ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[poper]

2) จงหาอัตราส่วนของความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมมุมฉากซึ่งเป็นพจน์เรียงกันในลำดับเลขคณิต

ให้ความยาวด้านทั้งสามของสามเหลี่ยมคือ $x-d,x,x+d$
จากทฤษฏีบทพิธากอรัส
${(x-d)}^2+x^2={(x+d)}^2$
${(x-d)}^2-{(x+d)}^2=-x^2$
$-4xd=-x^2$
$d=\frac{x}{4}$
ดังนั้นด้านทั้งสามยาว $\frac{3}{4}x,x,\frac{5}{4}x$
อัตราส่วนของด้านทั้งสามคือ $\frac{3}{4}x:x:\frac{5}{4}x=3:4:5$

[poper]

3) จงหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นเลข 2 หลักที่มีผลบวกของเลขโดดในหลักทั้งสองเท่ากับ 12 แต่ถ้าเอา 36 บวกเข้ากับจำนวนนั้น จะได้จำนวนซึ่งกลับหลักกับจำนวนนั้น

ให้เลขโดดสองหลักคือ x และ y โดย x อยู่ในหลักสิบและ y อยู่ในหลักหน่วย จะได้สมการคือ
$x+y=12$------(1)
$(10x+y)+36=(10y+x)$----->$x-y=-4$------(2)
แก้ระบบสมการได้ $x=4,y=8$
ดังนั้นเลขสองหลักนี้คือ $48$

[poper]

4) จงหาจำนวนจำนวนหนึ่งซึ่งเป็นเลข 3 หลัก ถ้าสลับที่หลักหน่วยกับหลักร้อยของจำนวนนั้นจะได้ จำนวนที่มากกว่าสองเท่าของจำนวนเดิมอยู่ 66 แต่ถ้าสลับที่หลักร้อยกับหลักสิบ จะได้จำนวนที่มีค่าน้อยกว่าจำนวนเดิมอยู่ 180 และถ้าสลับที่หลักหน่วยกับหลักสิบ จะได้จำนวนที่มีค่ามากกว่าจำนวนเดิมอยู่ 63

ให้เลขสามหลักคือ $xyz$ จากโจทย์จะได้สมการ
$100z+10y+x=2(100x+10y+z)+66$------>$98z-10y-199x=66$----(1)
$100y+10x+z=100x+10y+z-180$-------->$x-y=2$-------(2)
$100x+10z+y=100x+10y+z+63$--------->$z-y=7$------(3)
แก้ระบบสมการได้ $x=4,y=2,z=9$
ดังนั้น เลขสามหลักนี้คือ $429$

[poper]

5) จงหาจำนวนจริง 2 จำนวน ซึ่งจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนบวก แต่อีกจำนวนหนึ่งเป็นจำนวนลบ ผลต่างของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 2 และผลบวกของส่วนกลับของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 1

ให้ x เป็นจำนวนบวก และ y เป็นจำนวนลบ จะได้สมการ
$x-y=2$------>$x=y+2$-----(1)
$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=1$----->$x+y=xy$-----(2)
แทน (1) ใน (2)
$2y+2=y^2+2y$
$y=-\sqrt{2}$
$x=2-\sqrt{2}$
ดังนั้นจำนวนทั้งสองคือ $2-\sqrt{2},-\sqrt{2}$

[poper]

6) มาลีมีอายุ 32 ปี วิมลมีอายุเป็นครึ่งหนึ่งของอายุมาลีในปีที่มาลีมีอายุเท่ากับวิมลขณะนี้ อยากทราบว่าในปีนี้ วิมลมีอายุเท่าใด

ให้ปัจจุบัน วิมลมีอายุ x ปี และ มาลีมีอายุ 32 ปี
สมมุติว่าเมื่อ y ปีที่แล้ว มาลีมีอายุเท่ากับวิมลในปัจจุบัน
ดังนั้น จะได้สมการ
$32-y=x$---->$x+y=32$-----(1)
$x-y=\frac{1}{2}x$---->$x-2y=0$----(2)
จาก (1) และ (2)
$x=21\frac{1}{3}$ ดังนั้นวิมลอายุ 21 ปี 4 เดือน

[poper]

7) เมื่อฉันมีอายุเท่ากับอายุปัจจุบันของพ่อ ลูกชายของฉันก็จะมีอายุมากกว่าอายุปัจจุบันของฉัน 7 ปี ส่วนปัจจุบัน ผลรวมของอายุพวกเราทั้ง 3 คนเท่ากับ100 ปีพอดี จงบอกอายุปัจจุบันของฉัน

