ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[วะฮ่ะฮ่า03]

3.4 3x8x13x18=54x104 ให้ a=54
จะได้ $3x8x13x18=a(a+50)=a^2+50a$
$\sqrt{a^2+50a+625} =a+25=79$

[วะฮ่ะฮ่า03]

3.1 จะต้องแสดงว่ามีผลลบคู่หนึ่งเป็นคู่
$a_i-i (1\leqslant i\leqslant n)$ต้องมีตัวหนึ่งเป็นคี่ และตัวหนึ่งเป็นคู่ จึงทำให้ผลลบเป็นจำนวนเต็มคี่
จากที่คี่มากกว่าคู่จะมีอย่างน้อย 1 คู่ที่ไม่เป็นตามเงื่อนไข คู่นั้นมีผลลบเป็นจำนวนเต็มคู่
ดังนั้นผลคูณทั้งหมด เป็นคู่

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอลงโจทย์ต่อเลยนะครับ
โจทย์ปัญหา 1.5
1. จงใช้สมบัติความสมมาตรแก้โจทย์ปัญหาในข้อต่อไปนี้
1.1 จงพิสูจน์ว่าจำนวนตัวหารของจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์
1.2 จงคำนวณระยะทางสั้นที่สุดในระนาบ จากจุดพิกัด $(3,5)$ ไปยังจุดพิกัด $(8,2)$ โดยที่เส้นทางนั้นจะต้องผ่าน หรือสัมผัสแกน $x$ และแกน $y$

1.1

ให้ $n = p_1^{i_1}p_2^{i_2}...p_k^{i_k}$ นั่นคือกระจาย n โดนทฤษฎีหลักมูลเลขคณิต
ให้ $j \in \mathbb{N} , j \le k$

($\Rightarrow $)

สมมติ $2\nmid \tau (n)$

that is
$2\nmid (i_1+1)(i_2+1)...(i_k+1)$

$2\nmid (i_1+1) \wedge 2\nmid (i_2+1) \wedge ... \wedge 2\nmid (i_k+1)$
$2|i_1 \wedge 2|i_2 \wedge ... \wedge 2|i_k$

that is for all $i_j$
there will be $m_j$ that
$i_j = 2m_j$

$n = p_1^{2m_1}p_2^{2m_2}...p_k^{2m_k} = (p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_k^{m_k})^2$

n เป็นกำลังสองสมบูรณ์

($\Leftarrow $)

สมมติ n เป็นกำลังสองสมบูรณ์
ให้ $n = (p_1^{m_1}p_2^{m_2}...p_k^{m_k})^2 = p_1^{2m_1}p_2^{2m_2}...p_k^{2m_k} $

that is
$2\nmid (2m_1+1)(2m_2+1)...(2m_k+1)$

$2\nmid \tau (n)$

จากทั้งสองกรณี จึงได้ จำนวนตัวหารของจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนคี่ ก็ต่อเมื่อ $n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์

1.2

สะท้อน (8,2) ข้ามแกน x, y ได้จุด (-8,-2)
สะท้อนเส้นจาก (3,5) ไป (8,2) พบว่าเส้นใหม่มีความยาวเท่า้เส้นเดิม
เส้นใหม่จะสั้นที่สุด ก็ต่อเมื่อ เส้นใหม่เป็นเส้นตรง

Pythagoras;; ระยะทางที่สั้นที่สุดเท่ากับ $\sqrt{11^2+7^2} = \sqrt{170}$

[perterlly zoughq]

[7) เมื่อฉันมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของพ่อ ลูกชายของฉันก็จะมีอายุมากกว่าอายุปัจจุบันของฉัน 7 ปี ส่วนปัจจุบัน ผลรวมของอายุพวกเราทั้ง 3 คนเท่ากับ100 ปีพอดี จงบอกอายุปัจจุบันของฉัน

ฉันมีอายุ y ปี พ่อมีอายุ y+x ปี ลูกมีอายุ y-r ปี
y+y+x+y-r=100
3y+x-r=100
ตอนที่ฉันมีอายุเท่ากับพ่อ ลูกจะมีอายุ y-r+x = y+7
จะได้ x-r=7
3y+7=100
y=31

=*=

[time.math]

ขอคำชี้แนะ พีชคณิตสอวน. โจทย์ปัญหา1.5 ข้อ2.1ด้วยครับ
ขอบคุณครับ

[Thgx0312555]

$3(x^2+(1-x-y)^2+(1-y)^2)$

$= (x^2+(1-x-y)^2+(1-y)^2)+(y^2+(1-y-z)^2+(1-z)^2)+(z^2+(1-z-x)^2+(1-x)^2)$

$= x^2+(1-x)^2+y^2+(1-y)^2+z^2+(1-z)^2+(1-x-y)^2+(1-y-z)^2+(1-z-x)^2$

$\ge x^2+(1-x)^2+y^2+(1-y)^2+z^2+(1-z)^2$

$= (2x^2-2x+1)+(2y^2-2y+1)+(2z^2-2z+1)$

ซึ่งสามารถพิสูจน์ได้โดยกำลังสองสมบูรณ์ว่า $2x^2-2x+1,2y^2-2y+1,2z^2-2z+1 \ge \dfrac{1}{4}$

$\therefore 3(x^2+(1-x-y)^2+(1-y)^2) \ge \dfrac{3}{4}$

$x^2+(1-x-y)^2+(1-y)^2\ge \dfrac{1}{4}$

แทน $x=y=z=\dfrac{1}{2}$ จะได้ $x^2+(1-x-y)^2+(1-y)^2= \dfrac{1}{4}$

ดังนั้นค่าต่ำสุดคือ $\dfrac{1}{4}$

[time.math]

ขอบพระคุณคุุณThgx0312555 ที่ให้ความรู้ความกระจ่างครับ
จากtime.math

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอลงโจทย์ต่อเลยนะครับ
โจทย์ปัญหา 1.5

2.2 จงหารากของระบบสมการ \(\cases{2x_1+x_2+x_3+x_4+x_5&=&6\\x_1+2x_2+x_3+x_4+x_5&=&12\\x_1+x_2+2x_3+x_4+x_5&=&24\\x_1+x_2+x_3+2x_4+x_5&=&48\\x_1+x_2+x_3+ x_4+2x_5&=&96}\)

หายไปนานเลยครับ วันนี้ขอลงข้อที่ยังไม่มีคนทำนะครับ
ให้สมการข้างต้นเป็น $(1) - (5)$ แล้วดำเนินการดังนัี้
$(1)+(2)+(3)+(4)+(5) :6(x_1+x_2+x_3+x_4+x_5)=186$
$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=31$----------$(6)$
$(1)-(6):x_1=-25$
$(2)-(6):x_2=-19$
$(3)-(6):x_3=-7$
$(4)-(6):x_4=17$
$(5)-(6):x_5=65$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอลงโจทย์ต่อเลยนะครับ
โจทย์ปัญหา 1.5

4. สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ $1$ แนบในวงกลมหนึ่งซึ่งแนบในสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปที่ $2$ จงหาอัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งสองรูปนี้

วาดรูปครับ แล้วให้สี่เหลี่ยมแนบในวงกลมมีความยาวด้านเท่ากับ $x$ หน่วย
และสี่เหลี่ยมใหญ่ด้านนอกมีความยาวด้านเท่ากับ $y$ หน่วย
เราจะได้ว่า เส้นทแยงมุมของสี่เหลี่ยมรูปใน=ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม=$y$
จากทฤษฎีบทปีทากอรัส จะได้ว่า

$y^2=2x^2$
ดังนั้น อัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปเล็ก :อัตราส่วนของพื้นที่สี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปใหญ่=$x^2:y^2=x^2:2x^2=1:2$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ขอลงโจทย์ต่อเลยนะครับ
โจทย์ปัญหา 1.5

