True - False Marathon

[M@gpie]

26. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{1}{x} \; dx = 0 }$ เนื่องจาก $f(x) = \frac{1}{x}$ เป็นฟังก์ชันคี่

27. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} \frac{x}{1+x^2} \; dx = 0 }$ เนื่องจาก $f(x) = \frac{x}{1+x^2}$ เป็นฟังก์ชันคี่

28. ถ้า $B$ เป็นเซตนับได้ และ $A \subset B$ จะได้ว่า $A$ เป็นเซตนับได้

[Timestopper_STG]

10)ผมลองแบบนี้ได้ไหมครับให้ A,B เป็นเซต
และ B เป็นเซตปกติ(ไม่เป็นสมาชิกของตัวเอง)
ให้ A={x|(xฮB)ฺ(xฯB)}
แบบนี้ได้ว่าAเป็นเซตที่ใหญ่ที่สุดรึเปล่าครับ

[nooonuii]

โอ้ว้าว พระเจ้าช่วย มีคำถามผุดขึ้นมาเป็นดอกเห็ดเลยครับ

19. จริง
พิสูจน์ : สมมติในทางขัดแย้งว่า $e-\pi$ และ $e\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ
ดังนั้น $e^2 + \pi^2 = (e - \pi)^2 + 2e\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ
เราจึงได้ว่า $(e + \pi)^2 = (e^2+\pi^2) + 2e\pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ
ดังนั้น $e+\pi$ เป็นจำนวนเชิงพีชคณิต
เนื่องจาก $e - \pi$ เป็นจำนวนตรรกยะ จึงเป็นจำนวนเชิงพีชคณิตด้วย
เพราะฉะนั้น $\displaystyle{e = \frac{(e-\pi)+(e+\pi)}{2} }$
ก็เป็นจำนวนเชิงพีชคณิตด้วยเนื่องจากเซตของจำนวนเชิงพีชคณิตเป็นสนาม
จึงเกิดข้อขัดแย้งเพราะว่า $e$ เป็นจำนวนอดิศัย

[nooonuii]

เข้ามาเก็บตกต่อครับ

18. เท็จ ข้อความนี้จะจริงถ้าอนุกรมลู่เข้าครับ แต่ตัวอย่างค้านไม่แน่ใจว่าใช้ได้รึเปล่านะครับ กลัวคำนวณพลาด

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{mn}}$ ลู่เข้าหา $\infty$

$\displaystyle{\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{m+1}}{mn}}$ ลู่ออกแบบหาลิมิตไม่ได้

20. เท็จ ตัวอย่างเช่น $f(x)=|x|$ ต่อเนื่องที่ทุกจุด แต่ไม่มีอนุพันธ์ที่ 0

21. จริง ถ้าอนุกรมลู่เข้าแล้วลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์เสมอ ในทางกลับกัน ถ้าลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์จะได้ว่าอัตราส่วนร่วมต้องอยู่ในช่วงเปิด (-1,1) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าด้วย

24. เดาว่าจริง ครับ ที่ยังไม่แน่ใจเพราะว่า มีเทอม $a$ โผล่มาทางด้านซ้ายของอสมการ แต่ถ้าไม่มีเทอมนี้ อสมการจริงโดย Cauchy - Schwarz inequality ครับ

25. ยังไม่แน่ใจคำตอบเหมือนกัน มีบทความเกี่ยวกับเรื่องนี้ตีพิมพ์ในวารสาร American Mathematical Monthly เมื่อไม่นานมานี้ครับ แต่ผมจำรายละเอียดไม่ได้

26. เท็จ ครับ ปกติแล้ว $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}} f(x) dx$ จะหาโดยใช้นิยามของ principal value ซึ่งนิยามโดย
p.v. $\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty}f(x) dx = \lim_{R\to\infty} \int_{-R}^{R} f(x) dx}$
ซึ่งจากข้อนี้จะเห็นว่า $\displaystyle{ \int_{-R}^{R} \frac{1}{x} dx}$ หาค่าไม่ได้ จึงสรุปไม่ได้ว่าค่าอินทิกรัลเป็นศูนย์

27. จริง เนื่องจาก $\displaystyle{\frac{x}{1+x^2}}$ นิยามและ integrable ในช่วง $[-R,R]$ ทุกค่า $R>0$ ดังนั้นอินทิกรัลเป็นศูนย์

28. จริง แต่จำมาใช้อย่างเดียวครับ ลืมวิธีพิสูจน์ไปแล้ว

[nooonuii]

29. เส้นตรงสี่เส้นที่แต่ละคู่ไม่ขนานกัน ตัดกันในระนาบได้ไม่เกิน 5 จุด

30. สมการวงกลมในระนาบที่แตกต่างกัน 4 สมการมีจุดตัดได้ไม่เกิน 8 จุด

31. มีวิธีการสร้างรูปสามเหลี่ยมด้านเท่า 4 รูป โดยใช้ส่วนของเส้นตรงที่มีความยาวเท่ากัน 6 เส้น

