True - False Marathon

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Mastermander

36. The equation $x^2+y^2+z^2=x^3+y^3+z^3$ has infinitely integer solutions.

ในที่สุดก็เจอคำตอบข้อ 36 แล้วครับ ข้อนี้จริง เป็นข้อสอบ Moskov Mathematical Olympiad 1994

ให้ $x= -z$ สมการจะลดรูปเป็น $2x^2+y^2=y^3\Rightarrow 2x^2=y^2(y-1)$

ดังนั้น $\displaystyle{\frac{y-1}{2}=t^2}$ ซึ่งจะได้ $y=2t^2+1,x=t(2t^2+1)$

Edit (warut): quote โจทย์

[M@gpie]

ผมพลาดเองจริงๆด้วยครับ แหะๆ

43. ฟังก์ชัน $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $ ที่นิยามโดย
\[ f = \biggl\{ \begin{array}{ll} 1 &;& x\in \mathbb{Q}\\ 0&;& x\in \mathbb{Q}^c\end{array} \]
เป็นฟังก์ชันที่มีจุดที่ต่อเนื่อง

44. ถ้า $A_1, A_2, ... $ เป็นเซตเปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตเปิด

45. ถ้า $A_1, A_2, ...$ เป็นเซตเปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตเปิด

46. ถ้า $A_1, A_2, ...$ เป็นเซตปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcup_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตปิด

47. ถ้า $A_1, A_2, ...$ เป็นเซตปิด แล้ว ${\displaystyle \bigcap_{n=1}^{\infty}A_n }$ เป็นเซตปิด

[nooonuii]

43. เท็จ ครับ ฟังก์ชันนี้ไม่ต่อเนื่องที่ทุกจุด
พิสูจน์ : ให้ $x\in\mathbb{R}$
กรณี 1: $x$ เป็นจำนวนตรรกยะ
เนื่องจาก $\mathbb{Q}^c$ เป็น dense set ใน $\mathbb{R}$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนอตรรกยะ $x_n\to x$ จะเห็นว่า $f(x)=1$ แต่ $f(x_n)=0, \, \forall n\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $f(x_n)\not\to f(x)$

กรณี 2: $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ
เนื่องจาก $\mathbb{Q}$ เป็น dense set ใน $\mathbb{R}$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนตรรกยะ $x_n\to x$ จะเห็นว่า $f(x)=0$ แต่ $f(x_n)=1, \,\forall n\in\mathbb{N}$ ดังนั้น $f(x_n)\not\to f(x)$

44. จริง ตามสัจพจน์ของ Topology

45. เท็จ $\displaystyle{\bigcap_{n=1}^{\infty}\big( -\frac{1}{n},\frac{1}{n}\big) =\{ 0 \}}$ เป็นเซตปิด

46. เท็จ $\displaystyle{\bigcup_{n=1}^{\infty}\big[ \frac{1}{n+1},\frac{1}{n}\big] =(0,1]}$ ไม่เป็นทั้งเซตเปิดและเซตปิด

47. จริง ตามสัจพจน์ของ Topology

ป.ล. ยังเหลือข้อ 38,40 ครับ

[M@gpie]

แหมม พี่ noonuii นี่ รวดเร็วจริงๆครับ เหมาไปเกือบหมดทีเดียว ต่อเลยนะครับ

ให้ $A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ ที่มีค่าเฉพาะ (eigenvalue) เป็น $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ แล้วจะได้ว่า
48. $ \displaystyle{ \det (A) = \prod_{k=1}^{n} \lambda_i }$

49. เซตค่าเฉพาะของ $A^{-1} = \{ \frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, ..., \frac{1}{\lambda_n} \}$

50. ผลบวกเฉียงของเมทริกซ์ $ \displaystyle{ trace (A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i }$

[Timestopper_STG]

51.ณ โลกแห่งอุดมคติมีลูกบอลลูกนึงลอยนิ่งอยู่กลางอากาศ
หลังจากนั้นไม่นานเกิดระเบิดออกเป็น2ส่วน(ในแนวระดับ)ให้ชื่อว่าส่วนA,B
โดยมีอัตราเร็วหลังระเบิดเป็น$u_A,u_B$ตามลำดับเวลา t
ที่เวกเตอร์ความเร็วของทั้ง2วัตถุจะตั้งฉากกันคือที่$\displaystyle{t=\frac{\sqrt{-u_Au_B}}{g}}$

[Mastermander]

\[ \displaystyle{\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < \sqrt {1+2\sqrt {1+3\sqrt {1+4\sqrt {1+...} } } } = 3} \]

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
แหมม พี่ noonuii นี่ รวดเร็วจริงๆครับ เหมาไปเกือบหมดทีเดียว ต่อเลยนะครับ

ให้ $A \in \mathbb{R}^{n \times n} $ ที่มีค่าเฉพาะ (eigenvalue) เป็น $\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$ แล้วจะได้ว่า
48. $ \displaystyle{ \det (A) = \prod_{k=1}^{n} \lambda_i }$

49. เซตค่าเฉพาะของ $A^{-1} = \{ \frac{1}{\lambda_1}, \frac{1}{\lambda_2}, ..., \frac{1}{\lambda_n} \}$

50. ผลบวกเฉียงของเมทริกซ์ $ \displaystyle{ trace (A) = \sum_{i=1}^{n}\lambda_i }$

จริงทั้งสามข้อครับ
ข้อ 48,50 มอง $A$ ให้เป็น complex matrix เราจะได้ว่ามี invertible matrix $P$ ซึ่งทำให้
$$A=P^{-1}JP$$
เมื่อ $J$ เป็น triangular matrix ที่ main diagonal เป็น eigenvalue ของ $A$ (เราเรียก $J$ ว่า Jordan form ของ $A$)

เนื่องจาก trace($AB$) = trace($BA$) เราจะได้ว่า trace($A$) = trace($J$) = ผลบวกของ eigenvalue ของ $A$

เนื่องจาก determinant เป็น multiplicative function เราจะได้ det($A$) = det($J$) = ผลคูณของ eigenvalue ของ $A$

49. เนื่องจาก $A$ invertible จะได้ว่า det($A$)$\neq 0$ ดังนั้น $0$ ไม่เป็น eigenvalue ของ $A$ ตามข้อ 50
ให้ $v$ เป็น eigenvector ของ $A$ เทียบกับ $\lambda$ จะได้ว่า $Av=\lambda v \Rightarrow \frac{1}{\lambda}v=A^{-1}v$ นั่นคือ $\frac{1}{\lambda}$ เป็น eigenvalue ของ $A^{-1}$

[Mastermander]

จากข้อ 35. เราทราบว่า

$\displaystyle{\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } < 3}$

52.

$\displaystyle{\sqrt {2\sqrt {3\sqrt {4\sqrt {...} } } } > e}$

True or False ?

[nooonuii]

53. มีฟังก์ชันต่อเนื่องจาก [0,1] ไปทั่วถึง $\mathbb{R}$

54. ฟังก์ชันต่อเนื่องที่เป็นฟังก์ชันคาบเป็นฟังก์ชันที่มีขอบเขต

55. มีฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งและทั่วถึงจาก [0,1] ไปยัง $\mathbb{R}$

56. พหุนามที่เป็นฟังก์ชันคี่จะมีศูนย์เป็นรากเสมอ

57. มีฟังก์ชันจาก $\mathbb{R}$ ไป $\mathbb{R}$ ที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่เพียงฟังก์ชันเดียวเท่านั้น

58. ทุกฟังก์ชันจาก $\mathbb{R}$ ไป $\mathbb{R}$ สามารถเขียนเป็นผลบวกของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่เสมอ

59. ถ้า $m > n$ แล้ว $\displaystyle{ n^{m^m}<m^{n^m}<m^{m^n}}$

60. $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^n}<2}$

[Mastermander]

60. $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^n}<2} $

จริง

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ Mastermander:
60. $\displaystyle{\sum_{n=2}^{\infty} \frac{\ln{n}}{2^n}<2} $

จริง

พิสูจน์ ??