ให้ x,y,z เป็นอายุปัจจุบันของฉัน พ่อ และลูก
สมมุติให้ อีก d ปีข้างหน้า ฉันมีอายุเท่ากับพ่อ จะได้สมการ
$x+d=y$---(1)
$z+d=x+7$---(2)
$x+y+z=100$---(3)
(1)-(2):$y+z=2x+7$---(4)
แทน (4) ใน (3)
$x+2x+7=100$
$x=31$
ดังนั้น ปัจจุบันฉันอายุ 31 ปี

[poper]

8) จงหาจำนวนเต็มบวกสองจำนวนซึ่งผลบวกของจำนวนทั้งสองคูณกับผลบวกกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 5500 แต่ผลต่างของจำนวนทั้งสองคูณกับผลต่างกำลังสองของจำนวนทั้งสองเท่ากับ 352

ให้จำนวนทั้งสองคือ a,b จะได้สมการ
$(a+b)(a^2+b^2)=5500$
$a^3+b^3+ab(a+b)=5500$-----(1)
$(a-b)(a^2-b^2)=352$------(*)
$a^3+b^3-ab(a+b)=352$------(2)
ให้ $a^3+b^3=x$ และ $ab(a+b)=y$ แทนใน (1) และ (2) จะได้
$x+y=5500$
$x-y=352$ แก้ระบบสมการได้ $x=2926,y=2574$--->$3y=7722$
$x+3y={(a+b)}^3=10648=22^3$
$a+b=22$---->$b=22-a$ แทนใน (*) จะได้
$(2a-22)(44a-484)=352$
${(a-11)}^2=4$
$a-11=\pm2$
$a=13,9$
$b=9,13$
ดังนั้นจำนวนทั้งสองคือ $9,13$

[poper]

9) พ่อค้าผู้หนึ่งตั้งใจว่าจะตัดผ้าในพับออกเป็น 50 ชิ้นเท่าๆกัน แต่ปรากฏว่าเขาตัดผ้าบางชิ้นยาวไป 2 หลา และที่เหลือนอกนั้นตัดสั้นไปครึ่งหลา และเมื่อเขาตัดผ้าครบ 50 ชิ้นแล้ว ยังคงมีผ้าในพับเหลือ 10 หลา อยากทราบว่าพ่อค้าตัดผ้ายาวไปกี่ชิ้น

สมมุติให้ตัดผ้ายาวไป $x$ ชิ้น ผ้าสั้นจะมี $50-x$ ชิ้น ถ้าตัดผ้ายาวเท่าๆกันได้ $50$ ชิ้น สมมุติยาวชิ้นละ $y$ หลา ดังนั้นผ้าทั้งหมดจะยาว $50$y หลา
ผ้ายาวจะยาว $y+2$ หลา ผ้าที่สั้นจะยาว $y-\frac{1}{2}$ หลา
ดังนั้นจะได้สมการ
$x(y+2)+(50-x)(y-\frac{1}{2})+10=50y$
$xy+2x+50y-25-xy+\frac{1}{2}x+10=50y$
$x=6$
ดังนั้นตัดผ้ายาวไป $6$ ชิ้น

[poper]

10) เดชชาติกำหนดวงเงินไว้ 3,600 บาทต่อสัปดาห์เพื่อจ้างคนงานถมดินภายในบริเวณบ้าน โดยทำงานสัปดาห์ละ 6 วัน แต่เมื่อจ้างจริงปรากฏว่าค่าแรงถูกไป จำต้องเพิ่มค่าแรงให้แก่คนงานสูงขึ้นอีก คนละ 5 บาทต่อวัน ด้วยเหตุนี้จึงต้องลดคนงานลงเสีย 4 คนจึงจะทำให้การจ่ายค่าจ้างพอดีกับวงเงินที่ตั้งไว้ จงหาว่าแต่เดิมเดชชาติกำหนดจะจ้างคนงานกี่คน

สมมุติจ้างคนงาน x คนด้วยค่าแรง y บาท/คน/วัน
สัปดาห์หนึ่งทำงาน 6 วัน จะต้องจ่ายค่าแรงทั้งหมดคือ $6xy$ ดังนั้น $6xy=3600$---->$xy=600$
แต่ถ้าเพิ่มค่าแรงอีกคนละ 5 บาทต่อวันเป็นวันละ y+5 บาท/คน/วัน และลดคนงานเหลือ x-4 คน จะต้องจ่ายทั้งหมด $6(x-4)(y+5)=3600$
ดังนั้น $xy+5x-4y-20=600$---->$5x-4y=20$
แทนค่า $y=\frac{600}{x}$ แล้วจัดรูปจะได้สมการ
$x^2-4x-480=0$
$(x-24)(x+20)=0$
$\therefore x=24$
ดังนั้นเดิมเดชชาติได้จ้างคนงาน 24 คน

