Differential Equations Marathon

[M@gpie]

ผมเข้าใจแต่ครึ่งหลัง คือวิธีแก้ Riccati's Equation
แต่วิธีหาคำตอบหนึ่งมาก่อน เนี่ย สุดยอดครับ พี่ warut ใช้แนวคิดยังไงครับ ที่สมมติ ...

[warut]

ก็แก้หา $a_0, a_1, a_2, \dots$ ไปเรื่อยๆ จนมองออกน่ะครับว่า $a_n$ คือ coefficient ของ Maclaurin series ของ $\frac{\sin x}{x}$ โชคดีที่ในกรณีนี้ $a_n$ อยู่ในรูปง่ายๆผมถึงดูออก แต่ถึงอย่างนั้นก็ยังนับว่าสาหัสมากครับ เพราะในส่วนนี้ผมต้องทำแบบ manual ทั้งหมด

[SeRpEnTSorTia]

โจทย์ โหด อึด ถึก ครับ

$(D^{4 }-D^{2 })y = x^{2 }+3e^{-2x }$

พรุ่งนี้ผมสอบครับ

[M@gpie]

ข้อความเดิมของคุณ SeRpEnTSorTia:
โจทย์ โหด อึด ถึก ครับ

$(D^{4 }-D^{2 })y = x^{2 }+3e^{-2x }$

พรุ่งนี้ผมสอบครับ

ยังถือว่าไม่ถึกมากนะครับ อิอิ

\[ y(x) = c_1+c_2x + c_3e^{x} + c_4e^{-x} + \frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{12}x^4 -x^2 \]

[SeRpEnTSorTia]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:


ยังถือว่าไม่ถึกมากนะครับ อิอิ

\[ y(x) = c_1+c_2x + c_3e^{x} + c_4e^{-x} + \frac{1}{4}e^{-2x} -\frac{1}{12}x^4 -x^2 \]

โจทย์ ใช้ได้ทั้งหา Yp แบบ wronskian และเทียบสัมประสิทธิ์ ได้ทั้งหมดโดยไม่มีเงื่อนไขใช่ป่าวครับ

[M@gpie]

ทำได้ทั้งสองแบบครับ แต่สำหรับการเทียบสัมประสิทธิ์ต้องปรับเทอมนิดหน่อย เพราะว่าซ้ำกับ complementraty solution

[warut]

ผมได้ขอร้องให้คุณ passer-by ช่วยทดลองแก้โจทย์ข้อ 8. และ ข้อ 6. (อันเก่า) โดยใช้ MATLAB ดู (เชื่อว่า MATLAB ยืม library การแก้ ODE มาจาก Maple ครับ) ปรากฎว่าผลออกมาผิดคาด เพราะมันสามารถแก้ได้ครับ แม้ว่าอาจต้องมีการ simplify คำตอบต่ออีก

แต่ละข้อที่ทำแบบ manual เนี่ย ผมต้องเสียเวลาไปทั้งวันเลยครับ (แต่ไม่ได้ทำต่อเนื่องนะ) เดี๋ยวผิดนู่นผิดนี่ตลอด ไม่คิดว่าเทคโนโลยีจะก้าวหน้า จนสามารถจัดการกับสมการพวกนี้ได้หมดแล้ว เมื่อรู้อย่างนี้แล้ว เราก็คงต้องปล่อยเรื่องพวกนี้ให้เป็นหน้าที่ของเครื่องจักร ส่วนมนุษย์เราก็เดินหน้าทำอย่างอื่นกันต่อไปดีก่า...

[M@gpie]

มีโจทย์มาปลุกกระทู้กันซักนิดครับ ผมดูแล้ว งงๆ เล็กน้อยเลยมาขอคำแนะนำ
A vector valued function of a vector $\dot{\mathbf{x}}$ is said to satisfy a Lipchitz condition with respect to $\mathbf{x}$ if there exists a $k$ such that \[ \| \mathbf{f}(\mathbf{x}_1) - \mathbf{f}(\mathbf{x}_2) \| \leq k \| \mathbf{x}_1 -\mathbf{x}_2 \| \]
for all $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$. Show that for a given $\mathbf{x}_0$ there is at most one solution of the nonlinear equation $\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))$ passing through $\mathbf{x}_0$ if $\mathbf{f}$ satisfies a Lipshitz condition.

