ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[poper]

เนื่องจากแบบเรียน สอวน. นั้น ไม่มีเฉลย จึงคิดว่าน่าจะร่วมกันทำเฉลยซะใน mc ดีกว่าอ่ะครับ
ผมเองก็พึ่งจะไปเหมามาจากงานหนังสือ ก็จะได้ตรวจสอบวิธีทำของผมเองด้วย ยังไงก็ขอฝากด้วยนะครับ
ขอเริ่มจาก พีชคณิตนะครับ
โจทย๋ปัญหา 1.1
1) จงคำนวณค่าของ $\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}$
2) จงสังเกตสิ่งที่เป็นจริงในบางกรณีที่กำหนดไว้ในข้อต่อไปนี้ แล้วจงเขียน(เดา)สมมุติฐานสำหรับกรณีทั่วไป พร้อมกับพิสูจน์ว่าสมมุติฐานเป็นจริง
2.1 \[\matrix{3^2 & + & 4^2 & = & 5^2\\5^2 & + & 12^2 & = & 13^2\\7^2 & + & 24^2 & = & 25^2\\9^2 & + & 40^2 & = & 41^2}\]
2.2 \[\matrix{1^2&=&\frac{1\cdot2\cdot3}{6}\\1^2+3^2&=&\frac{3\cdot4\cdot5}{6}\\1^2+3^2+5^2&=&\frac{5\cdot6\cdot7}{6}}\]
3) จงหาผลบวก $6+66+666+6666+...+666...6(nตัว)$ เมื่อ $n\geqslant 1$
4) กำหนดให้ $f_0(x)=\frac{1}{1-x} และ f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$ สำหรับ $n\geqslant 1$ และ $x\not=1$ จงหาค่าของ $f_{2002}(2002)$
5) กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลบวกของของ n พจน์แรก ของลำดับต่อไปนี้$0,1,1,2,2,3,3,4,4,..,r,r,r+1,r+1,...$
5.1 จงเขียนสูตรกำหนด $f(n)$ สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ
5.2 จงพิสูจน์ว่า $f(s+t)-f(s-t)=st$ สำหรับจำนวนเต็มบวก s และ t ซึ่ง $s>t$
6) กำหนด $f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ$f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})$
7) กำหนดให้ลำดับ $a_0,a_1,a_2,...$ สอดคล้องกับเงื่อนไข $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$ สำหรับจำนวนเต็ม $m\geqslant n$ ถ้า $a_1=1$ จงหา $a_{2003}$

[poper]

1) จงคำนวณค่าของ $\sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}$

ประเดิมก่อนครับ
$(71)(70)(69)(68)+1=68(68+1)(68+2)(68+3)+1$
ให้ $n=68$ จะได้ว่า
$n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n^2+3n)(n^2+3n+2)+1={(n^2+3n)}^2+2(n^2+3n)+1={(n^2+3n+1)}^2$
แทน $n=68$ ดังนั้น
$(71)(70)(69)(68)+1={(68^2+3(68)+1)}^2=(4624+204+1)^2=(4829)^2$
$\therefore \sqrt{(71)(70)(69)(68)+1}=\sqrt{(4829)^2}=4829$

[poper]

\[\matrix{3^2&+&4^2&=&5^2\\5^2&+&12^2&=&13^2\\7^2&+&24^2&=&25^2\\9^2&+&40^2&=&41^2}\]

สมมุติฐานคือ
${(2n+1)}^2+{[2n(n+1)]}^2={(2n^2+2n+1)}^2$
พิสูจน์
$LHS={(2n+1)}^2+{[2n(n+1)]}^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$
$RHS={(2n^2+2n+1)}^2=4n^4+8n^3+8n^2+4n+1$
$\therefore LHS=RHS$

[poper]

\[\matrix{1^2&=&\frac{1\cdot2\cdot3}{6}\\1^2+3^2&=&\frac{3\cdot4\cdot5}{6}\\1^2+3^2+5^2&=&\frac{5\cdot6\cdot7}{6}}\]

