Differential Equations Marathon

[M@gpie]

แหม สังเกตว่ากระทู้นี้เงียบๆ ประกอบกับมีปัญหา ODE ข้องใจพอดี มาสานกระทู้นี้ต่อละกันครับ
ข้อ 6. \[ \frac{1}{(1+\frac{y^2}{x^2})}\frac{xdy+ydx}{x^2} = d\left(\arctan(\frac{y}{x})\right) = dx \]
อินทิเกรตสองข้าง แล้วจัด $y$ ในรูปของ $x$ เป็นคำตอบคือ \[ y = x\tan (x+c)\]

7. Solve \[ y' + y^2 = \tanh x\]
note: ผมลองทำไปทำมา พบว่ามันหาคำตอบไม่ได้ แต่ไม่แน่ใจครับ เลยเอามาให้ลองคิดกันดู

[warut]

คำว่า "มันหาคำตอบไม่ได้" ในที่นี้คุณ M@gpie หมายความว่า หาออกมาในรูปง่ายๆไม่ได้ หรือไม่มีคำตอบเลยครับ

[M@gpie]

ก็หาไม่ได้เลยครับ คือ ไม่มีคำตอบ แต่ผมพบแล้วว่าข้อสรุปของผมผิดก็ ช่วยกันหาคำตอบได้เลยครับผม

[warut]

เอ๊ะ... คุณ M@gpie แอบมาแก้ไขข้อความเสียตั้งแต่เมื่อไหร่ บังเอิญนะเนี่ยผมเข้ามาเอาโจทย์ ถึงได้เห็นการเปลี่ยนแปลง

สมการในข้อ 7. เป็น Riccati equation ซึ่งโดยทั่วไปแล้ว จะหาคำตอบออกมาในรูปง่ายๆไม่ได้ ในกรณีของข้อนี้ ผมเดาว่าคงหาไม่ได้เช่นกันครับ

ถ้ารู้ initial condition เราน่าจะหาคำตอบโดยใช้ power series ได้ โดยให้ $$ y= \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $$ แล้วแทนค่าในสมการ $$ \cosh x (y'+y^2) -\sinh x =0 $$ กระจาย $\cosh x$ และ $\sinh x$ ด้วย Taylor series (เราไม่กระจายจาก $\tanh x$ โดยตรงเพราะกระจายยาก และมี finite radius of convergence) แล้วจึงค่อยแก้สมการหา $a_n$ ซึ่งทั้งหมดนี้เป็นงานหนักมาก คงต้องทำด้วยคอมพิวเตอร์ ถ้าได้ $a_n$ มาหลายๆตัว อาจโชคดีมองเห็น รูปแบบทั่วไปของมันก็เป็นได้ครับ (ถึงไม่รู้ initial condition ก็ทำอย่างนี้ได้ แต่ $a_n$ มันจะติดตัวแปรเละเลยครับ)

ผมใช้พวก Maple หรือ Mathematica ไม่เป็น ถ้าใครใช้เป็นจะลองทำแบบง่ายๆดูก่อน โดยให้ $y(0)=y'(0)=0$ ก็ได้ครับ

ป.ล. ผมมีความรู้เกี่ยวกับ differential equation น้อยมากๆ แต่ที่เข้ามาตอบเพราะ เห็นไม่มีใครตอบ และไม่เห็นด้วยกับคำตอบในตอนแรกของคุณ M@gpie ก็แค่นั้นแหละครับ

[M@gpie]

ระดับคุณ warut ก็ไม่เรียกว่าความรู้น้อยหรอกครับ คนเราต้องมีการแลกเปลี่ยนความคิดเห็นกันน่ะครับอย่าถือว่าใครความรู้น้อยความรู้เยอะเลยอย่างผมก็ยังต้องฝึกอีกมากเหมือนกันทีเดียว อยากรู้เรื่อง Abstract algebra กับ Topology แต่ยังไม่มีโอกาสศึกษาเลยครับ ติดนั่นติดนี่อยู่เรื่อย กะว่าปีหน้าจะไปขโมยเรียนกับคณะวิทยาฯ ซักหน่อย ก็ขอขอบคุณสำหรับคำแนะนำครับ

