True - False Marathon

[nooonuii]

สวัสดีปีใหม่ 2550 สมาชิก Mathcenter ทุกท่านครับ ขอตั้งกระทู้มาราธอนอีกซักกระทู้ครับ เป็นกระทู้ที่ผมตั้งใจจะตั้งมานานแล้ว คำถามในกระทู้นี้ขอเป็นคำถามที่ถามว่าจริงหรือเท็จเท่านั้นนะครับ เป็นคำถามจากวิชาอะไรก็ได้ ระดับใดก็ได้ครับ ใครถนัดเรื่องไหนก็ถามเรื่องนั้น อาจจะเป็นปัญหาที่มีคนคิดไว้แล้วหรือปัญหาเปิดที่ยังไม่มีใครทราบคำตอบก็ได้ครับ สำหรับคำตอบในแต่ละคำถาม ถ้าจริงให้พิสูจน์ว่าจริง ถ้าไม่จริงให้พิสูจน์หรือหาตัวอย่างมาค้านข้อความนั้นๆ ผมขอเริ่มคำถามเป็นตัวอย่างก่อนนะครับ

ข้อความต่อไปนี้ จริง หรือ เท็จ

1. $\sqrt{2}< \sqrt[3]{3} < \sqrt[5]{5} < \sqrt[7]{7}$

2. ถ้า $A,B,C,D$ เป็นเซต แล้ว $$(A\cup B)\cap (C\cup D) = [(A\cap D) - (B\cap C)]\cup (A\cap C)\cup (B\cap D)$$

3. ถ้าอนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n}$ ลู่เข้า แล้ว อนุกรม $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n}$ ลู่เข้า

ป.ล. ถ้าใครจะถามคำถามต่อไปช่วยใส่เลขข้อให้ต่อเนื่องด้วยนะครับ

[M@gpie]

โอ้ เพิ่งเห็นกระทู้ของพี่ Noonuii ต้อนรับปีใหม่ดีเลยทีเดียวครับ ผมจะได้งัดข้อสงสัยใน analysis มาล้วงแคะแกะเกา เรื่อยๆ ถูกผิดยังไงรบกวน comment ด้วยนะขอรับ

ข้อ 1. เท็จ โดย พิจารณา $ 3^5 > 5^3 \rightarrow \sqrt[3]{3} > \sqrt[5]{5} $ จึงได้ว่าผิด

ข้อ 3. เท็จ ยกตัวอย่างค้านโดย
ให้ $a_n = b_n = \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ ซึ่ง $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n} $ อนุกรมลู่เข้า และ $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} b_n} $ ลู่เข้า (โดยทฤษฏีการลู่เข้าของอนุกรมสลับ)
จะเห็นว่า $ \displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_nb_n = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n} } $ ซึ่งลู่ออก โดยอนุกรม $p$ ที่ $p=1$


4. ให้ $ A \subset B \subset \mathbb{R}$ โดยที่ $B$ เป็นเซตที่มีขอบเขต แล้ว $ \sup A \leq \sup B$ และ $\inf B \leq \inf A $

5. ให้ลำดับ $x_n, y_n, z_n$ ซึ่ง $x_n \leq y_n \leq z_n, \; \; \forall n \in \mathbb{N}$ และ $x_n, z_n$ เป็นลำดับลู่เข้า จะได้ว่า $y_n$ เป็นลำดับลู่เข้า

[nooonuii]

เสริมข้อ 3 นิดนึงครับ ข้อความนี้จะเป็นจริงถ้าทั้งสองอนุกรมลู่เข้าอย่างสัมบูรณ์ การพิสูจน์ใช้ Cauchy-Schwarz inequality ครับ

ข้อ 4 จริง

ให้ $x\in A$ จะได้ว่า $x\in B$ ดังนั้น $x\leq \sup{B}$ ซึ่งจะได้ว่า $\sup{B}$ เป็นขอบเขตบนของ $A$ ดังนั้น $\sup{A} \leq \sup{B}$

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $\inf{B} \leq \inf{A}$

ข้อ 5 เท็จ
ให้ $x_n = -2, y_n = (-1)^n, z_n = 2$
ข้อความนี้จริงถ้า $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}z_n}$ ซึ่งเราจะได้ว่า $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}y_n = \lim_{n\to\infty}x_n = \lim_{n\to\infty}z_n }$ ด้วย
เราเรียกความจริงอันนี้ว่า Squeeze Theorem หรือ Sandwich Theorem

[nooonuii]

ยังเหลือข้อ 2 ที่ยังไม่ได้ตอบครับ

6. ผลบวกของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ

7. ผลคูณของจำนวนอตรรกยะสองจำนวนเป็นจำนวนอตรรกยะ

8. ผลบวกของจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ

9. ผลคูณของจำนวนตรรกยะกับจำนวนอตรรกยะเป็นจำนวนอตรรกยะ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
2. ถ้า $A,B,C,D$ เป็นเซต แล้ว $$(A\cup B)\cap (C\cup D) = [(A\cap D) - (B\cap C)]\cup (A\cap C)\cup (B\cap D)$$