สมมุติฐานคือ
$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6}$
พิสูจน์
$\sum_{k=1}^n(2k-1)^2=\sum_{k=1}^n(4k^2-4k+1)$
$=4\sum_{k=1}^nk^2-4\sum_{k=1}^nk+\sum_{k=1}^n1$
$=\frac{2}{3}n(n+1)(2n+1)-2n(n+1)+n$
$=\frac{2n(n+1)(2n+1)-6n(n+1)+3n}{3}$
$=\frac{2n(n+1)(2n-2)+3n}{3}$
$=\frac{n(2n+1)(2n-1)}{3}$
$=\frac{(2n-1)(2n)(2n+1)}{6}$

[poper]

3) จงหาผลบวก $6+66+666+6666+...+666...6(nตัว)$ เมื่อ $n\geqslant 1$

$6+66+66+6666+666...6(nตัว)=6n+6(10)(n-1)+6(10^2)(n-2)+...+6(3)(10^{n-2})+6(2)(10^{n-1})+6(10^n)$
$$=6(n+10(n-1)+10^2(n-2)+...+(3)(10^{n-2})+(2)(10^{n-1})+(10^n))$$
$$=6\sum_{k=1}^n(n-k+1)(10^{k-1})$$
$$=6[\sum_{k=1}^n(n(10^{k-1})-k(10^{k-1})+10^{k-1})]$$
$$=6[\frac{n+1}{10}\sum_{k=1}^n10^{k}-\sum_{k=1}^nk(10^{k-1})]$$
$$=\frac{3}{5}[(n+1)(\frac{10(10^n-1)}{9}]-\frac{3}{5}\sum_{k=1}^nk(10^{k})$$
$$=\frac{2}{3}(n+1)(10^n-1)-\frac{3}{5}\sum_{k=1}^nk(10^{k})$$
ได้แค่เนี้ยอ่ะครับ

[poper]

กำหนดให้ $f_0(x)=\frac{1}{1-x}$ และ $f_n(x)=f_0(f_{n-1}(x))$ สำหรับ $n\geqslant 1$ และ $x\not=0$ จงหาค่าของ $f_{2002}(2002)$

$f_1(x)=f_0(f_0(x))=f_0(\frac{1}{1-x})=\frac{x-1}{x}$
$f_2(x)=f_0(f_1(x))=f_0(\frac{x-1}{x})=x$
$f_3(x)=f_0(f_2(x))=f_0(x)=\frac{1}{1-x}$ เริ่มวน
ดังนั้น \(f_n(x)=\cases{\frac{1}{1-x}&,n=3m-3\\ \frac{x-1}{x}&,n=3m-2\\x&,n=3m-1}\) $m=1,2,3,...$
$2002=3(668)-2$
ดังนั้น $f_{2002}(x)=\frac{x-1}{x}$
$f_{2002}(2002)=\frac{2001}{2002}$

[DOMO]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

3) จงหาผลบวก $6+66+666+6666+...+666...6(nตัว)$ เมื่อ $n\geqslant 1$

ข้อนี้ทำแบบนี้ได้ไหมครับ

$6+66+666+6666+...+\underbrace{666...6}_{n ตัว} = x$

$x = 6(1+11+111+1111+...+\underbrace{111...1}_{n ตัว})$

$9x = 6(9+99+999+9999+...+\underbrace{999...9}_{n ตัว})$

$9x = 6(10-1+10^2-1+10^3-1+10^4-1+...+10^n-1)$

$9x = 6(10+10^2+10^3+10^4+...+10^n-\underbrace{1-1-1-...}_{n ตัว})$

ใช้สูตร $s_n = \frac{a_1(r^n-1)}{r-1} ; r\not= 1$

ได้ $x = \frac{6}{9}(\frac{10(10^n-1)}{10-1} - n)$

$ x = \frac{2}{3}(\frac{10^{n+1}-10-9n}{9})$

$\therefore x = \frac{2(10^{n+1}-9n-10)}{27}$

ไม่น่าจะถูก

[poper]