พอดีปัญหานี้ เพื่อนผมไปเจอในโปรเจค เป็นปัญหาจากอะไรก็ไม่ทราบครับเค้าไม่ได้บอก แต่ได้สมการนี้มา ซึ่งก็ งง ทีเดียว ตอนแรกว่าจะหา analytical solution แต่เพราะแก้ไม่ออก ตอนนี้เค้าก็ใช้ Numerical method ไปเรียบร้อยแล้วล่ะครับ

ปล. ขอโทษที่ตอบช้า ครับ พอดีกระทู้มันตกไปเลยไม่เห็น

[Timestopper_STG]

ผมขออนุญาตตั้งโจทย์มั่งนะครับพอดีไปยืมหนังสือมาจากห้องสมุดครับ
8)จงหาคำตอบของปัญหาเงื่อนไขค่าเริ่มต้น
$(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx = 0,y(1)=0$
9)จงหาคำตอบของสมการ
$\displaystyle{\sec y\frac{dy}{dx}+\sin (x-y)=\sin (x+y)}$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
ผมขออนุญาตตั้งโจทย์มั่งนะครับพอดีไปยืมหนังสือมาจากห้องสมุดครับ
8)จงหาคำตอบของปัญหาเงื่อนไขค่าเริ่มต้น
$(1+x^4)dy+x(1+4y^2)dx = 0,y(1)=0$

ตั้งใจเลือกมาอย่างยากสุดๆเลยใช่มั้ยครับเนี่ย

ตอนแรกว่าจะหา general solution แต่ไม่ไหวครับ อัด I.C. ลงไปเลยดีกว่า จะได้ง่ายขึ้น หลังจากคิดเลขอย่างหนักแล้วจะพบว่า $$y=\frac12 \left( \frac{1-x^2}{1+x^2} \right)$$ อยากรู้เหมือนกันว่า Maple/Mathematica แก้สมการข้อนี้ได้รึเปล่า แล้วคุณ Timestopper_STG มีอะไรจะแนะนำในการทำโจทย์ข้อนี้มั้ยครับ

Edit: ได้ general solution แล้วครับ $$y=\frac12 \left( \frac{c-x^2}{1+cx^2} \right)$$

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
6. $xdy + ydx = (x^2+y^2)dx$

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
ข้อ 6. \[ \frac{1}{(1+\frac{y^2}{x^2})}\frac{xdy+ydx}{x^2} = d\left(\arctan(\frac{y}{x})\right) = dx \]
อินทิเกรตสองข้าง แล้วจัด $y$ ในรูปของ $x$ เป็นคำตอบคือ \[ y = x\tan (x+c)\]

ผมลองแทนคำตอบของคุณ M@gpie กลับลงไปในสมการของคุณ nooonuii แล้วมันใช้ไม่ได้นะครับ น่าจะผิดเพราะ จริงๆแล้ว $$d\left( \tan^{-1}(\frac yx) \right) = \frac{xdy-ydx}{x^2+y^2} $$ ถ้าข้อนี้ผิดจริง ผมก็น่าจะเป็นคนแรกที่อ่านคำตอบของคุณ M@gpie อย่างจริงจังสินะครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ Timestopper_STG:
9)จงหาคำตอบของสมการ
$\displaystyle{\sec y\frac{dy}{dx}+\sin (x-y)=\sin (x+y)}$

ข้อนี้ง่ายหน่อยครับ แค่ใช้ความจริงที่ว่า $$\sin(x+y)-\sin(x-y)=2\sin y\cos x$$ มาแปลงสมการให้เป็น separable ODE แล้วก็จะแก้ออกมาได้ $$\tan y=Ce^{2\sin x}$$

[M@gpie]

อืม จริงด้วยครับ ผมก็รีบ นึกว่าใช่ แหะๆๆๆ ติดไว้ก่อนเดี๋ยวมาแก้ตัวครับ

[warut]

ตกลงโจทย์ข้อ 6. นี่คุณ nooonuii ตั้งใจให้มันเป็นอย่างนั้นจริงๆเหรอครับ ผมไม่แน่ใจเพราะคุณ nooonuii ไม่ได้คัดค้านคำตอบของคุณ M@gpie

ถ้าโจทย์เป็นตามที่ว่ามาจริงๆ ผมว่าข้อนี้น่าจะเป็นโจทย์ ODE ที่ยากที่สุดที่เคยมีคนโพสต์มาเลยนะครับ

[nooonuii]

โอ๊ะโอ ขออภัยครับ ตอนแรกก็คิดว่าถูกแล้วแต่พอกลับไปเช็คที่โจทย์ถึงได้รู้ว่าพิมพ์ผิดครับ สงสัยตอนนั้นเมาไวน์ ผมแก้ให้แล้วครับ แต่ถ้าเป็นอย่างแบบเดิมคุณ Warut แก้ได้รึเปล่าครับ ผมลองทำดูแล้วดูเหมือนจะไม่ออกครับ

[M@gpie]

อ่า ผมก็ทำไปด้วยความเคยชิน 555 ลองทำแบบบวกดูแล้ว ยากมากเลยครับ

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
โอ๊ะโอ ขออภัยครับ ตอนแรกก็คิดว่าถูกแล้วแต่พอกลับไปเช็คที่โจทย์ถึงได้รู้ว่าพิมพ์ผิดครับ สงสัยตอนนั้นเมาไวน์ ผมแก้ให้แล้วครับ แต่ถ้าเป็นอย่างแบบเดิมคุณ Warut แก้ได้รึเปล่าครับ ผมลองทำดูแล้วดูเหมือนจะไม่ออกครับ

ขอบคุณมากครับ

ถ้าเป็นโจทย์ข้อ 6. อันเก่า

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
6. $xdy + ydx = (x^2+y^2)dx$

จะมีคำตอบคือ $$y=1+x\left(\frac{\sin x-c\cos x}{\cos x+c\sin x}\right)$$ วิธีทำคร่าวๆแบบของผมคือ ให้ $$y=-\frac{xu'}{u}$$ แทนค่าลงในสมการโจทย์ แล้วเราจะได้ว่า $$xu''+2u'+xu=0$$ แทนค่า $$u=\sum_{n=0}^\infty a_nx^n$$ แล้วแก้สมการหาคำตอบมาอันนึง ซึ่งอันที่ง่ายที่สุดคือ $$u=\frac{\sin x}{x}$$ แทนค่ากลับไป เราจะได้ $$y=1-x\cot x$$ เป็นคำตอบอันหนึ่ง หา general solution โดยให้ $$y=1-x\cot x+\frac1z$$ แทนค่ากลับลงไปในสมการโจทย์ แล้วเราจะพบว่า $$xz'+(1-2x\cot x)z+1=0$$ ซึ่งมีคำตอบคือ $$z=\frac{\sin x}{x}(\cos x+c\sin x)$$ แทนค่ากลับลงไปจะได้คำตอบดังที่ผมให้ไว้ข้างต้น ใครอยากรู้ว่ามึนแค่ไหน ก็ลองทำตามขั้นตอนที่ผมบอกดูนะครับ

ให้สังเกตนิดนึงว่าคำตอบ $y=1-x\cot x$ มาจากกรณีที่ $c\to\infty$ ครับ

[nooonuii]

ยากน่าดูชมเลยครับ ผมลืมวิชานี้ไปหมดแล้วด้วย เลยไม่รู้จะแก้ยังไงดี แต่ยังไงคำตอบก็สวยดีครับ