Calculus Marathon (2)

[warut]

ที่ผมไม่เข้าใจที่สุดก็คือว่า ทำไมบรรทัดที่ 2 ต้องใส่เครื่องหมาย absolute ที่ $y$ ด้วยครับ

ส่วนประเด็นที่ว่าผิดผมยังไม่ค่อยเข้าใจครับ ถ้าผมใส่บรรทัด (3.5) ลงไปว่า $$\lim_{x\to\infty} \ln |y|=1$$ อย่างนี้จะถือว่าใช้ได้หรือยังครับ

อีกประเด็นหนึ่งคือ ปกติผมใช้นิยามของ $e$ ว่า $$e=\lim_{x\to\infty} \left( 1+\frac1x \right)^x$$ แสดงว่าในการพิสูจน์นี้ $e$ ต้องนิยามมาจากทางอื่น ซึ่งผมไม่ทราบว่าคุณ M@gpie เลือกใช้นิยามอันไหน ซึ่งทำให้ผมไม่มั่นใจว่าตอนใช้ L'Hospital's Rule มันจะเกิดปัญหาการให้เหตุผลแบบงูกินหางหรือเปล่า

[M@gpie]

ผมยกตัวอย่างไม่ค่อยดี เอาใหม่นะครับ ทีนี้เปลี่ยนฟังก์ชัน จะได้ไม่ขัดแย้งกับนิยาม $e$ ของพี่ warut
เป็น ส่วนปัญหาการใส่ค่าสัมบูรณ์นี่ผมพลาดอีกแล้วครับแต่ว่าก็ไม่มีผลบนช่วง x>0 ครับ ว่าจะแก้แล้วก็ลืม

เอาเป็นว่าดูตัวอย่างนี้ครับ จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{x \rightarrow 0^+}x^x}$
\[ \begin{array}{ccll} \mbox{Let} \; \; y &=& x^x, \; \; \; x>0&...........(1)\mbox{นิยาม y ขึ้นมาก่อนนะครับ} \\
\ln y &=& x\ln x, \; \; \; x>0& ...........(2) \mbox{ในขั้นนี้ใส่ $\ln$ เข้าไปยังไม่มีอะไรนะครับ}\\
\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln y &=& \lim_{x\rightarrow 0^+} x\ln x \; \; \; x>0&...........(3)\mbox{ใส่ลิมิตทั้งสองข้าง}\\
\lim_{x\rightarrow 0^+} \ln y &=& 0 \; \; \; x>0& ...........(4) \mbox{หาค่าลิมิตฝั่งขวามือด้วยกฏของโลปิตาล} \\
\end{array}
\]
ต่อจากนี้ถ้าเราทำการสลับลิมิตเข้าไปในฟังก์ชัน $\ln$ ก็จะได้ว่า \[ \ln(\lim_{x\rightarrow 0^+} y) = 0 \]
ซึ่งตรงจุดนี้เกิดข้อโต้แย้งตรงที่ว่า ยังไม่มีอะไรการันตีได้ว่า $\displaystyle{\lim_{x\rightarrow 0^+}} y$ หาค่าได้ จึงไม่สามารถสรุปได้ว่าจริง
วิธีที่ถูกต้องก็คือ เราสามารถใส่ exponential function เข้าไปทั้งสองข้างได้ \[ e^{\lim_{x\rightarrow 0^+}\ln y} = e^{0} = 1\]
ซึ่งสามารถทำการสลับลิมิต ออกมานอก e ได้ เนื่องจาก $e^x$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง \[ \lim_{x\rightarrow 0^+}e^{\ln y} = 1\]
แต่เราทราบว่า $e^{\ln y} = y$ จึงได้ว่า $\lim_{x\rightarrow 0^+} y $ มีจริง และมีค่าเท่ากับ 1

ในการทำแบบหลังนี้เราไม่ได้ตั้งข้อกำหนดที่ว่า y มีลิมิตไว้ก่อนแต่แสดงได้ว่ามีค่าเท่ากับ 1 นั่นคือ มีลิมิตจริง

ปล. ต้องขออภัยด้วยครับ ข้อเดียวแต่กระทู้ยาวยืด แหะๆๆ

[warut]

อืม...คิดว่าเข้าใจประเด็นของคุณ M@gpie แล้วล่ะ ขอบคุณมากครับ

[M@gpie]

69. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันที่สามารถหาอนุพันธ์ได้บนช่วง $(a,b)$ ถ้า $f'$ มีขอบเขตบนช่วง $(a,b)$ แล้วจะได้ว่า $f$ สอดคล้องกับ Lipschitz condition (กล่าวคือ $\exists K >0, \; \; \mid f(x)-f(y) \mid \leq K \mid x - y\mid, \; \; \forall x,y \in (a,b)$ ) ยิ่งไปกว่านั้นจะได้ด้วยว่าเราจะได้ด้วยว่า $f$ มีความต่อเนื่องแบบสม่ำเสมอ (uniform continuity)

70. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งทุกจำนวนจริง $x,y\in \mathbb{R}$ มีสมบัติ $\mid f(x) - f(y) \mid \leq (x-y)^2$ จงพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันค่าคงที่

[warut]

ข้อความเดิมของคุณ M@gpie:
70. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชัน ซึ่งทุกจำนวนจริง $x,y\in \mathbb{R}$ มีสมบัติ $\mid f(x) - f(y) \mid \leq (x-y)^2$ จงพิสูจน์ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันค่าคงที่

ให้ $y=x+h$, $h\ne0$ ดังนั้น $$\left| \frac{f(x)-f(x+h)}{h} \right| \le |h|$$ ให้ $h\to0$ เราจะได้ว่า $f'(x)=0$ ดังนั้น $f(x)$ เป็น constant function

[nooonuii]

69. ใช้ Mean Value Theorem ครับ ค่า $K$ สามารถเลือกให้เป็นค่าขอบเขตบนของ $|f'(x)|$ และสามารถพิสูจน์ได้ไม่ยากจากเงื่อนไขว่า

Lipschitz Condition $\Rightarrow$ Absolute Continuity $\Rightarrow$ Uniform Continuity

70. ข้อความนี้ยังจริงถ้าเปลี่ยนจาก 2 เป็น $\alpha > 1$ ข้อนี้เคยออกเป็นข้อสอบเข้า โท-เอก ของจุฬาฯ ครับ

Fix $a\in \mathbb{R}$. For any $x\neq a$ we have
$$ \big| \frac{f(x)-f(a)}{x-a} \big| \leq |x-a|^{\alpha - 1}. $$
Letting $x\to a$ we get $|f'(a)| = 0 \Rightarrow f'(a) = 0$
Thus $f$ is constant.

[nooonuii]

71. ให้ $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $\displaystyle{\int_0^r f(x) \, dx = \int_r^1 f(x) \, dx }$ ทุกจำนวนตรรกยะ $r$ ในช่วงปิด [0,1] จงพิสูจน์ว่า $f\equiv 0$

[warut]

ให้ $r,s\in\mathbb Q\cap[0,1]$

จากสมบัติที่โจทย์ให้มา เราจะได้ว่า $$\int_0^s f(x)\,dx-\int_0^r f(x)\,dx=\int_s^1 f(x)\,dx-\int_r^1 f(x)\,dx$$ แสดงว่า $$\int_r^s f(x)\,dx=\int_s^r f(x)\,dx$$ ดังนั้น $$\int_r^s f(x)\,dx=0$$

ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันอื่นนอกจาก zero function ที่มีสมบัติตามต้องการแล้ว เราจะได้ว่ามี $c\in[0,1]$ ที่ทำให้ $f(c)\ne0$ เราแยกพิสูจน์เป็น 2 กรณี

กรณีที่ 1: $f(c)>0$

เนื่องจาก $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง ดังนั้นจะต้องมีช่วงปิด $[a,b]\subseteq[0,1]$ ที่ $a<b$ และ $f(x)>0$ สำหรับทุก $x\in[a,b]$

เนื่อง $\mathbb Q$ dense ใน $\mathbb R$ ดังนั้นจะมี $r,s\in\mathbb Q$ ที่ $a<r<s<b$ และเราจึงได้ว่า $$\int_r^s f(x)\,dx>0$$ จึงเกิดข้อขัดแย้งกับที่เราพิสูจน์ไว้ข้างต้น แสดงว่าในกรณีนี้ไม่มีฟังก์ชันที่มีสมบัติตามต้องการ

กรณีที่ 2: $f(c)<0$

ทำคล้ายๆกับกรณีที่ 1 ครับ และเราจะพบว่าในกรณีนี้ก็ไม่มีฟังก์ชันที่มีสมบัติตามต้องการเช่นกัน

[nooonuii]

ข้อความเดิมของคุณ nooonuii:
71. ให้ $f : [0,1] \to \mathbb{R}$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง โดยที่ $\displaystyle{\int_0^r f(x) \, dx = \int_r^1 f(x) \, dx }$ ทุกจำนวนตรรกยะ $r$ ในช่วงปิด [0,1] จงพิสูจน์ว่า $f\equiv 0$