ถูกครับ ลองแทนค่าแล้วได้ครับ
ขอบคุณมากเลยครับ

[poper]

5) กำหนดให้ $f(n)$ เป็นผลบวกของของ n พจน์แรก ของลำดับต่อไปนี้ $0,1,1,2,2,3,3,4,4,...,r,r,r+1,r+1,...$
5.1 จงเขียนสูตรกำหนด $f(n)$ สำหรับจำนวนเต็มบวกใดๆ

$f(1)=0$ $\ \, f(2)=1$ $\ \, f(3)=2$ $\ \, f(4)=4$ $\ \, f(5)=6$ $\ \, f(6)=9$ $\ \, f(7)=12$ $\ \, f(8)=16$
เมื่อ n เป็นจำนวนคี่ จะได้ลำดับคือ $0,2,6,12,...$ $\ \ f(k)=k^2-k$ ดังนั้น $n=2k-1$ จะได้ $k=\frac{n+1}{2}$ $\ \ f(n)=\frac{n^2-1}{4}$
เมื่อ n เป็นจำนวนคู่ จะได้ลำดับคือ $1,4,9,16,...$ $\ \ f(k)=k^2$ ดังนั้น $n=2k$ จะได้ $k=\frac{n}{2}$ $\ \ f(n)={(\frac{n}{2})}^2$
\(f(n)=\cases{\frac{n^2-1}{4}&,n เป็นจำนวนคี่\\{(\frac{n}{2})}^2&,n เป็นจำนวนคู่}\)

[poper]

5.2 จงพิสูจน์ว่า $f(s+t)-f(s-t)=st$ สำหรับจำนวนเต็มบวก s และ t ซึ่ง s>t

1) เมื่อ s และ t เป็นจำนวนคู่ หรือ จำนวนคี่ s+t และ s-t เป็นจำนวนคู่
ดังนั้น $f(s+t)-f(s-t)={(\frac{s+t}{2})}^2-{(\frac{s-t}{2})}^2=st$
2) เมื่อ s หรือ t มีตัวหนึ่งเป็นจำนวนคู่และอีกตัวหนึ่งเป็นจำนวนคี่ s+t และ s-t เป็นจำนวนคี่
ดังนั้น $f(s+t)-f(s-t)=\frac{(s+t)^2-1}{4}-\frac{(s-t)^2-1}{4}=\frac{(s+t)^2-(s-t)^2}{4}=st$

[poper]

6) กำหนด $f(x)=\frac{a^x}{a^x+\sqrt{a}}$ เมื่อ a เป็นจำนวนจริงบวก จงหาค่าของ $f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})$

นำ $a^x$ หารทั้งเศษและส่วน
$$f(x)=\frac{1}{1+a^{(\frac{1}{2}-x})}=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{1-2x}}$$
$$f(\frac{n}{x})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{x-2n}{x}}}$$
$$f(\frac{n}{2001})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{2001-2n}{2001}}}$$
$$f(\frac{1}{2001})+f(\frac{2}{2001})+...+f(\frac{2000}{2001})=\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{\frac{1999}{2001}}}+\frac{1}{1+{(\sqrt{a })}^{\frac{1997}{2001}}}+...+\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{-\frac{1997}{2001}}}+\frac{1}{1+{(\sqrt{a})}^{-\frac{1999}{2001}}}$$
สังเกตว่า $\frac{1}{1+a^n}+\frac{1}{1+(a)^{-n}}=1$
ดังนั้นผลบวกทั้งหมด $=1+1+1+...+1(1000ตัว)=1000$

[poper]

7) กำหนดให้ลำดับ $a_0,a_1,a_2,...$ สอดคล้องกับเงื่อนไข $a_{m+n}+a_{m-n}=\frac{1}{2}(a_{2m}+a_{2n})$ สำหรับจำนวนเต็ม $m\geqslant n$ ถ้า $a_1=1$ จงหา $a_{2003}$

