ร่วมกันเฉลยแบบเรียน สอวน.กันมั้ย

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อ 12 ผมได้ $2,8,16,18$

แต่วิธีคิดยาวสุดลูกหูลูกตาเลยครับ

อายุอยู่ในช่วง 2-16 ปีไม่ใช่หรือครับ
คำตอบน่าจะเป็น $3,7,10,12$

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ข้อ 12 ผมได้ $2,8,16,18$

แต่วิธีคิดยาวสุดลูกหูลูกตาเลยครับ

โจทย์บอกว่าทั้ง 4 คนมีอายุอยู่ในช่วง 2-16 ปีไม่ใช่เหรอครับ

[poper]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หยินหยาง

อายุอยู่ในช่วง 2-16 ปีไม่ใช่หรือครับ
คำตอบน่าจะเป็น $3,7,10,12$

อ่า...
ขอแนวคิดด้วยได้มั้ยครับ ท่านหยินหยาง
ผมตั้งสมการ 4 ตัวแปร 2 สมการแล้วไปไม่ถูกครับ

[nooonuii]

ผมคงแก่แล้วจริงๆ สายตาฝ้าฟาง

ผมอ่านโจทย์เป็น ทั้งสี่คนมีผลต่างอายุในช่วง $2$ ถึง $16$ ปี

มิน่าทำไมยากจัง แต่ก็ดีครับได้โจทย์เพิ่มมาอีกข้อนึง

[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

อ่า...
ขอแนวคิดด้วยได้มั้ยครับ ท่านหยินหยาง
ผมตั้งสมการ 4 ตัวแปร 2 สมการแล้วไปไม่ถูกครับ

ผมยังคิดวิธีสวยๆ ไม่ออกครับ เพียงแต่ดูเงื่อนไขของสมการแล้วก็แทนค่าเอา ยาวเอาการอยู่เหมือนกัน
แนวคิดคือ
ให้ $a,b,c,d$ เป็นอายุของพี่น้องทั้ง 4 คนเมื่อปี่ที่แล้ว โดยที่ $ 1\leqslant a < b < c < d \leqslant 15$
$a^2+b^2+c^2= d^2 .......................................1$

$(b+2)^2+(c+2)^2= (a+2)^2+(d+2)^2 .................2$

แก้สมการจะได้ว่า
$a^2 = 2(b+c-a-d)$ จะได้ว่า $a$ ต้องเป็นจำนวนคู่
ต่อจากนั้นก็แบ่งกรณีเอา ถ็า $a = 2$แล้ว b, c,d ควรเป็นค่าอะไรบ้าง คู่หรือคี่ โดยดูเงื่อนไขจากโจทย์และสมการที่ให้มา
วิธีที่สั้นและสวยยังไม่มีเวลานั่งคิด เพราะกลัวคิดไม่ออก

[nooonuii]

12) ครอบครัวหนึ่งมีพี่น้อง 4 คน อายุแตกต่างกันในช่วง 2 ถึง 16 ปี เมื่อปีที่แล้ว ผลบวกกำลังสองของอายุน้องทั้งสามคนเท่ากับกำลังสองของอายุพี่คนโต แต่ปีหน้าผลบวกกำลังสองของอายุพี่คนโตกับอายุน้องคนเล็กจะเท่ากับผลบวกกำลังสองของอายุน้องสองคนกลาง อยากทราบว่าพี่น้องทั้ง 4 คน แต่ละคนมีอายุเท่าใด

จะบ้าตาย ผมอ่านโจทย์ข้อนี้ผิดไปคนละเรื่องเลย นี่คือโจทย์ข้อนี้ที่เรียบเรียงตามความเข้าใจของผม

ครอบครัวหนึ่งมีพี่น้อง 4 คน

เมื่อปีที่แล้ว ผลต่างของอายุของทั้งสี่คนอยู่ในช่วง 2 ถึง 16 ปี

ปีนี้ ผลบวกกำลังสองของอายุน้องทั้งสามคนเท่ากับกำลังสองของอายุพี่คนโต

แต่ปีหน้าผลบวกกำลังสองของอายุพี่คนโตกับอายุน้องคนเล็กจะเท่ากับผลบวกกำลังสองของอายุน้องสองคนกลาง