[passer-by]

มันก็คือ การพิสูจน์ unique solution of IVP ในตำรา qualitative theory of ODE ตามปกติไม่ใช่หรือครับ

[M@gpie]

อ่า คิดว่าที่ผมอ่านคงดึงมาจากวิชาที่พี่ว่าครับ แต่ของผมลดระดับลงมาเป็น System theory เดี๋ยวลองคิดดูอีกทีครับ

[M@gpie]

สำหรับโจทย์ที่ผมตั้งไว้มี

วิธีคิดของผมเป็นแบบนี้

สมมติให้ $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ เป็นผลเฉลยของสมการ $
\dot{\mathbf{x}}= \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))$ โดยมีเงื่อนไขเริ่มต้นคือ $\mathbf{x}_1(t_0),\mathbf{x}_2 (t_0)=\mathbf{x}_0$. ต่อไปจะแสดงว่า \[ \mathbf{x}_1(t) = \mathbf{x}_2(t), \; \; \forall t \geq t_0\]
เนื่องจาก $\mathbf{x}_1,\mathbf{x}_2$ เป็นผลเฉลยจะได้ว่า \[ \dot{\mathbf{x}_1}= \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) \Rightarrow \mathbf{x}_1(t) - \mathbf{x_0} = \int_{t_0}^t\mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt \] \[ \dot{\mathbf{x}_2}= \mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t))\Rightarrow \mathbf{x}_2(t) - \mathbf{x_0} = \int_{t_0}^t\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) dt \]
ดังนั้น \[ \mathbf{x}_1(t) - \mathbf{x_2}(t) = \int_{t_0}^t \left( \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt -\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) \right) dt \]
พิจารณา \[ \begin{array}{ccl}\|\mathbf{x}_1(t) - \mathbf{x_2}(t)\| &=& {\displaystyle \| \int_{t_0}^t \left( \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt -\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) \right) dt \| } \\
& \leq & {\displaystyle \int_{t_0}^t \| \mathbf{f}(\mathbf{x}_1(t)) dt -\mathbf{f}(\mathbf{x}_2(t)) \| dt } \\
& \leq & {\displaystyle k \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \| } \; \; \; ...(*)
\end{array}\]
นิยาม $z(t)= {\displaystyle \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \|dt }\; \; \Rightarrow \; \; \dot{z}(t) = \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \|, \;\; \; z(t_0)=0 $
จาก (*) จะได้ว่า \[ \dot{z}(t) - kz(t) \leq 0 \] คูณด้วย $e^{-kt}$ จะสามารถจัดรูปได้เป็น \[ \frac{d}{dt}\left( e^{-kt}z(t) \right) \leq 0 \]
อินทิเกรตจาก $t_0$ ถึง $t$ จะได้ว่า \[ e^{-kt}z(t)-e^{-kt_0}z(t_0) \leq 0 \Rightarrow z(t)\leq 0, \;\; \forall t\geq t_0\]
แต่เนื่องจาก $z(t)= {\displaystyle \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \| dt} \geq 0 $ จึงได้ว่า $z(t)=0, \;\; \forall t\geq t_0$
ดังนั้นสำหรับทุก $t\geq t_0$ จะได้ \[ \int_{t_0}^t \| \mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \|dt =0 \Rightarrow \|\mathbf{x}_1(t) -\mathbf{x}_2(t) \| =0 \Rightarrow \mathbf{x}_1(t) = \mathbf{x}_2(t) \]
ตามต้องการ

รบกวนตรวจสอบดูด้วยนะครับ หรือเสนอวิธีง่ายกว่านี้ก็ดีนะครับ เพราะผมก็ไม่รู้ว่าของผมถูกไหม

[passer-by]

อืมมม.... ก็โอเคนะครับ เมื่อมองโดยรวม

จริงๆ ถ้าเปลี่ยนเป็น linear system of ODE จะพิสูจน์ง่ายกว่านี้เยอะมากๆครับ

[passer-by]

มาราธอนกันต่อนะครับ

SOLVE

$$ y'+ \frac{y}{x^x}(x^x \ln y)^4+y \ln x \ln y =0 $$

BIG HINT

เปลี่ยนตัวแปร แล้วจะกลายเป็น Bernoulli's equation

[passer-by]

GUIDE TO SOLUTION

ให้ $ v= x^x \ln y $

[M@gpie]

ยุ่งยากหลายชั้นทีเดียวครับพี่ passer-by
$$ y'+ \frac{y}{x^x}(x^x \ln y)^4+y \ln x \ln y =0 $$
First, we multiply both two sides of equation by $\frac{x^x}{y}$. Then
$$ \frac{x^x}{y}\frac{dy}{dx}+ (x^x \ln y)^4+x^x \ln x \ln y =0 \; \; \; ....(*)$$
Let $u = x^x\ln y $. it is easy to compute that \[ \frac{du}{dx} - u = \frac{x^x}{y}\frac{dy}{dx} + x^x\ln x \ln y\]
(*) is changed to $$\frac{du}{dx} -u + u^4 = 0$$
This equation is the Bernoulli's equation equation, but it can be solved by seperation of variables method.