Differential Equations Marathon

[SeRpEnTSorTia]

ขอโจทย์มาเรื่อยๆเลยนะครับ กำลังเรียนเรื่องนี้อยู่ (เพิ่งเริ่ม)

[1]
จงพิสูจน์ว่า $y = g(x) = x^{2}$ เป็นคำตอบของสมการเชิงอนุพันธ์อันดับที่ 1

$xy' = 2y$ ที่ทุกค่าของ $x$

[gon]

ข้อแรกง่ายไปนิดหรือเปล่าครับ หุ ๆ ดิฟแล้วแทน

2. Solve $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x) + 2}{\sin(y) + 2}$

[M@gpie]

หืมมม มีผู้เปิดประเด็น นี้ซะแล้ว ต้องร่วมแจมครับ อิอิ ของพี่ gon แยกตัวแปรแล้วอินทิเกรตก็จะเรียบร้อย
3. Solve \[ \frac{dy}{dx}=(x+y)^2 \]

Hint : Change variable

ปล. เพิ่ม Hint ให้นะครับผม

[Mastermander]

Oh! ..O.. Marathon !

Edit: OK
ปล. มันเป็นจริงซะแล้ว

[nooonuii]

ขออนุญาตเปลี่ยนชื่อกระทู้นิดหน่อยนะครับ เพราะตกลงกับน้อง Magpie ไว้แล้วว่าจะเล่นกันยาว

[nooonuii]

ลืมเทคนิคการแก้สมการเชิงอนุพันธ์ไปเกือบหมดแล้วครับ ก็เลยถือโอกาสใช้กระทู้นี้รื้อฟื้นความจำไปด้วยเลย ข้อ 3 ของน้อง Magpie ทำผมอึ้งอยู่พักนึง แต่คิดว่าได้คำตอบแล้วครับ

[SeRpEnTSorTia]

2. Solve $\frac{dy}{dx} = \frac{\cos(x) + 2}{\sin(y) + 2}$

{sin(y)+2} dy = {cos(x)+2} dx
๒{sin(y)+2} dy = ๒{cos(x)+2} dx
cos(y) + 2y + c = -sin(x) + 2x + c

cos(y) + sin(x) + 2y - 2x = C

ข้อ 3 ไปไม่เป็นจริงๆ

ขอบคุณครับ

[warut]

ข้อ 3. ให้ $z=x+y$ เขียน $\frac{dy}{dx}$ ในเทอมของ $\frac{dz}{dx}$ แล้วแก้ differential equation อันใหม่ที่ได้ เมื่อได้คำตอบแล้วจึงแทนค่า $z$ กลับไป ประมาณนี้ล่ะครับ

[SeRpEnTSorTia]

ข้อ 3 \(\frac{dy}{dx}=(x+y)^{2}\)
ให้ \( z=x+y\)
$\frac{dx}{dx}+\frac{dy}{dx}=\frac{dz}{dx} $

เอา $ dx $ คูณตลอด
$dx+dy=dz $
$dy=dz-dx $
แทนค่าในโจทย์ \(\frac{dy}{dx}=(x+y)^{2}\)
$\frac{dz-dx}{dx}=z^{2}$
$dz-dx=z^{2}dx $
$dz=(1+z^{2})dx$
$\frac{dz}{1+z^{2}}=dx$

๒$\frac{dz}{1+z^{2}}$=๒$dx$
$tan^{-1} z=x+c$
แทนค่าด้วย $z=x+y$
$tan^{-1}x+y=x+c$

[nooonuii]

ขอ comment นิดนึงนะครับ

สัญลักษณ์ $\frac{dy}{dx}$ ไม่ได้หมายความว่า $dy$ หาร $dx$ นะครับ
เพราะฉะนั้นการเขียนว่า $\frac{dz-dx}{dx}$ จึงไม่น่าจะมีความหมายครับ
ควรเขียนเป็น $\frac{dz}{dx}-1$ มากกว่า
ส่วนคำตอบเขียนในรูป $y = \tan{(x+c)}-x$ น่าจะสวยกว่าครับ

[SeRpEnTSorTia]

รับทราบ
จริงมหาลัยผมเปิดมา 3 อาทิตย์ คาบแรกปฐมนิเทศ คาบ 2 เรียน คาบ 3 หยุดงานลาดกระบังนิทรรศ เน็ตไม่ค่อยดี แต่ช่วงไหนเข้าได้ก็จะเข้ามาเรื่อยๆครับ

4. $$y''+2y'+y=0$$

[M@gpie]

ข้อ 4. สมมติให้ $y=e^{mx}$ แทนค่าจะได้สมการ \[m^2+2m+1=0 \Rightarrow m=-1,-1 \]หาคำตอบได้เป็น
\[ y = c_1e^{-x} + c_2xe^{-x}\]
edit แล้วครับ คิดผิดไปหน่อยครับ แหะๆ


5. Solve \[ y^{(8)}(x)-y(x) = 0 \]

ปล.
1. แก้โจทย์ให้แล้วครับ คิดว่ายังไม่รู้จัก basis ขออภัยด้วยครับ
2. $y^{(n)}(x)$ หมายถึง อนุพันธ์อันดับ n ของ y ครับ สัญลักษณ์มาตรฐาน

[SeRpEnTSorTia]

เห็นโจทย์แล้ว อึ้ง ทึ่ง เสียว มากเลยครับ

ข้อ 5. ผมยังไม่เข้าใจสัญลักษณ์ครับ เรียน ode อยู่ครับ

[nooonuii]

5. โจทย์มันโหดร้ายเกินปายยยย

ได้ characteristic polynomial เป็น $m^8 - 1$ ครับ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น

$m^8-1 = (m-1)(m+1)(m-i)(m+i)(m-\frac{1+i}{\sqrt{2}})(m+\frac{1+i}{\sqrt{2}})(m-\frac{1-i}{\sqrt{2}})(m+\frac{1-i}{\sqrt{2}})$

จากนั้นคำตอบทั่วไปก็เป็น linear combination ของ $\{e^{\alpha x}\}$ เมื่อ $\alpha$ เป็นรากของ $m^8-1$ ครับ

[nooonuii]

6. $xdy - ydx = (x^2+y^2)dx$