Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > ทฤษฎีจำนวน
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 04 เมษายน 2001, 08:07
xlover13 xlover13 ไม่อยู่ในระบบ
หัดเดินลมปราณ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 31 มีนาคม 2001
ข้อความ: 30
xlover13 is on a distinguished road
Post จำนวนคู่อันดับ (โจทย์โอลิมปิกรอบแรกสุดปี 42)

ให้ m และ n เป็นจำนวนเต็มบวก โดยที่
m^3 - n^3 = 728 อยากทราบว่ามีคู่อันดับ
(m,n) อยู่ทั้งหมดเท่าไหร่
***** ผมลองทำตามวิธีทีแยกตัวประกอบจำนวน
เต็ม แล้วได้คำตอบ = 2
มี (12,10) กับ (9,1)
***** แต่ผมอยากทราบว่าพี่ ๆ จะมีวิธีไหน
ที่สั้นที่สุด ผมใช้เวลาเกือบ 10 นาที
แน่ะ! รู้สึกว่ามากเกินไป
***** ขอบคุณครับ (ผมเชื่อ... ปัญหาคณิตศาสตร์
ที่อย่างแก้ได้ที่นี่)
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 27 กรกฎาคม 2020, 22:16
Anton's Avatar
Anton Anton ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กรกฎาคม 2020
ข้อความ: 20
Anton is on a distinguished road
Send a message via ICQ to Anton Send a message via AIM to Anton Send a message via MSN to Anton Send a message via Yahoo to Anton Send a message via Skype™ to Anton
Default

อ้างอิง:
Problem. Determine the number of pairs $(m,n)$ of positive integers such that $$m^3-n^3=728\,.$$
I am not quite sure if this is a quick solution, but here it goes. Note that $$728=m^3-n^3=(m-n)(m^2+mn+n^2)\,,$$
where
$$m^2+mn+n^2=(m-n)^2+3mn>(m-n)^2\,.$$
This means
$$(m-n)^3<728<729=9^3\,.$$
Hence, $m-n<9$. Therefore, if $m=n+k$ for some integer $k$, then $k\in\{1,2,\ldots,8\}$.

Now, $k$ must also divide $728=2^3\cdot 7\cdot 13$, and it has to be an even number (because $m-n=k$ and $m^3-n^3=728$ must have the same parity). This means $k=2$, $k=4$, or $k=8$.

If $k=8$, then $m-n=8$ and $m^2+mn+n^2=\dfrac{728}{8}=91$. That is, $$m+n=\sqrt{\dfrac{4(m^2+mn+n^2)-(m-n)^2}{3}}=\sqrt{\frac{364-64}{3}}=10\,.$$ This implies $(m,n)=(9,1)$.

If $k=4$, then $m-n=4$ and $m^2+mn+n^2=\dfrac{728}{4}=182$. That is, $$m+n=\sqrt{\dfrac{4(m^2+mn+n^2)-(m-n)^2}{3}}=\sqrt{\frac{728-64}{3}}=\sqrt{\frac{664}{3}}\,,$$ which is not an integer. Therefore, there are no solutions in this case.

If $k=2$, then $m-n=2$ and $m^2+mn+n^2=\dfrac{728}{2}=364$. $$m+n=\sqrt{\dfrac{4(m^2+mn+n^2)-(m-n)^2}{3}}=\sqrt{\frac{1456-64}{3}}=22\,.$$ This implies $(m,n)=(12,10)$.
__________________
Потом доказывай, что ты не верблюд.

29 กรกฎาคม 2020 02:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anton
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 05:46


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha