Trigonometric Marathon

[Mastermander]

เห็นมีกระแสโจทย์ตรีโกณมา ก็เลยมาตั้งกระทู้นี้เพื่อทำโจทย์ต่อเนื่องครับ
เริ่มเลยครับ

1. กำหนด $\; \sec\theta\csc\theta=K $ จงหาค่าของ$$\tan^5\theta+\cot^5\theta$$

[M@gpie]

เนื่องจาก \( \tan \theta + \frac{1}{\tan \theta} = \frac{\tan ^2 \theta +1 }{\tan \theta} = \sec \theta \csc \theta = K \; \)และ \(\; \tan^5 \theta + \frac{1}{\tan^5 \theta} = \tan^5 \theta + \cot^5 \theta \; \)
เพื่อความสะดวกจะเปลี่ยนตัวแปรให้โจทย์เป็น \(\; x+\frac{1}{x} = K \) จงหาค่าของ \( x^5 +\frac{1}{x^5} \; \)
จะได้ว่า \( \; x^2+\frac{1}{x^2} = K^2-2 \) และ \( x^4+\frac{1}{x^4} = (K^2-2)^2 -2 \; \)
เนื่องจาก \( x^5 +\frac{1}{x^5} = (x+\frac{1}{x})(x^4 - x^2 + 1 - \frac{1}{x^2} + \frac{1}{x^4}) = K( (K^2-2)^2 - (K^2 -2) -1 ) \; \; \)
เป็นอันเรียบร้อยครับ ถูกไหม!! อิอิ

ปล: มีการแก้ไขเนื่องจากคิดผิด อิอิ

ข้อต่อปาย
ถ้า \( x+\frac{1}{x} = 2\cos \theta \)
จงแสดงว่า
1.\( x = e^{j \theta} , e^{-j\theta} \)
2.\( x^n+\frac{1}{x^n} = 2 \cos n \theta \)

[Mastermander]

เนื่องจาก $ e^{j\theta}=\cos\theta+ j \sin\theta $
ดังนั้น $ e^{-j\theta} = \cos\theta - j \sin\theta $
$ e^{j\theta}+e^{-j\theta}=2\cos\theta $

จากทฤษฎีบทของเดอมัวร์
$ (e^{i\theta})^n=\cos n\theta+i\sin n\theta $

จะได้ $ x^n =e^{jn\theta}=\cos n\theta + j\sin n\theta $
และ $ x^{-n} =e^{-jn\theta}=\cos n\theta - j\sin n\theta $

ดังนั้น $ x^n + x^{-n} = 2\cos n\theta $

ข้อ 3.จงพิสูจน์ว่า
$$ \cos^2(\frac{\pi}{8}-A) - \cos^2(\frac{\pi}{8}+A) =\frac{\sin 2A}{\sqrt2} $$


ปล.ของพี่ M@gpie ยังไม่ถูกต้องสมบูรณ์ครับ

[Mastermander]

4. จงหาจำนวนจริง x ที่สอดคล้องกับ
$$ \frac{\sin^2x-1/4}{\sqrt3-(\sin x+\cos x)}>0 $$

[R-Tummykung de Lamar]

จากค่าสูงสุดของ $\sin x + \cos x$ คือ $\sqrt 2$
พิสูจน์ ให้ค่าสูงสุดคือ $y$
$$\sin x + \cos x\leq y$$
คูณตลอดด้วย $\sin 45^\circ =\cos 45 ^\circ =\frac{\sqrt{2}}2 >0$
$$\sin x \cos45^\circ + \cos x \sin 45^\circ \leq \frac{\sqrt 2}{2}y$$
$$\sin(x+45^\circ ) \leq \frac{\sqrt 2}{2}y$$
ซึ่งค่าสูงสุดของ $\sin$ คือ $1$ นั่นคือ $\frac{\sqrt 2}{2}y=1$
$\therefore y\ =\ \sqrt 2$
เกิดเมื่อ $x\ =\ 45^\circ + 360n^\circ ,n\in I$


กลับมาที่โจทย์จะได้ว่าที่ส่วนเป็นบวกเสมอ นั่นคือ $(\sin x-\frac12)(\sin x+\frac12)>0$
จะได้ $\sin x \in [-1,-\frac 12)\cup(\frac 12,1]$
นั่นคือ $x \in(30^\circ +180n^\circ ,150^\circ +180n^\circ ) ,n\in I$

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
ข้อ 3.จงพิสูจน์ว่า
$$ \cos^2(\frac{\pi}{8}-A) - \cos^2(\frac{\pi}{8}+A) =\frac{\sin 2A}{\sqrt2} $$

โดยใช้ $\cos^2A=(\cos 2A+1)/2$ จะได้เทอมทางซ้ายมือเป็น
$$\frac{1}{2}[1+\cos(\frac{\pi}{4}-2A)-1-\cos(\frac{\pi}{4}+2A)]
=\frac{1}{2}(2\sin\frac{\pi}{4}\sin 2A)=\frac{1}{\sqrt{2}}\sin 2A$$

5. จงแก้สมการ $$\cos x-\cos 2x+\cos 3x-\cos 4x=\frac{1}2$$

[Donovan]

ข้อ 5 แปลงได้เป็นสมการกำลัง 4 ครับ แฮ่ๆ ( มีสูตรในการแก้อยู่นี่นา )

คือ y^{ 4 } - (1/2)y^{ 3 } - (3/4)y^{ 2 } + (1/4)y + 1/16 = 0

ให้ y = cos x

x = cos^{ -1 } y

แก้สมการกำลัง 4 นี้ได้ ก็จะได้คำตอบครับ

ใครมีวิธีลัดบ้างครับ ช่วยบอกที

[nongtum]

สมการถูกแล้ว ข้อห้าไม่ต้องใช้สูตรครับ ลองแยกตัวประกอบแล้วสังเกตดีๆ หรือจะคูณสมการโจทย์ด้วยตัวที่เหมาะสมก่อนก็ได้ครับ(ใบ้เยอะแล้ว) ใครเข้ามาอ่านมาตอบโจทย์ที่นี่เป็นประจำคงพอจะนึกออกว่ามันคือ...

[Mastermander]

$$y^{ 4 } - (1/2)y^{ 3 } - (3/4)y^{ 2 } + (1/4)y + 1/16 = 0$$

เนืี่องจากผลบวกของรากทั้ง 4 เป็น 1/2 จึงได้ข้อสังเกตข้างต้นจากสูตรที่ว่า
$$\sum_{k=1}^n \cos\frac{(2k-1)\pi}{2n+1}=\frac12 $$

และจากการตรวจสอบผลคูณของคำตอบก็พบว่า เท่ากับ 1/16

ดังนั้นจึงสรุปว่ารากของสมการนี้คือ

$$\cos x = \cos \frac{\pi}{9}, \cos \frac{3\pi}{9}, \cos \frac{5\pi}{9}, \cos \frac{7\pi}{9}$$

[Mastermander]

ขอเฉลยข้อแรกนะครับ

$$\tan \theta + \cot \theta = k = x+\frac{1}{x}$$
$$x^5+\frac{1}{x^5}=(x+\frac{1}{x})(x^4+\frac{1}{x^4})-(x^3+\frac{1}{x^3})$$

$$Answer=K(K^4-4K^2+2)-(K^3-3K)=K^5-5K^3+5K$$

ส่วนคำตอบของข้อ 5 คือ (Edited)
$x=2n\pi\pm\frac{\pi}{3}\;,2n\pi\pm\frac{\pi}{9}\;,2n\pi\pm\frac{5\pi}{9}\;,2n\pi\pm\frac{7\pi}{9} $

6. ถ้า (Edited) $$\sin(a+b)\sin(c-d)=\sin(a-b)\sin(c+d)$$
จงพิสูจน์ว่า $$\cot a \cot d = \cot b \cot c$$

[nongtum]