32. มีวิธีการเรียงกระถางดอกไม้เป็นแถวจำนวน 5 แถว แถวละ 4 กระถาง โดยใช้กระถางดอกไม้แค่ 10 กระถาง

33. มีวิธีการสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีความยาวด้าน 3 หน่วย ในรูปสามเหลี่ยมด้านเท่าที่มีความยาวด้าน 4 หน่วย

34. ในบรรดารูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวเส้นรอบรูปเท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีพื้นที่มากที่สุด

[Mastermander]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:

21. จริง ถ้าอนุกรมลู่เข้าแล้วลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์เสมอ ในทางกลับกัน ถ้าลิมิตของลำดับลู่เข้าหาศูนย์จะได้ว่าอัตราส่วนร่วมต้องอยู่ในช่วงเปิด (-1,1) ดังนั้นอนุกรมเรขาคณิตลู่เข้าด้วย

ข้อความจากโจทย์ เป็นเท็จนะครับ

[M@gpie]

ข้อ 21. นี่น้อง mastermander ไม่ได้เฉพาะว่ามันเป็นอนุกรมอนันต์ใช่ไหมครับ เพราะฉะนั้น ถ้า finite เทอม ก็หาผลรวมได้เสมอ

ข้อ 26. และ 27. ที่พี่ noonuii ทำ นี่คือมาจาก contour integral รึเปล่าครับ?

ผมไม่แน่ใจเพราะถ้าใช้นิยามของ improper integral นี่ จะได้ว่า

26. เท็จเพราะ $\; \; f(x)=\frac{1}{x}\; \; $ ไม่มีขอบเขตที่ $x=0$ ครับ

27. เท็จเพราะ เราต้องแยกเป็นสอง improper integral คือ
\[ \int_{-\infty}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} dx = \int_{-\infty}^{0}\frac{x}{1+x^2} dx + \int_{0}^{\infty}\frac{x}{1+x^2} dx\]
ซึ่งพบว่า ทางขวามือลู่ออก จึงสรุปได้ว่าทางซ้ายมือลู่ออกด้วย


29. เท็จ เพราะ ตัดกันได้มากสุด $ \left( \begin{array}{rcl} 4\\ 2 \end{array}\right) = 6 $ จุด

30. เท็จ เพราะ ตัดกันได้มากสุด $ 2\cdot \left( \begin{array}{rcl} 4\\ 2 \end{array}\right) = 12 $ จุด

34. ผมได้ว่าเป็นค่าสุดขีด(แต่ยังไม่ได้ทดสอบว่าสูงสุดหรือต่ำสุด) โดย วิธีพิสูจน์ผมใช้ Lagrange Multiplier มีวิธีง่ายๆไหมครับ

[Timestopper_STG]

31.จริงครับ พิจารณาปีรมิดฐานสามเหลี่ยมด้านเท่า
32.จริงครับ พิจารณารูปดาว5แฉก
33.เท็จครับ เพราะสามเหลี่ยมดังกล่าวมีพื้นที่4ึ3ตร.หน่วยแต่สี่เหลี่ยมมีพื้นที่8ตร.หน่วย

[nooonuii]

ข้อ 21 หลงกลครับ ลืมไปว่ายังมีอนุกรมจำกัดด้วยที่ต้องพิจารณา
ข้อ 26 กับ 27 ผมเข้าใจผิดจริงด้วย ค่า principal value จะเท่ากับค่า improper integral ถ้า $f\in L^1(-\infty,\infty)$ ครับ

ข้อ 33 สี่เหลี่ยมมีพื้นที่ 9 ตารางหน่วย ครับ

ข้อ 34 จริง พิสูจน์โดยใช้อสมการ AM - GM ดังนี้
ให้สามเหลี่ยมมีความยาวด้าน $a,b,c$
ให้ $A$ แทนพื่นที่ของสามเหลี่ยม และ $\displaystyle{S=\frac{a+b+c}{2}}$
โดย Heron's Formula จะได้ว่า
$\displaystyle{A =\sqrt{S(S-a)(S-b)(S-c)}} $
โดย AM - GM เราได้ว่า
$\displaystyle{\sqrt[3]{(S-a)(S-b)(S-c)}\leq \frac{(S-a)+(S-b)+(S-c)}{3} = \frac{S}{3}}$
เพราะฉะนั้น $\displaystyle{A\leq\frac{S^2}{3\sqrt{3}}}$
สมการเป็นจริงเมื่อ $S-a=S-b=S-c\Leftrightarrow a=b=c$

ดังนั้นพื้นที่ของสามเหลี่ยมเมื่อกำหนดความยาวเส้นรอบรูปมาให้จะมีค่าสูงสุดก็ต่อเมื่อสามเหลี่ยมนั้นเป็นสามเหลี่ยมด้านเท่า

ในทำนองเดียวกันเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า ในบรรดาสามเหลี่ยมที่มีพื้นที่เท่ากัน สามเหลี่ยมด้านเท่าจะมีความยาวเส้นรอบรูปน้อยที่สุด

[Mastermander]

35.

$$\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < 3$$

36. The equation $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ has infinitely integer solutions.

[nooonuii]

37. ถ้า $0<a<b$ แล้ว $a^a<b^b$

38. ถ้า $0<a<b<1$ แล้ว $a^b<b^a$

39. $|x+y|=|x|+|y|$ ก็ต่อเมื่อ $xy\geq 0$

40. $(x+y+z)^3 > 0 $ ก็ต่อเมื่อ $x^3+y^3+z^3>0$

41. มีจำนวนเฉพาะ $p,q,r$ ที่แตกต่างกันซึ่งทำให้ $\displaystyle{\frac{p}{q}+\frac{q}{r}+\frac{r}{p}}$ เป็นจำนวนเต็ม

42. ถ้า $f,g : \mathbb{R}\to\mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชัน โดยที่ $f\circ g$ และ $g$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องแล้ว $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง

[M@gpie]

ของน้อง mastermanderยากๆทั้งนั้นเลยขอรับ

37. เท็จ ครับ ให้ $0< \frac{1}{4} < \frac{1}{2} \rightarrow 0< (\frac{1}{4})^{\frac{1}{4}} < (\frac{1}{2})^{\frac{1}{2}}$ ซึ่งไม่จริง

39. จริงขอรับ

42. จริง รึเปล่าครับ แต่ขั้นตอนการพิสูจน์ผมยังติดๆขัดๆ แหะๆๆ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
35.$$\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < 3$$

ให้ $x=\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } }$ จะได้ $\displaystyle\ln x=\ln\prod_{n=2}^{\infty} n^{1/2^{n-1}}=\sum_{n=2}^{\infty}\frac{\ln n}{2^{n-1}}$
โดย ratio test จะได้ $\displaystyle\frac{\ln (n+1)/2^n}{\ln n/2^{n-1}}<1$ ผลรวมนี้จึงลู่เข้า แต่ผมยังนึกไม่ออกว่าจะหาผลรวมยังไงครับ

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
36. The equation $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ has infinitely integer solutions.

ผิด เพราะเมื่อ $x,y,z>1$ จะได้ $\sum x^3>\sum x^2$
เมื่อ $0<x,y,z<1$ จะได้ $0<\sum x^3<\sum x^2$
เมื่อ $x,y,z<0$ จะได้ $\sum x^3<0<\sum x^2$
สมการนี้จึงมี $x=y=z=0$ และั $x=y=z=1$ เป็นคำตอบครับ

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
41. มีจำนวนเฉพาะ $p,q,r$ ที่แตกต่างกันซึ่งทำให้ $\displaystyle{\frac{p}{q}+\frac{q}{r}+\frac{r}{p}}$ เป็นจำนวนเต็ม

ผิด เพราะหากสมมติให้มีจำนวนเฉพาะ $p,q,r$ ที่แตกต่างกัน และมีจำนวนเต็ม $s$ ที่ $s=\displaystyle{\frac{p}{q}+\frac{q}{r}+\frac{r}{p}}=\frac{p^2r+q^2p+r^2q}{pqr}$
ดังนั้น $pqrs\equiv0\pmod p$ แต่ $pqrs=p^2r+q^2p+r^2q\equiv r^2q\not\equiv 0\pmod p$

[nooonuii]

ข้อ 36 ผมว่ายังมีกรณีที่ ตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบในขณะที่ที่เหลือเป็นบวก และอีกหลาย combination ทำนองนี้ ด้วยนะครับ ซึ่งกรณีนี้ยากที่จะเดาครับ

ข้อ 42 เท็จครับน้อง Magpie ตัวอย่างไม่ยากด้วยครับ

[nongtum]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
ข้อ 36 ผมว่ายังมีกรณีที่ ตัวใดตัวหนึ่งเป็นลบในขณะที่ที่เหลือเป็นบวก และอีกหลาย combination ทำนองนี้ ด้วยนะครับ ซึ่งกรณีนี้ยากที่จะเดาครับ

ข้อ 42 เท็จครับน้อง Magpie ตัวอย่างไม่ยากด้วยครับ

โอเ้คครับ ข้อสามสิบหกผมตกไปหลายกรณีจริงๆ เดี๋ยวจะลองทดดูอีกที
ส่วนข้อสี่สิบสอง ตัวอย่างฟังก์ชันเช่น $f(x)=\cases{x,&x<-1\\ 0,&\text{else}}$ และ $g(x)=0=f\circ g(x)$