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
เพิ่งคิดได้สดๆร้อนๆครับ

5. (nooonuii) จงหาจำนวนจริง x,y,z ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องระบบสมการ

x²+2yz = zx
y²+2zx = xy
z²+2xy = yz

วิธีคิดข้อนี้เหมือนกับของคุณ nongtum ครับ
แต่ข้อสรุปสุดท้ายต่างกันนิดหน่อย

My Solution

จับทั้งสามสมการมาบวกกันจะได้
xy + yz + zx = (x + y + z)² ณ 0
ในขณะเดียวกันกระจายแล้วจัดเทอมใหม่ได้
xy + yz + zx = - (x² + y² + z²) ฃ 0
ดังนั้น x + y + z = xy + yz + zx = 0
นั่นคือ x,y,z เป็นรากของสมการพหุนามในรูป t³ - k = 0
ซึ่งสมการนี้มีรากเป็นจำนวนจริงทั้งหมดก็ต่อเมื่อ k = 0
ดังนั้น x = y = z = 0

[nooonuii]

7. (nooonuii) จงหาพหุนามที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนเต็ม P(x) และ Q(x) ซึ่งสอดคล้องสมการ
\[ \Large{P^4 + Q^4 = P^2Q^2} \]

เห็นกระทู้นี้เหงาๆเลยเอาโจทย์มาฝากครับ ไม่ยาก

[Punk]

ANS: P=0, Q=0

Otherwise: (P/Q)^4-(P/Q)^2+1=0. This is impossible for any real P/Q, because the equation x^4-x^2+1=0 has no real solution.

[Punk]

8. Show that the system
\[
x^2+\varepsilon x+2yz=zx,\quad y^2+\varepsilon y+2zx=xy,\quad z^2+\varepsilon z+2xy=yz
\]
has a unique solution for any parameter \(\varepsilon\neq0\).

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Punk:
8. Show that the system
\[
x^2+\varepsilon x+2yz=zx,\quad y^2+\varepsilon y+2zx=xy,\quad z^2+\varepsilon z+2xy=yz
\]
has a unique solution for any parameter \(\varepsilon\neq0\).

ข้อความข้างบนไม่เป็นจริงครับ เพราะถ้า \(\varepsilon\ne0\) แล้วระบบสมการจะมีอย่างน้อย 2 คำตอบคือ \(x=y=z=0\) และ \(x=y=z=-\varepsilon/2\)

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
4. Does there exist a polynomial P(x,y) of a degree not higher than two that assumes the values 1,2,3,4,5,6,7,8,10, each of them exactly once, on the set {1,2,3}$\times${1,2,3}?

ข้ามปีแล้วแต่ยังไม่มีคนตอบ ดังนั้นขอใบ้เพิ่มนิดนึง อีกหนึ่งสัปดาห์หากยังไม่มีคนตอบได้แล้วจะมาเฉลยครับ
สมมติว่ามีพหุนามที่ว่าจริง จะได้ว่ามีจำนวนจริง $A,B,C,D,E,F$ ซึ่ง $P(x,y)=Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F$ จากนั้นหาสัมประสิทธิ์ $c_{ij}\in\mathbb{Z}$ ที่ทำให้ $\sum{c_{ij}P(i,j)}=0$ บวกกับการสังเกตอีกนิดนึงครับ

ปล. กระทู้นี้เรานับเฉพาะ elementary school, linear (และ Abstract) Algebra ใช่ไหมครับ จะได้ตั้งคำถามกันไม่หลุดกรอบกันเกินไป และเห็นด้วยหรือไม่หากจะตั้งกระทู้มาราธอนสำหรับ higher mathematics โดยเฉพาะสำหรับคำถามที่ใช้ความรู้เกินระดับมัธยม

[Coco]

สมมติว่าจำนวนจริง A, B, C, D, E, F ที่ทำให้ P(x,y) = A$x^2$ + B$y^2$ + Cxy + Dx + Ey + F = 0 มีสมบัติดังกล่าว
จะได้ว่า
f(1,1) = A + B + C + D + E + F
f(1,2) = A + 4B + 2C + D + 2E + F
f(1,3) = A + 9B + 3C + D + 3E + F
f(2,1) = 4A + B + 2C + 2D + 2E + F
f(2,2) = 4A + 4B + 4C + 2D +2E + F
f(2,3) = 4A + 9B + 6C + 2D +3E + F
f(3,1) = 9A + B + 3C + 3D + E + F
f(3,2) = 9A + 4B + 6C +3D + 2E + F
f(3,3) = 9A + 9B + 9C + 3D + 3E + F
ดังนั้น
2A = -3f(1,1) - 2f(2,1) + f(3,1) นั่นคือ 2A เป็นจำนวนเต็ม
2B = -3f(1,2) - 2f(1,2) + f(1,3) ฎ 2B เป็นจำนวนเต็ม
C = f(1,1) - f(2,1) - f(2,2) + f(3,2) - 2A ฎ C เป็นจำนวนเต็ม
2D = -f(1,1) + f(3,1) - 8A - 2C ฎ 2D เป็นจำนวนเต็ม
2E = -f(1,1) + f(1,3) - 8B - 2C ฎ 2E เป็นจำวนเต็ม
F = f(2,2) - 4A - 4B -4C - 2D - 2E ฎ F เป็นจำนวนเต็ม
เพราะฉะนั้น
f(1,1)+f(1,2)+f(1,3)+f(2,1)+f(2,2)+f(2,3)+f(3,1)+f(3,2)+f(3,3) = 1+2+3+4+5+6+7+8+10
42A + 42B + 36C + 18D + 18E + 9F = 46
3(14A + 14B + 12C + 6D + 6E + 3F) = 46
เนื่องจาก 14A + 14B +12C + 6D+ 6E +3F เป็นจำนวนเต็ม
จะได้ว่า 46 หารด้วย 3 ลงตัว เกิดข้อขัดแย้ง
นั่นคือไม่มีพหุนามที่มีสมบัติดังกล่าว

[nongtum]

เพื่อไม่ให้กระทู้เงียบขอมาปล่อยระเบิดอีกลูกดีกว่าครับ(ยากหน่อยนะครับข้อนี้)

9. จงหาพหุนาม $f(x)$ ทั้งหมดที่ทำให้มีพหุนาม $p(t)$ ที่สอดคล้องกับเอกลักษณ์ $f(x^2)=p(f(x))$

ส่วนข้อแปดไม่มีอะไรเสริมครับ เพราะทำแบบเดียวกัน