ข้อนี้ไม่จริง เพราะหา่กให้ $D$ เป็นเซตว่าง จะได้ทางซ้ายมือคือ $(A\cup B)\cap C$ และทางขวามือคือ $A\cap C$ ซึ่งโดยทั่วไปไม่เ้ท่ากัน

ุ6. ผิด ตัวอย่างเช่น $(1-\sqrt3)+\sqrt3=1\in\mathbb{Q}$
7. ผิด ตัวอย่างเช่น $(\sqrt3)^2=3\in\mathbb{Q}$
8. ถูก เพราะหากสมมติให้ $x\in\mathbb{Q},\ y\notin\mathbb{Q}$ แต่ $z=x+y\in\mathbb{Q}$ เราจะได้ $z-x\in\mathbb{Q}$ แต่ $z-x=y\notin\mathbb{Q}$
9. ผิด ตัวอย่างเช่น $0\times\sqrt3=0\in\mathbb{Q}$

ยังนึกข้อต่อไปไม่ออกครับ

[nooonuii]

ถ้างั้นผมต่อให้ครับ คิดไว้เยอะแยะเลย

10. มีเซตที่ใหญ่ที่สุด

11. $\log{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

12. ถ้า $\theta$ เป็นจำนวนจริง และ $\sqrt[3]{\sin{\theta}}$ เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว $\sqrt[3]{\cos{\theta}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

13. ถ้า $x>0$ เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว $\log{x}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

14. ถ้า $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว $e^x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

15. $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}} + \sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

[M@gpie]

ข้อ 10. คิดว่าไม่มีครับ แต่ไม่รู้จะแสดงยังไง แหะๆ

ข้อ 13. เท็จ ให้ $x=\sqrt{10} \rightarrow \log x =0.5 $

ข้อ 15. ให้ $x=\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$ ยกกำลังสามจะได้ $x^3 = 2 - 3x$
จะได้ว่า รากที่เป็นอตรรกยะของสมการถ้ามี จะอยู่ในเซต $\{ -1,1,-2,2\}$
แต่เนื่องจาก $|\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}| < 1$ นั่นคือ $\sqrt[3]{1-\sqrt{2}}+\sqrt[3]{1+\sqrt{2}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

16. $a_n$ เป็นลำดับโคชี ก็ต่อเมื่อ $a_n$ เป็นลำดับลู่เข้า

17. ให้ $f_n:[a,b] \rightarrow \mathbb{R}$ เป็นลำดับของฟังก์ชันต่อเนื่องที่ลู่เข้าสู่ $f$
จะได้ว่า \[ \lim_{n \rightarrow \infty}\int_a^b f_n dx =\int_a^b \lim_{n\rightarrow \infty} f_n dx = \int_a^b f dx \]

18. ให้ $a_{mn}$ เป็นลำดับของจำนวนจริง ที่ขึ้นกับดัชนี $m,n$ แล้วจะได้ว่า
\[ \sum_{n=1}^{\infty}\sum_{m=1}^{\infty}a_{mn} = \sum_{m=1}^{\infty}\sum_{n=1}^{\infty}a_{mn} \]

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
10. มีเซตที่ใหญ่ที่สุด

เท็จ เพราะ power set ของ A จะใหญ่กว่า A เสมอ

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
11. $\log{2}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

จริง เพราะถ้า $\log2=a/b$ แล้วเราจะได้ว่า $2^b=10^a$ แสดงว่า $5\mid2^b$ ซึ่งไม่จริง

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
12. ถ้า $\theta$ เป็นจำนวนจริง และ $\sqrt[3]{\sin{\theta}}$ เป็นจำนวนตรรกยะแล้ว $\sqrt[3]{\cos{\theta}}$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

เท็จ เช่น $\theta=0$

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
14. ถ้า $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ แล้ว $e^x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ

เท็จ เช่น $x=\ln2$ เป็นอตรรกยะ เพราะถ้า $\ln2=a/b$ แล้วเราจะได้ว่า $2^b=e^a$ ซึ่งไม่จริงเนื่องจาก $e$ เป็น transcendental number

ต่อให้อีกข้อนึงครับ

19. ถ้า $e-\pi$ เป็นตรรกยะแล้ว $e\pi$ เป็นอตรรกยะ

[nooonuii]

ข้อ 16 งงครับ ประโยคมันอ่านเป็น ถ้า...ก็ต่อเมื่อ แต่คิดว่าพิมพ์ผิดน่าจะตัด ถ้า ทิ้งไปครับ

ข้อความนี้จริงบ้างไม่จริงบ้างครับ อยู่ที่ว่าเรากล่าวถึงเซตไหน เช่นถ้ากล่าวถึงลำดับในเซตของจำนวนตรรกยะก็จะไม่จริง แต่ถ้ากล่าวถึงลำดับในเซตของจำนวนจริงก็จะจริง คุณสมบัตินี้ใช้จำแนก metric space ได้ เราเรียก metric space ที่มีคุณสมบัตินี้ว่า complete metric space สำหรับการพิสูจน์ในเซตของจำนวนจริงนั้นจะพิสูจน์โดยกระบวนการคร่าวๆต่อไปนี้