อยากทราบว่าพี่น้องทั้ง 4 คน แต่ละคนมีอายุเท่าใด

กลับมาที่โจทย์จริงๆ ถ้าใช้อสมการจะทำให้แยกกรณีได้น้อยลงครับ

จากเงื่อนไขโจทย์เราจะได้ว่า

$1\leq a\leq 12$

$2\leq b\leq 13$

$3\leq c\leq 14$

$4\leq d\leq 15$

ดังนั้น

$4+\dfrac{a^2+2a}{2}\leq d+\dfrac{a^2+2a}{2}=b+c\leq 27$

ซึ่งจะได้ว่า $a=2,4$ เท่านั้น

Case 1 $a=2$ ได้ระบบสมการ

$b+c=d+4$

$b^2+c^2+4=d^2$

จะได้ $(b,c,d)=(5,14,15),(6,9,11)$

Case 2 $a=4$ ได้ระบบสมการ

$b+c=d+12$

$b^2+c^2+16=d^2$

แต่อันนี้ไม่มีคำตอบ

สรุปว่า อายุของทั้งสี่คนมีได้สองแบบคือ $(3,6,15,16),(3,7,10,12)$

[LightLucifer]

#12

ถ้าจะให้สมบูรณ์ ต้องพิสูจน์ด้วยนะครับว่า $a_n=n^2$

ลองพิสูจน์ดูนะครับ^^

[poper]

ขอบคุณทุกท่านครับ ไม่ไหวจริงๆครับข้อ 12 รอเวลาเผื่อปิ๊งวิธีดีๆละกันครับ

#12

ถ้าจะให้สมบูรณ์ ต้องพิสูจน์ด้วยนะครับว่า $a_n=n^2$

ลองพิสูจน์ดูนะครับ^^

คือผมลองแทนค่าดูแล้วก็ได้ $\{a_n\}=0,1,4,9,16,...$ ก็จะเห็นได้ง่ายๆว่า $a_n=n^2$
ถ้าคุณ LightLucifer จะกรุณาพิสูจน์ให้ดูจะขอบคุณมากเลยครับ

[poper]

ขอลงโจทย์เพิ่มเลยละกันนะครับ
แบบฝึกหัด 1.3
จงหารากของสมการในข้อต่อไปนี้
1) $x^4-13x^2+36=0$
2) $\sqrt{x}=x-6$
3) $3y-53\sqrt{y}-18=0$
4) $x^2-\frac{a+b}{ab}x+\frac{1}{ab}=0$
5) $x+\frac{1}{x}=2$
6) $\sqrt{2x+7}-\sqrt{x}=2$
7) $x^2-5x+2\sqrt{x^2-5x+3}=12$
8) $\sqrt{2x^2-7}-x=3$
9) $5a^2+2a+\sqrt{3a^2-4a-6}=2(a^2+3a+9)$
10) $\sqrt{3x^2-7x-30}+\sqrt{2x^2-7x-5}=x+5$
11) $\sqrt{4x^2-7x-15}-\sqrt{x^2-3x}=\sqrt{x^2-9}$
12) $\sqrt{x^2+4x-4}+\sqrt{x^2+4x-10}=6$
13) $\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}=2\frac{1}{6}$
14) $\sqrt{\frac{a+x}{b+x}}-\sqrt{\frac{b+x}{a+x}}=\frac{3}{2}$
15) $\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}=\frac{4x-1}{2}$
16) $\sqrt{9x+4}-2\sqrt{x}=\frac{5}{\sqrt{9x+4}}$
17) $\sqrt{2x^2+1}+\sqrt{2x^2-1}=\frac{2}{\sqrt{3-2x^2}}$
18) $\frac{3x-6}{5-x}+\frac{11-2x}{10-4x}=3\frac{1}{2}$
19) ${(x^2+3x-4)}^3+{(2x^2-x-1)}^3={(3x^2+2x-5)}^3$
20) ${(4x^2+x-5)}^3-{(x^2+3x-4)}^3={(3x^2-2x-1)}^3$
ลงไว้ก่อน ช่วงนี้ยังไม่ค่อยว่างเท่าไหร่
ใครพร้อมลุยได้เลยนะครับ

[กิตติ]