1) m=1,n=1 จะได้ $a_2+a_0=a_2$---->$a_0=0$
2) m=1,n=0 จะได้ $2a_1=\frac{1}{2}a_2$---->$a_2=4$
3) m=2,n=0 จะได้ $2a_2=\frac{1}{2}a_4$---->$a_4=16$
4) m=2.n=1 จะได้ $a_3+a_1=\frac{1}{2}(a_4+a_2)$---->$a_3=9$
5) m=3,n=0 จะได้ $a_3=\frac{1}{2}a_6$---->$a_6=36$
จะสังเกตว่า $a_n=n^2$
ดังนั้น $a_{2003}=2003^2=4012009$

[กิตติ]

ขยันจังครับคุณPoper
ขอดูอย่างเดียว พลังวัตรไม่ถึงขั้นครับ

[poper]

มาเพิ่มแล้วครับ
โจทย์ปัญหา 1.2
1) จงหาจำนวนเต็ม x ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x}$ และ $\sqrt{x-\sqrt{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม
2) จงหาอัตราส่วนของความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเป็นพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต
3) จงหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นเลข 2 หลักที่มีผลบวกของเลขโดดในหลักทั้งสองเท่ากับ 12 แต่ถ้าเอา 36 บวกเข้ากับจำนวนนั้น จะได้จำนวนซึ่งกลับหลักกับจำนวนนั้น
4) จงหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นเลข 3 หลัก ถ้าสลับที่หลักหน่วยกับหลักร้อยของจำนวนนั้นจะได้ จำนวนที่มากกว่าสองเท่าของจำนวนเดิมอยู่ 66 แต่ถ้าสลับที่หลักร้อยกับหลักสิบ จะได้จำนวนที่มีค่าน้อยกว่าจำนวนเดิมอยู่ 180 และถ้าสลับที่หลักหน่วยกับหลักสิบ จะได้จำนวนที่มีค่ามากกว่าจำนวนเดิมอยู่ 63
5) จงหาจำนวนจริง 2 จำนวน ซึ่งจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนบวก แต่อีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนลบ ผลต่างของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 2 และผลบวกของส่วนกลับของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 1
6) มาลีมีอายุ 32 ปี วิมลมีอายุเป็นครึ่งหนึ่งของอายุมาลีในปีที่มาลีมีอายุเท่ากับวิมลขณะนี้ อยากทราบว่าในปีนี้ วิมลมีอายุเท่าใด
7) เมื่อฉันมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของพ่อ ลูกชายของฉันก็จะมีอายุมากกว่าอายุปัจจุบันของฉัน 7 ปี ส่วนปัจจุบัน ผลรวมของอายุพวกเราทั้ง 3 คนเท่ากับ100 ปีพอดี จงบอกอายุปัจจุบันของฉัน
8) จงหาจำนวนเต็มบวกสองจำนวนซึ่งผลบวกของจำนวนทั้งสองคูณกับผลบวกกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 5500 แต่ผลต่างของจำนวนทั้งสองคูณกับผลต่างกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 352
9) พ่อค้าผู้หนึ่งตั้งใจว่าจะตัดผ้าในพับออกเป็น 50 ชิ้นเท่าๆกัน แต่ปรากฏว่าเขาตัดผ้าบางชิ้นยาวไป 2 หลา และที่เหลือนอกนั้นตัดสั้นไปครึ่งหลา และเมื่อเขาตัดผ้าครบ 50 ชิ้นแล้ว ยังคงมีผ้าในพับเหลือ 10 หลา อยากทราบว่าพ่อค้าตัดผ้ายาวไปกี่ชิ้น