คิดว่าโจทย์ข้อหกน่าจะผิด เพราะคิดย้อนกลับได้ดังนี้
$$\begin{eqnarray}
\cot a\cot d&=&\cot b\cot c\\
(\cos a\sin b)(\sin c\cos d)&=&(\sin a\cos b)(\cos c\sin d)\\
(\sin (a+b)-\sin (a-b))(\sin (c+d)+\sin (c-d))&=&(\sin (a+b)+\sin (a-b))(\sin (c+d)-\sin (c-d))\\
\end{eqnarray}$$
คูณกระจายเทอมแต่ละข้าง แล้วกำจัดเทอมที่เท่ากันทิ้ง ในที่สุดจะได้ $\sin (a+b)\sin (c-d)=\sin (a-b)\sin (c+d)$

ส่วนข้อห้า คำตอบทั่วไปหายไปอื้อเลยครับ และหากไม่ยุ่งยากเกินไปช่วยพิสูจน์สูตรที่อ้างมาในข้อ 5 ได้ไหมครับ คิดว่าหลายคนน่าจะตามไม่ทัน

[Mastermander]

โจทย์ข้อ 6 พิมพ์ผิดครับ ตามที่คุณ nongtum ทำไว้แล้ว
\[
\cos \frac{\pi }{{2n + 1}}+\cos \frac{{3\pi }}{{2n + 1}} + \ldots + \cos \frac{{\left( {2n - 1} \right)\pi }}{{2n + 1}} = \varepsilon
\]\[
\left( {2\sin \frac{\pi }{{2n + 1}}} \right)\left( {\cos \frac{\pi }{{2n + 1}}+\cos \frac{{3\pi }}{{2n + 1}} + \ldots + \cos \frac{{\left( {2n - 1} \right)\pi }}{{2n + 1}}} \right) = \left( {2\sin \frac{\pi }{{2n + 1}}} \right)\varepsilon
\]\[
= 2\cos \frac{\pi }{{2n + 1}}\sin \frac{\pi }{{2n + 1}} + 2\cos \frac{{3\pi }}{{2n + 1}}\sin \frac{\pi }{{2n + 1}} + \ldots + 2\cos \frac{{\left( {2n - 1} \right)\pi }}{{2n + 1}}\sin \frac{\pi }{{2n + 1}}
\]\[\because 2\cos \alpha \sin \beta = \sin \left( {\alpha + \beta } \right) - \sin \left( {\alpha - \beta } \right)
\]\[
2\varepsilon \sin \frac{\pi }{{2n + 1}} = \sin \frac{{2\pi }}{{2n + 1}} + \sin \frac{{4\pi }}{{2n + 1}} - \sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}} + \ldots + \sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}} - \sin \frac{{\left( {2n - 2} \right)\pi }}{{2n + 1}}
\]\[
2\varepsilon \sin \frac{\pi }{{2n + 1}} = \sin \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}}
\]\[\because \sin \left( {\pi - \theta } \right) = \sin \theta \quad \to \quad\sin \left( {\pi - \frac{{2n\pi }}{{2n + 1}}} \right) = \sin \frac{\pi }{{2n + 1}}
\]\[
1 = 2\varepsilon
\]\[
\varepsilon = \sum\limits_{k = 1}^n {\cos \frac{{\left( {2k - 1} \right)\pi }}{{2n + 1}}} = \frac{1}{2}
\]

[nongtum]

7. จงแก้สมการ $$2^{-\sin^2x}+2^{-\cos^2x}=\sin y+\cos y$$

[Mastermander]

7.
$$ 2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} = 2\sqrt2 \sin(y+\pi/4) $$
เนื่องจากค่าสูงสุดของ $\sin (y+\pi/4) =1$
และค่าต่ำสุดของ $ 2^{\sin^2 x} + 2^{\cos^2 x} =2\sqrt2 $ ก็ต่อเมื่อ $ \sin^2 x = \cos^2x=1/2 $
และจากโจทย์ซึ่งเป็นจุดสัมพัทธ์ของทั้ง 2 กรณี
จึงทำให้ได้ว่า $ \sin(y+\pi/4)=1 $ และ $\sin^2 x = \cos^2 x = 1/2$

ถูกทางรึเปล่าครับ

[nongtum]

ถูกแล้วครับ เหลือแต่สรุปคำตอบให้ถูก อ้อ อย่าลืมแก้คำตอบทั่วไปของข้อ 5 ด้วยครับ อุตส่าห์คิดถูกแล้ว อย่าให้ตายตอนจบง่ายๆแบบนั้น