ขอลองทำข้อง่ายๆแล้วกัน

1) $x^4-13x^2+36=0$

$(x-3)(x+3)(x-2)(x+2)=0$
$x = \pm 2,\pm 3$

2) $\sqrt{x}=x-6$

$x-\sqrt{x}-6=0$
$(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+2)=0$
$\sqrt{x}-3=0 \rightarrow \sqrt{x}=3$
$x=9$

3) $3y-53\sqrt{y}-18=0$

$(3\sqrt{y}+1)(\sqrt{y}-18)=0$
$\sqrt{y}-18=0 \rightarrow y=324$

[กิตติ]

4) $x^2-\frac{a+b}{ab}x+\frac{1}{ab}=0$

$abx^2-(a+b)x+1=0$
$(ax-1)(bx-1)=0$
$x=\frac{1}{a}, \frac{1}{b} $

5) $x+\frac{1}{x}=2$

$x^2-2x+1=2$
$(x-1)^2=0$
$x=1$

14) $\sqrt{\frac{a+x}{b+x}}-\sqrt{\frac{b+x}{a+x}}=\frac{3}{2}$

$\sqrt{\frac{a+x}{b+x}} = A$
$\sqrt{\frac{b+x}{a+x}} = \frac{1}{A} $
$A-\frac{1}{A} = \frac{3}{2}$
$2A^2-3A-2 =0$
$(2A+1)(A-2)=0$
$A=2$
$\sqrt{\frac{a+x}{b+x}} = 2$
$\frac{a+x}{b+x} = 4$
$a+x = 4b+4x$
$x= \frac{a-4b}{3} $

[poper]

และแล้วก็ได้คุณกิตติมาร่วมวงจนได้ครับ

[กิตติ]

7) $x^2-5x+2\sqrt{x^2-5x+3}=12$

$x^2-5x+3+2\sqrt{x^2-5x+3}-15=0$
$x^2-5x+3 = B$
$B+2\sqrt{B}-15=0$
$(\sqrt{B}+5)(\sqrt{B}-3)=0$
$\sqrt{B} = 3$
$x^2-5x+3 = 9$
$x^2-5x-6 = 0$
$(x-6)(x+1) = 0$
$x= -1,6$

13) $\sqrt{\frac{x}{1-x}}+\sqrt{\frac{1-x}{x}}=2\frac{1}{6}$

$\sqrt{\frac{x}{1-x}} =C$
$\sqrt{\frac{1-x}{x}} = \frac{1}{C} $
$C+\frac{1}{C} = \frac{13}{6} $
$6C^2-13C+6=0$
$(3C-2)(2C-3)=0$
$C=\frac{2}{3} ,\frac{3}{2} $
$\sqrt{\frac{x}{1-x}} =\frac{2}{3}$
$\frac{x}{1-x}= \frac{4}{9}\rightarrow x=\frac{4}{13} $
$\sqrt{\frac{x}{1-x}} =\frac{3}{2}$
$\frac{x}{1-x}=\frac{9}{4}\rightarrow x=\frac{9}{13}$

ช่วงนี้ไม่ค่อยว่าง แถมมีแต่ข้อยากๆที่เกินพลังวัตรเลยได้แต่นั่งดู
คืนนี้ตัวเล็กนอนเร็ว เลยแว๊ปเข้ามาดู
เดี๋ยวผมเอาข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยของเวียตนามมาลงให้ช่วยกันทำ ใช้กูเกิลแปลเอา
คืนนี้ทำได้แค่นี้ ข้อไหนทำผิดก็บอกกันด้วยครับ เริ่มมึนศีรษะแล้ว

[poper]

6) $\sqrt{2x+7}-\sqrt{x}=2$

$\sqrt{2x+7}=\sqrt{x}+2$
$2x+7=x+4\sqrt{x}+4$
$x+3=4\sqrt{x}$
$x^2+6x+9=16x$
$x^2-10x+9=0$
$(x-9)(x-1)=0$
$x=1,9$

[poper]

8) $\sqrt{2x^2-7}-x=3$

$\sqrt{2x^2-7}=x+3$
$2x^2-7=x^2+6x+9$
$x^2-6x-16=0$
$(x-8)(x+2)=0$
$x=-2,8$