10) เดชชาติกำหนดวงเงินไว้ 3,600 บาทต่อสัปดาห์เพื่อจ้างคนงานถมดินภายในบริเวณบ้าน โดยทำงานสัปดาห์ละ 6 วัน แต่เมื่อจ้างจริงปรากฏว่าค่าแรงถูกไป จำต้องเพิ่มค่าแรงให้แก่คนงานสูงขึ้นอีก คนละ 5 บาทต่อวัน ด้วยเหตุนี้จึงต้องลดคนงานลงเสีย 4 คนจึงจะทำให้การจ่ายค่าจ้างพอดีกับวงเงินที่ตั้งไว้ จงหาว่าแต่เดิมเดชชาติกำหนดจะจ้างคนงานกี่คน
11) รถไฟขบวนหนึ่งเกิดอุบัติเหตุหลังออกจากสถานีต้นทาง 1 ชั่วโมงและเสียเวลาซ่อมอยู่ 1 ชั่วโมงก่อนออกเดินทางต่อไปได้ แต่ต้องเดินทางต่อด้วยความเร็วเพียง $\frac{3}{5}$ ของความเร็วปกติเท่านั้น ปรากฏว่ารถไฟถึงสถานีปลายทางช้ากว่ากำหนด 3 ชั่วโมง แต่ถ้าอุบัติเหตุเกิดขึ้นไกลกว่าที่เดิม 50 กิโลเมตร รถไฟจะเสียเวลาเพียงชั่วโมงครึ่ง
เราจะบอกระยะทางของรถไฟขบวนนี้ได้หรือไม่ จากข้อมูลที่ให้มานี้
12) ครอบครัวหนึ่งมีพี่น้อง 4 คน อายุแตกต่างกันในช่วง 2 ถึง 16 ปี เมื่อปีที่แล้ว ผลบวกกำลังสองของอายุน้องทั้งสามคนเท่ากับกำลังสองของอายุพี่คนโต แต่ปีหน้าผลบวกกำลังสองของอายุพี่คนโตกับอายุน้องคนเล็กจะเท่ากับผลบวกกำลังสองของอายุน้องสองคนกลาง อยากทราบว่าพี่น้องทั้ง 4 คน แต่ละคนมมีอายุเท่าใด
13) ให้ x และ y เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x+y+xy=71$ และ $x^2y+xy^2=880$ จงหาค่าของ $x^2+y^2$
14) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n เรานิยามให้ $h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
จงพิสูจน์โดยไม่ใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $n+h(1)+h(2)+h(3)+...+h(n-1)=nh(n)$ สำหรับ $n=2,3,4,...$
15) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n จงพิสูจน์ว่า $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-...+\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+...+\frac{1}{2n-1}$
16) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก n เรากำหนดให้ $S_n=1-2+3-4+...+(-1)^{n-1}n$ จงหา $S_{2000}+S_{2001}$
17) ให้ N แทนเซตของจำนวนนับและ $f\subseteq N\times N$ จงหาค่าของ $f(2547)$ เมื่อ f ถูกกำหนดโดย
\(f(3n)=\cases{1&,n=1\\n+f(3n-3)&,n>1}\)

[poper]

1) จงหาจำนวนเต็ม x ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x}$ และ $\sqrt{x-\sqrt{x}}$ เป็นจำนวนเต็ม

ให้ $\sqrt{x}=m$ $\ \ \ m\geqslant 0$
$x=m^2$
$\sqrt{x-\sqrt{x}}=\sqrt{m^2-m}=n$ $\ \ \ n\geqslant 0$
$m^2-m=n^2$
${(m-\frac{1}{2})}^2-\frac{1}{4}=n^2$
${(m-\frac{1}{2})}^2-n^2=\frac{1}{4}$
$(m+n-\frac{1}{2})(m-n-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
ให้ m+n=a และ m-n=b จะได้ a เป็นจำนวนเต็มบวก,b เป็นจำนวนเต็ม
$(a-\frac{1}{2})(b-\frac{1}{2})=\frac{1}{4}$
$2ab=a+b$
$b=\frac{a}{2a-1}$
เนื่องจาก b เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น $\frac{a}{2a-1}$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม
$\therefore a=0,1$
$m=0,1$
$x=0,1$