1. Convergence Sequence $\Rightarrow$ Cauchy Sequence
- อันนี้จริงสำหรับ metric space ใดๆ

2. Cauchy Sequence $\Rightarrow$ Convergent Sequence
- พิสูจน์โดยการพิสูจน์ว่า Cauchy Sequence $\Rightarrow$ Bounded Sequence $\Rightarrow$ Convergent Subsequence (โดย Bolzano-Weierstrass Theorem) $\Rightarrow$ Convergent Sequence

ข้อ 17 เท็จ ยกตัวอย่างเช่น
$\displaystyle{ f_n(x) = \cases{0 & , \frac{1}{n}\leq x \leq 1 \cr 4n-4n^2x & , \frac{1}{2n}\leq x < \frac{1}{n} \cr 4n^2x & , 0\leq x < \frac{1}{2n} } }$
จะได้ว่า $f_n\to 0$ และ $\displaystyle{\lim_{n\to\infty}\int_0^1 f_n(x)dx=1}$ แต่ $\displaystyle{\int_0^1 \lim_{n\to\infty} f_n(x)dx=0}$
ข้อความนี้จริงถ้า $f_n\to f$ uniformly ครับ

[M@gpie]

20. ให้ $f$ ฟังก์ชันเป็นต่อเนื่องที่จุด x=a ก็ต่อเมื่อ $f'(a)$ หาค่าได้


ปล. ขออภัยครับ แหะๆ พอดีคิดไว้ว่าจะพิมพ์ถ้าแล้ว แต่เปลี่ยนเป็นก็ต่อเมื่อเลยลืมแก้ ตอนนี้แก้ไขแล้วครับ

[warut]

มาอีกแล้ว "ถ้า...ก็ต่อเมื่อ" เป็นงงจริงๆครับ

[Redhotchillipepper]

เล่นไรกันเนี่ย ถูก-ผิด เหรอ ท่าทางคงหนุกนะ เล่นด้วยคนสิฮะ

จาก 20. ให้ f ฟังก์ชันเป็นต่อเนื่องที่จุด x=a ก็ต่อเมื่อ f′(a) หาค่าได้

ตอบว่า f ฟังก์ชันเป็นต่อเนื่องที่จุด x=a แต่ไม่จำเป็นที่ f′(a) จะต้องหาค่าได้คับ

ตกลง ถูก หรือ ผิด เนี่ย งง เหอๆๆๆ

[Mastermander]

21. อนุกรมเรขาคณิตหาค่าได้ เมื่อ ลิมิต $(n\to\infty)$ เป็นศูนย์เท่านั้น

22. จำนวนจินตภาพที่มีเลขชี้กำลังเป็นจำนวนจินตภาพเป็นจำนวนจินตภาพเสมอ

23. มีจำนวนเชิงซ้อน $z$ ที่ทำให้ $\sin z=2$

24. กำหนด $a\in\mathbb{R}\;,n\in\mathbb{N}$ แล้ว$$ n(1+a+a^2+a^4+...+a^{2n-2})\ge (1+a+a^2+...+a^{n-1})^2$$

25. $x^{x^{x^{...}}}$ Converges, when $x\in[e^{-1/e},e^{1/e}]$

Key

21. False
22. False
23. True
24. True
25. False

[M@gpie]

คุณ Redhotchillipepper ตอบได้ถูกแล้วครับแต่ยังขาดตัวอย่างค้านนะครับ อิอิ

21. อ่านแล้วงงครับ น้อง Mastermander ลิมิตของอะไร??

22. ไม่จำเป็น เช่น $i^i = (e^{i\frac{\pi}{2}})^i = e^{-\frac{\pi}{2}} $

23.(แก้ไข) หาจำนวนเชิงซ้อน ที่ทำให้ $\sin z =2$ ดังนี้
ให้ $z=x+iy, \; \; x,y \in \mathbb{R}$
\[\sin z = \sin (x+iy) = \sin x \cosh y + i\cos x \sinh y = 2 + i0\]
จะได้ว่า $\sin x \cosh y = 2, \cos x \sinh y = 0 $
ตอนแรก แก้สมการผิดนิดหน่อยครับแหะๆ จะได้คำตอบ $z=\frac{(4n+1)\pi}{2} + i(2\pm \sqrt{3})$
คิดว่าถูกต้องแล้วนะคร้าบ

[Mastermander]

21. ขยายความได้ว่า

ให้ $a_n$ เป็นลำดับเรขาคณิต อนุกรมของ $a_n$ หาค่าได้ก็ต่อเมื่อ $\lim_{n\to\infty} a_n=0$

23. ทดลองให้ $$z=\frac{\pi}{2}-i\ln(2+\sqrt3)$$