5. Ptolemy's Theorem: ผลบวกของผลคูณของความยาวด้านตรงข้ามของสี่เหลี่ยมที่แนบในวงกลมจะเท่ากับผลคูณของความยาวเส้นทะแยงมุมทั้งสองของสี่เหลี่ยมนั้น นั่นคือ
ถ้าสี่เหลี่ยม $ABCD$ แนบในวงกลมแล้ว $AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$

ลองวาดรูปครับ จะได้ว่าสี่เหลี่ยม $ABCD$ มี $AB=CD$ $\ \ AC=BD$และ $AD=BC$
จากปีทากอรัส จะได้ว่า

$AC^2=AD^2+CD^2$
$AC\cdot AC=AD\cdot AD+CD\cdot CD$
$AC\cdot BD=AD\cdot BC+CD\cdot AB$
$AB\cdot CD+AD\cdot BC=AC\cdot BD$

[<KAB555>]

โจทย์ปัญหา 4.3 ข้อ 3) จงแสดงว่าถ้า $n\geqslant 2$ แล้วพหุนาม $30x^n-91$ ไม่มีรากเป็นจำนวนตรรกยะ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

2.3 ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าระบบสมการต่อไปนี้สมมูลกัน
\(\cases{a^2+b^2&=&2\\c^2+d^2&=&2\\ac&=&bd}\) $\ \ \ $ และ $\ \ \ $ \(\cases{a^2+c^2&=&2\\b^2+d^2&=&2\\ab&=&cd}\)

มาทำต่อนะครับ ว่างช่วง covid-19

จากระบบสมการแรกนะครับ

$a^2+b^2=2$ -----(1)
$c^2+d^2=2$ -----(2)
$\ \ \ \ \ \ ac=bd$ -----(3)

(1)+(2) : $$a^2+b^2+c^2+d^2=4$$
$$(a+c)^2+(b+d)^2=4+4ac , 4+4bd$$
กรณีที่ 1 $(a+c)^2=4ac$ และ $(b+d)^2=4$
จะได้ว่า $a=c$ และ $b+d=\pm 2$
$\therefore a=c=\pm 1, b=d=\pm 1$

กรณีที่ 2 $(a+c)^2=4$ และ $(b+d)^2=4bd$
จะได้ว่า $a+c=\pm 2$ และ $b=d$
$\therefore a=c=\pm 1, b=d=\pm 1$

กรณีที่ 3 $(a+c)^2=4+4ac$ และ $(b+d)^2=0$
จะได้ว่า $a-c=\pm 2$ และ $b=-d$
$\therefore a=-c=\pm 1, b=-d=\pm 1$

จากทั้งสามกรณีทำให้ได้
ชุดคำตอบ $(a,b,c,d)$ ทั้งหมดของระบบสมการคือ $(1,1,1,1) , (1,-1,1,-1) , (-1,1,-1,1) , (-1,-1,-1,-1) , (1,1.-1,-1) , (1,-1,-1,1) , (-1,1,1,-1) , (-1,-1,1,1)$

ด้วยวิธีการเดียวกันนี้ จะได้ชุดคำตอบของระบบสมการที่สอง เป็นชุดคำตอบเดียวกันกับระบบสมการแรก
ดังนั้น ระบบสมการนี้ สมมูลกัน

[จูกัดเหลียง]

#177 เเล้วกรณีที่ \( (a,b,c,d)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\) ล่ะครับ สำหรับกรณีเเรก

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#177 เเล้วกรณีที่ \( (a,b,c,d)=\left(\dfrac{2}{\sqrt{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}},\sqrt{\dfrac{2}{3}},\dfrac{2}{\sqrt{3}}\right)\) ล่ะครับ สำหรับกรณีเเรก

