Algebra Marathon

[nooonuii]

ปลุกกระทู้ครับ

10. กำหนดให้ $f:R\times R\rightarrow R$ โดยที่
$$f(x,f(y,x)) = y \ ,\ \forall y\in R$$
จงพิสูจน์ว่า
$$f(f(x,y),x)=y \ ,\ \forall y\in R$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nongtum:
ปล. กระทู้นี้เรานับเฉพาะ elementary school, linear (และ Abstract) Algebra ใช่ไหมครับ จะได้ตั้งคำถามกันไม่หลุดกรอบกันเกินไป และเห็นด้วยหรือไม่หากจะตั้งกระทู้มาราธอนสำหรับ higher mathematics โดยเฉพาะสำหรับคำถามที่ใช้ความรู้เกินระดับมัธยม

จริงๆแล้วผมตั้งใจจะให้ขอบเขตไปไกลถึง Abstract Algebra ครับ แต่ว่าในนี้มีเพียงไม่กี่คนเท่านั้นที่พอจะเล่นเนื้อหาระดับนี้ได้ ถ้าคุณ nongtum สนใจจะเล่นด้วยผมก็ไม่เกี่ยงอยู่แล้วครับ

[nongtum]

10. กำหนดให้ $f:R\times R\rightarrow R$ โดยที่
$$f(x,f(y,x)) = y \ ,\ \forall y\in R$$
จงพิสูจน์ว่า
$$f(f(x,y),x)=y \ ,\ \forall y\in R$$

ไม่รู้ข้อนี้จะมีอะไรแปลกๆซ่อนไว้หรือเปล่า แต่ผมคิดได้แบบนี้ครับ: $$y=f(f(x,y),f(y,f(x,y)))=f(f(x,y),x)$$ส่วนข้อเก้าสงสัยผมออกโหดไปนิด ใบ้ให้ว่าเริ่มจากการสมมติ $f$ เป็นพหุนามกำลัง $n$ แล้วหาพหุนาม $p$ จากเงื่อนไขที่ให้ครับ

อ้อ ผมเพิ่งเห็นคำตอบล่าสุดของคุณ nooonuii ที่จริงผมก็เรียน abstract algebra มาแล้วนะ เรียนจนผ่านมาได้หลายเทอมแล้วแต่ก็ยังไม่ค่อยเข้าใจเท่าไหร่ แต่ถ้าจะตั้งคำถามไม่ว่าจะแบบนี้หรือแบบไหนก็จะพยายามทดแล้วพิมพ์(หากตอบได้)ครับ

[M@gpie]

Abstract algebra ขอแบบพื้นฐานๆ ได้ไหมครับ ปิดเทอมนี้ผมกำลังจะอ่านพอดีเลย อิอิ

[nooonuii]

โจทย์ข้อ 10 ผมดัดแปลงมาจากโจทย์ Putnam 2001#A1 ครับ คุณ nongtum คิดได้ภายในบรรทัดเดียวนี่สุดยอดเลยครับ โจทย์ไม่มีอะไรซ่อนไว้หรอกครับเป็นโจทย์แนว tricky ครับ บางครั้งมันก็ง่ายเหลือเชื่อแต่บางครั้งคิดยังไงก็คิดไม่ออกครับ

[nooonuii]

ยังไม่มีเวลาคิดข้อ 9 ของคุณ nongtum เลยครับ

11. จงหาจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ

$$x^3+3y^3+9z^3=9xyz$$

Hint : Field Theory may help.

12. ตามคำขอของน้อง Magpie ครับ
จงสร้างการดำเนินการทวิภาค * บนช่วงเปิด (0,1) ซึ่งทำให้ G = ( (0,1) , * ) เป็น group โดยที่สมาชิก $x\in G$ มี inverse คือ $1 - x$

[nongtum]

ไม่เป็นไรครับ คำถามนี้ไว้ว่างๆลองคิดก็ได้ เพราะไม่ค่อยง่ายนัก

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
11. จงหาจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ
$$x^3+3y^3+9z^3=9xyz$$

ลองตอบดูนะครับ
สมการนี้เทียบเท่ากับ $x+\sqrt[3]{3}y+\sqrt[3]{9}z=0$ ซึ่งจะเห็นได้ชัดว่า $x=y=z=0$ เป็นคำตอบที่เป็นจำนวนตรรกยะชุดเดียวครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
12. ตามคำขอของน้อง Magpie ครับ
จงสร้างการดำเนินการทวิภาค * บนช่วงเปิด (0,1) ซึ่งทำให้ G = ( (0,1) , * ) เป็น group โดยที่สมาชิก $x\in G$ มี inverse คือ $1 - x$

ไม่รอแล้วนะครับ บางทีรอแล้วกว่าจะแน่ใจว่าไม่มีใครมาทำ ลืมไปแล้วว่าทำยังไง

ตัวอย่างอันหนึ่งก็เช่นให้ $ x*y = \{ x+y + \frac12 \} $ โดยที่ $ \{ x \} $ แทน fractional part ของ $x$ ครับ

[nongtum]

มาปล่อยข้อง่ายๆบ้างดีกว่า เล่นกันไม่กี่คนไม่ค่อยสนุกนะครับ...

13. เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเลือกพารามิเตอร์ $a,b,c$ ที่ทำให้สมการ $$(x+a)^2+(2x+b)^2+(2x+c)^2=(3x+1)^2$$ เป็นจริงสำหรับทุก $x$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

11. จงหาจำนวนตรรกยะทั้งหมดที่สอดคล้องสมการ

$$x^3+3y^3+9z^3=9xyz$$

Hint : Field Theory may help.