[prophet]

ขอลองทำขอ้15ดูแล้วกันไม่รู้จะถูกใจเปล่าเพราะเป็นมือใหม่หัดพิมพ์
มาดูกันเลย
prove
พิจารณา$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}$
ซึ่งจะเท่ากับ$(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{2n-1}+\frac{1}{2n})$-$2(\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n})$....(1)
แล้วก็จัดรูปจะได้สมการที่(1) เท่ากับ$\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}$
แล้ว$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}$
จะได้$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...+\frac{1}{2n-1}=\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+3}+...+\frac{1}{n}$
ซึ่งจะเท่ากับโจทย์ตามต้องการอาจจะพิมพ์ผิดนะนี่เป็นข้อความแรกที่เรื่มพิมพ์

[poper]

13) ให้ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $x+y+xy=71$ และ $x^2y+xy^2=880$ จงหาค่าของ $x^2+y^2$

ให้ $x+y=A$ และ $xy=B$ จะได้สมการใหม่คือ
$A+B=71$
$AB=880$ ดังนั้นจะได้ว่า $A,B$ เป็นรากของสมการ
$t^2-71t+880=0$
$(t-16)(t-55)=0$
$t=16,55$
ดังนั้น $A=16,B=55$ หรือ $A=55,B=16$
$x^2+y^2={(x+y)}^2-2xy=A^2-2B$
เมื่อ $A=16,B=55$ $\ \ \ x^2+y^2=16^2-2(55)=146$
เมื่อ $A=55,B=16$ $\ \ \ x^2+y^2=55^2-2(16)=2993$
หลังๆเริ่มยากครับ ขอบคุณคุณ prophet สำหรับข้อที่ 15 ครับ

[poper]

16) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ เรากำหนดให้ $S_n=1-2+3-4+...+(-1)^{n-1}n$ จงหา $S_{2000}+S_{2001}$

สังเกต $S_1=1\ \ ,S_2=-1\ \ S_3=2\ \ ,S_4=-2\ \ ,S_5=3\ \ ,S_6=-3\ \ ,S_7=4,...$
$S_2+S_3=1$
$S_4+S_5=1$
$S_6+S_7=1$
.
.
.
ดังนั้น $S_{2000}+S_{2001}=1$

[poper]

14) สำหรับแต่ละจำนวนเต็มบวก $n$ เรานิยามให้ $h(n)=1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$
จงพิสูจน์โดยไม่ใช้วิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ว่า $n+h(1)+h(2)+h(3)+...+h(n-1)=nh(n)$ สำหรับ n=2,3,4,...

$n+h(1)+h(2)+h(3)+...+h(n-1)=n+[1+(1+\frac{1}{2})+(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3})+...+(1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n-1})$
$=n+[1\cdot(n-1)+\frac{1}{2}(n-2)+\frac{1}{3}(n-3)+...+\frac{1}{n-2}(n-n+2)+\frac{1}{n-1}(n-n+1)]$
$=n+[n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})-(1+1+1+...+1)(n-1 ตัว)]$
$=n+n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})-n+1$
$=1+n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1})$
$=n(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n})$
$=nh(n)$

[poper]

17) ให้ $N$ แทนเซตของจำนวนนับและ $f\subseteq N\times N$ จงหาค่าของ $f(2547)$ เมื่อ f ถูกกำหนดโดย
\(f(3n)=\cases{(1&,n=1\\n+f(3n-3)&,n>1}\)

จากที่กำหนด จะได้ว่า
$n=1\ \ ,f(3)=1$
$n=2\ \ ,f(6)=2+f(3)=3$
$n=3\ \ ,f(9)=3+f(6)=6$
$n=4\ \ ,f(12)=4+f(9)=10$
.
.
.
จะได้ลำดับ $a_n=\frac{n^2+n}{2}$
$2547=3(850)-3$ ดังนั้น $f(2547)=a_{850}=361675$
ที่ติดอยู่คิดไม่ออกคือข้อ 11 และ 12 ครับ
ข้อ 11 ผมคิดว่าไม่น่าจะหาระยะทางได้ครับ ส่วนข้อ 12 ไปไม่เป็นครับ
รบกวนผู้รู้ทีครับ

[nooonuii]

ข้อ 12 ผมได้ $2,8,16,18$

แต่วิธีคิดยาวสุดลูกหูลูกตาเลยครับ