My Solution : ให้ $\displaystyle{F(x) = \int_{0}^{x} f(x) \, dx}$
จะได้ว่า $F$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องและมีอนุพันธ์ โดยที่ $F(0) = F(1) = 0$
เนื่องจาก

$$\displaystyle{F(r) = \int_{0}^{r} f(x) \, dx = \int_{r}^{1} f(x) \, dx = \int_{0}^{1} f(x) \, dx - \int_{0}^{r} f(x) \, dx = - \int_{0}^{r} f(x) \, dx }$$

เราจะได้ว่า $F(r) = 0$ ทุกจำนวนตรรกยะ $r\in [0,1]$
ให้ $x$ เป็นจำนวนจริงใดๆในช่วงปิด $[0,1]$ เราสามารถสร้างลำดับของจำนวนตรรกยะในช่วงปิด $[0,1]$
ที่ลู่เข้าหา $x$ ได้ สมมติว่าเป็น $r_n\to x$ (จากทฤษฎีความหนาแน่นของจำนวนตรรกยะ) เนื่องจาก $F$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง เราจะได้ว่า $F(r_n)\to F(x) \Rightarrow F(x) = 0$ ดังนั้น $F \equiv 0$ บน [0,1]
โดยทฤษฎีบทหลักมูลแคลคูลัสเราจะได้ว่า $f(x) = F'(x) = 0$ ทุกค่า $x\in (0,1)$
แต่ $f$ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่องเราจึงได้ว่า $f\equiv 0$ บน $[0,1]$

[nooonuii]

72. มีฟังก์ชันต่อเนื่องซึ่งนิยามบนช่วงเปิด $(0,\infty)$ และมีคุณสมบัติว่า
$$\int_{0}^{\infty} [f(x)]^p \, dx < \infty \Leftrightarrow 1< p < 2$$
หรือไม่ ? ถ้ามีจงยกตัวอย่างประกอบ ถ้าไม่มีจงพิสูจน์

73. $\displaystyle{\int_{1}^{\infty} \frac{1}{(\ln{x})^2} \, dx}$ หาค่าได้หรือไม่ ?

[Timestopper_STG]

74.จงหาค่าของ$\displaystyle{\int\limits_0^{\infty}\frac{e^{-t}-2e^{-3t}+e^{-5t}}{t^2}dt}$

[Punk]

72. $f(x)$ given by
\[
f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{x},&x\geq1\\
\frac{1}{\sqrt{x}},&0<x<1
\end{cases}
\]
has the required property.

73. Suppose $f(x):=(\ln x)^{-2}\in L^1$, i.e$.$ the integral $\int_1^\infty f(x)\,dx<\infty$. Consider a sequence of function
\[
f_\varepsilon(x)=\frac{1}{(\ln x+\varepsilon)^2},\qquad0<\varepsilon<1.
\]
We have $f_\varepsilon(x)\to f(x)$ for all $x\in\mathbb{R}$, as $\varepsilon\to0$. By Lebesgue dominated convergence theorem, we get
\[
\lim_{\varepsilon\to0}\int f_\varepsilon(x)\,dx=\int f(x)\,dx<\infty.
\]
But it's easy to check that $\displaystyle\int f_\varepsilon(x)\,dx\geq\int_1^\infty\frac{1}{(x-1+\varepsilon)^2}\,dx=\frac{1}{\varepsilon}$. This gives a contradiction, hence the integral is infinite.

[Punk]

75. Suppose $u(x), G(x)$ are smooth functions (i.e$.$ they can be differentiated arbitrary number of times). Show that if
\[
u'(x)\leq G(x)u(x)\qquad\text{for all $x>0$},
\]
and $u(0)=0$, then $u(x)\leq0$ for all $x>0$.

[Mastermander]

76. Evaluate $$\int_0^\pi \frac{dx}{e^{2x}+e^{2\pi}}$$

[Punk]

75. Put $H(x)=\exp(-\int_0^xG(t)dt)$. Mutiplying the inequality with $H(x)$ and noticing that $H>0$, we get
\[
\frac{d}{dx}(u(x)H(x))\leq0\Longrightarrow u(x)H(x)-u(0)H(0)=\int_0^1\frac{d}{dt}(u(t)H(t))dt\leq0,
\]
by the fundamental theorem of calculus. Thus $u(x)\leq H^{-1}(x)u(0)H(0)=0$ as needed.