ว่าแล้วเชียวครับ นึกในใจว่าระบบสมการ 4 ตัวแปร 3 สมการ น่าจะได้คำตอบไม่จำกัด

เอาใหม่นะครับ
2.3 ให้ $a,b$ และ $c$ เป็นจำนวนจริง จงแสดงว่าระบบสมการต่อไปนี้สมมูลกัน
\(\cases{a^2+b^2&=&2\\c^2+d^2&=&2\\ac&=&bd}\) $\ \ \ $ และ $\ \ \ $ \(\cases{a^2+c^2&=&2\\b^2+d^2&=&2\\ab&=&cd}\)
จากระบบสมการแรก
$a^2+b^2=2$ ----(1)
$c^3+d^2=2$ ----(2)
$\ \ \ \ \ \ ac=bd$ ---(3)
ให้สมการที่ (3) มีค่าเท่ากับ $k$ จะได้ $ac=bd=k$ -------> $a=\frac{k}{c} , b=\frac{k}{d}$ ---(A)
แทนในสมการที่ (1) จะได้ว่า

${(\frac{k}{c})}^2+{(\frac{k}{d})}^2=2$
$\frac{c^2+d^2}{(cd)^2}=\frac{2}{k^2}$
$\frac{2}{(cd)^2}=\frac{2}{k^2}$
$\therefore cd=\pm k$

และจาก (A) ทำให้ได้ว่า $ab=\pm k$

สรุปจะได้ว่า $ab=cd=\pm k$ และ $ac=bd=k$
$c=\frac{k}{a}=\pm \frac{k}{d} \rightarrow a=\pm d$
$c=\pm \frac{k}{d}$ และ $d=\frac{k}{b} \rightarrow c=\pm b$

จากสมการที่ (1) $b=\pm \sqrt{2-a^2} , |a|\leqslant \sqrt{2}$
และมีเงื่อนไขว่า ถ้า $a,d$ มีเครื่องหมายเหมือนกันแล้ว $b,c$ จะมีเครื่องหมายเหมือนกันด้วย
ถ้า $a,d$ มีเครื่องหมายต่างกันแล้ว $b,c$ จะมีเครื่องหมายต่างกันด้วย

ดังนั้นชุดคำตอบทั้งหมดของระบบสมการคือ $(a,b,c,d)=(a,\pm \sqrt{2-a^2},\pm \sqrt{2-a^2},a) , (a,\pm \sqrt{2-a^2},\mp \sqrt{2-a^2},-a)$ เมื่อ $|a|\leqslant \sqrt{2}$

คำตอบของท่านจูกัดเหลียง ก็คือเมื่อ $a=\frac{2}{\sqrt{3}}$ นั่นเองครับ ส่วนคำตอบของผมก็คือเมื่อ $a=\pm 1$
ซึ่งถ้าทำแบบเดียวกันกับระบบสมการที่ 2 ก็จะได้แบบเดียวกันครับ หรือถ้าสังเกตดีๆ ก็จะเห็นว่า
จาก $a=\pm d ,c=\pm b$ ทำให้ระบบสมการทั้งสองสมมูลกันทันทีครับ

[poper]

3.2 จงพิสูจน์ว่าเศษของเศษส่วนอย่างต่ำซึ่งเป็นผลบวกของส่วนกลับของจำนวนเต็มบวกเรียงกัน $n$ จำนวนใดๆจะเป็นจำนวนคี่

จากโจทย์ก็คือ ผลบวก $S=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$ ทุกจำนวนเต็มบวก n จะมีเศษเป็นจำนวนคี่ เมื่อเศษส่วนนั้นเป็นเศษส่วนอย่างต่ำแล้ว

ผมมองหาวิธีที่จะพิสูจน์ไม่เจอครับ เพราะการหาผลบวกในรูปทั่วไป มันคิดให้ออกมาเป็นเศษส่วนอย่างต่ำไม่ได้อ่ะครับ หรือถ้าทำได้ช่วยแนะนำด้วยครับผม