[Mastermander]

60. Prove:

Since \[\ln x<x\quad,\forall x\in\mathbb{N}\]
Hence $$ \sum_{n=2}^\infty\frac{\ln n}{2^n}<\sum_{n=2}^\infty\frac{n}{2^n}=\frac32<2 $$

[M@gpie]

ชุดนี้ยากจังครับ จะลองคิดไปเรื่อยๆนะครับ

56. จริง
พหุนามที่เป็นฟังก์ชันคี่ คือ มีเฉพาะพจน์ที่มีเลขชี้กำลังเป็นเลขคี่เท่านั้น มีศูนย์เป็นรากจริง $Q.E.D.$

57. จริง
ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่เป็นทั้งฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ นั่นคือ $\; f(-x)=f(x)\; \;$ และ $\; \; f(-x)=-f(x)$
จะได้ว่า $ 2f(x) = f(-x) + f(-x) = f(x) - f(x) = 0 \Rightarrow f(x)=0$ เป็นฟังก์ชันเดียว $Q.E.D.$

58. จริง
Let $\; \displaystyle{ f(x)= \frac{f(x)-f(-x)}{2} + \frac{f(x)+f(-x)}{2} = f_{odd}(x) + f_{even}(x) }\; $
odd part : $\displaystyle{ f_{odd}(x)=\frac{f(x)-f(-x)}{2}}$ and even part : $\displaystyle{f_{even}(x)=\frac{f(x)+f(-x)}{2}}$
นั่นคือ $f$ ใดๆสามารถเขียนในรูปผลบวกของฟังก์ชันคู่และฟังก์ชันคี่ได้เสมอ


61. ให้ $\; \; a, b \; $ เป็นจำนวนจริงที่มากกว่าศูนย์ แล้วจะได้ว่า
\[ \sqrt{ab} \leq \frac{a+b}{2} \leq \sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\]

62. สำหรับทุก $z\in \mathbb{C}, \; \; \; \mid Re(z) \mid + \mid Im(z) \mid \leq \sqrt{2}\mid z \mid$

63. ให้ $z\in C$ $z$ เป็นจำนวนจริงก็ต่อเมื่อ $z=\bar{z}$

[nooonuii]

61. จริง ทั้งสองอสมการสามารถพิสูจน์โดยใช้ความจริงที่ว่า $(a-b)^2\geq 0$

แถมให้อีกหนึ่งอันครับ $\displaystyle{\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\leq \sqrt{ab}}$
อสมการนี้พิสูจน์โดยการจัดรูปใหม่เป็น $\displaystyle{\sqrt{\frac{1}{a}\cdot\frac{1}{b}}\leq \frac{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}{2}}$
ซึ่งก็คืออสมการ AM-GM ของ $\displaystyle{\frac{1}{a},\frac{1}{b}}$ นั่นเอง

62. จริง ใช้อสมการที่สองในข้อ 61 หรือใช้ Cauchy-Schwarz inequality ก็ได้ครับ

63. จริง พิสูจน์ตรงๆได้ง่ายมาก

Note : ยังเหลือข้อ 38,40,51,52,53,54,55,59

[Mastermander]

62.

Let $z=re^{i\phi}$

Then $|z|=r,\;|\Re(z)|+|\Im(z)|=r(|\cos\phi|+|\sin\phi|)$

$r(|\cos\phi|+|\sin\phi|)\leq \sqrt2 r$

ซึ่งจริงเพราะ $\max(|\cos\phi|+|\sin\phi|)=\sqrt2$