11. My Solution : Let $\displaystyle{ a= x, b=\sqrt[3]{3}y,c=\sqrt[3]{9}z.}$ Then we have
$$(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) = a^3+b^3+c^3 - 3abc=0.$$
Thus $a+b+c=0$ or $a=b=c.$

Case 1 : $a+b+c=0.$ Note that $Q(\sqrt[3]{3})$ is a field and it can be viewed as a 3-dimensional vector space over $Q$ with basis $1,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9}$. Thus $a+b+c=0$ implies $x=y=z=0$ by linear independence of $1,\sqrt[3]{3},\sqrt[3]{9}.$

Case 2 : $a=b=c$. Then we have $\displaystyle{ x = \sqrt[3]{3}y=\sqrt[3]{9}z.}$
If $y\neq 0$ then $\displaystyle{ \sqrt[3]{3}= \frac{x}{y}}$ is rational which is a contradiction. Hence $x=y=z=0.$

Therefore $x=y=z=0$ is the only rational solution of this equation.

12. ผมก็ยังคิดไม่ออกเหมือนกันครับ เผอิญเพื่อนเอามาถามเห็นว่าน่าสนใจเลยลองเอามาถามดูครับ ตอนแรกผมคิดว่าคิดออกแล้วโดยนิยาม $\displaystyle{ x*y = x+y+\frac{1}{2} }$(mod 1) ซึ่งเป็นการดำเนินการทวิภาคแบบเดียวกับที่คุณ Warut ยกตัวอย่างมา ดีใจไปได้ซักพักผมพบว่าการดำเนินการทวิภาคตัวนี้ไม่มีคุณสมบัติปิดครับ เพราะ $\displaystyle{\frac{1}{4}*\frac{1}{4} = 0\notin (0,1)}$

Edit (warut): quote โจทย์

[nooonuii]

13. $\displaystyle{(x+\frac{1}{3})^2+(2x+\frac{2}{3})^2+(2x+\frac{2}{3})^2 = (3x+1)^2}$

idea : เนื่องจากสมการเป็นจริงทุก x เราจะได้ว่าสมการดังกล่าวเป็น Polynomial identity ดังนั้น
$2a+4b+4c=6$ และ $a^2+b^2+c^2=1$
จากนั้นใช้ Cauchy-schwarz inequality หาค่า a,b,c ออกมาครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
12. จงสร้างการดำเนินการทวิภาค * บนช่วงเปิด (0,1) ซึ่งทำให้ G = ( (0,1) , * ) เป็น group โดยที่สมาชิก $x\in G$ มี inverse คือ $1 - x$

ขอแก้มือข้อ 12. อีกทีครับ

แนวคิดที่ผมใช้คราวนี้คือ เลือกเอา homeomorphism $f: (0,1) \to \mathbb R$ มาใช้เป็น group homomorphism $f: ((0,1),*) \to (\mathbb R,+) $ ซึ่งจะทำให้เราได้ว่า $$ x*y = f^{-1}(f(x)+f(y)) $$ อย่างเช่น ถ้าให้ $$ f(x)= \frac{2x-1}{2x(1-x)} $$ ดังนั้นเราได้ $$ f^{-1}(y) = \cases{ \frac{y-1+ \sqrt{y^2+1} }{2y} & , y \ne 0 \\ \frac12 & , y=0 } $$ ถ้าใครว่างจะลอง (ใช้ symbolic package) หาเป็น explicit formula สำหรับ $x*y$ ในกรณีนี้ดูก็ได้นะครับ

หรือจะให้ $f(x)= \tan(x-\frac12)\pi$ ก็ใช้ได้เช่นกันครับ

ยังไงคุณ nooonuii ช่วย ปรับปรุง/แก้ไข คำอธิบายของผม ให้เป็นภาษาคณิตศาสตร์ (ขั้นสูง) ที่ถูกต้องด้วยนะครับ

[nooonuii]

อืม ผมก็พยายามจะคิดทำนองนี้ครับ แต่ผมเกรงว่าตัวดำเนินการทวิภาคที่ได้มันจะไม่ associative น่ะครับ ยังไม่ได้ลองเช็คเหมือนกันครับเพราะสูตรโหดร้ายมาก แต่ผมเห็นสูตรติด square root ก็เริ่มรู้สึกว่ามันไม่น่าจะ associative แล้วครับ

[warut]

ผมเช็ค associativity จากนิยามที่เราให้ว่า $ x*y = f^{-1}(f(x) + f(y)) $ นั่นคือ $ f(x*y) = f(x) + f(y) $ ดังนั้น $$ f((x*y)*z) = f(x*y) + f(z) = f(x) + f(y) + f(z) = f(x) + f(y*z) = f(x*(y*z)) $$ แสดงว่า $ (x*y)*z = x*(y*z) $

ผมคิดว่าจุดสำคัญจุดเดียวในการเลือก homeomorphism มาใช้ ก็คือต้องให้ $ f(x^{-1}) = f(1-x) = -f(x) = \{ f(x) \}^{-1} $ เท่านั้นแหละครับ

[nooonuii]

จริงด้วยครับ มันเช็คผ่าน isomorphism ได้นี่นา งั้นก็คงไม่มีปัญหาอะไรแล้วล่ะครับ