มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2

[polsk133]

ค่าย3เมษาปี2557

http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?p=169999#post169999
ค่าย2มีนาปี2557 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=20651
ค่าย1ตุลาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=20064

ภาพคลิก

ค่าย3เมษาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=18972
ค่าย2มีนาปี2556 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=18902
ค่าย1ตุลาปี2555 http://www.mathcenter.net/forum/showthread.php?t=17530

ค่าย3 ปี 2555 โดยคุณ Coke

http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495
http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495
http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495
http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495
http://www.mathcenter.net/forum/atta...1&d=1334993495

ค่าย2 ปี 2555

NT

1. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะซึ่ง $p \not\equiv 3 (mod 4)$ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม $a,b$ ที่ทำให้ $a^2+b^2\equiv 0 (mod p)$ โดยที่ $p \nmid aและ b$ พร้อมยกตัวอย่างให้เห็นจริง
2. ให้ $a,b\in N$ ซึ่ง $(a,b)=1$ จงหาคำตอบของสมภาค
$$(a+b)x \equiv a^2+b^2 (mod ab)$$
3. สำหรับจำนวนเต็มบวกคี่ $n>2$ จงแสดงว่าไม่มีจำนวนเต็มบวก $x$ ที่สอดคล้องกับ
$$x^n+(x+1)^n=(x+2)^n$$
4. ให้ $n$ เป็นจำนวนเต็มบวก จงหาเศษที่เกิดจากการหาร
$$\sum_{i = 0}^{99} (n+i)^6+2^{2^{2558}}+1 ด้วย 100$$
5. จงหาจำนวนเต็มบวก $m,n$ ซึ่ง $m>n$ และ $m+n$ มีค่าน้อยสุด ที่ทำให้
$$1234^m\equiv 1234^n (mod 1000)$$

AL

1. ให้ $z_1,z_2$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนซึ่ง $z_1^2-4z_2=12+16i$ และกำหนดให้ $a,b$ เป็นรากของสมการ
$x^2+z_1x+z_2+m=0$ สำหรับบางจำนวนเชิงซ้อน $m$ และ $|a-b|=2\sqrt7$ แล้วจงหาค่าสูงสุดของ $|m|$

2.จงพิสูจน์ว่า

2.1 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z,w$ ใดๆ
$|z+w|^2+|z-w|^2=2|z|^2+2|w|^2$

2.2 สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,...,z_n$ ใดๆ และ จำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากกว่า $1$
ถ้า $|z_1\pm z_2\pm z_3\pm...\pm z_n|\leqslant |w_1\pm w_2\pm w_3\pm ...\pm w_n|$
แล้ว $|z_1|^2+|z_2|^2+...+|z_n|^2\leqslant |w_1|^2+|w_2|^2+...+|w_n|^2$

3.จงหาค่า $p$ ที่ทำให้ สมการ $5x^3-5(p-1)x^2+(71p-1)x-(66p-1)=0$ มีรากเป็นจำนวนเต็มบวกสามราก

4.จงหาจำนวนตรรกยะบวก $x,y,z$ ทั้งหมดที่ทำให้ $x+y+z,xyz,\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}$ เป็นจำนวนเต็ม

FE

1. 1.1 จงหาฟังก์ชันทางเดียว (Strictly monotone) $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$f(x+f(y))=f(x)+y$ สำหรับทุก $x,y \in R$

1.2 จงแสดงว่าสำหรับจำนวนเต็มบวก $n>1$ ไม่มีฟังก์ชันทางเดียว $f:R\rightarrow R$ ซึ่งสอดคล้อง
$f(x+f(y))=f(x)+y^n$ สำหรับทุก $x,y \in R$

2.จงหาฟังก์ชัน $f: (1,\infty )\rightarrow R$ ทั้งหมดที่สอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$f(x)-f(y)=(y-x)f(xy)$ สำหรับทุก $x,y>1$ โดนที่กำหนดให้ $f(2)=2555$

3. จงหาฟังก์ชัน $f:R\rightarrow R$ ทั้งหมดซึ่งเซต $\{\frac{f(x)}{x} | x \in R,x\not= 0\}$ เป็นเซตจำกัดและสอดคล้องกับสมการเชิงฟังก์ชัน
$f(x-1-f(x))=f(x)-x-1$

4.ให้ f(x,y) เป็นฟังก์ชันที่สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $x$ และ $y$
$(i) f(0,y)=y+1$
$(ii) f(x+1,0)=f(x,1)$
$(iii) f(x+1,y+1)=f(x,f(x+1,y))$
จงหาค่า $f(3,2012)$ และ $f(3,y)$ เมื่อ y เป็นจำนวนเต็มบวก

5. ให้ $f$ เป็นฟังก์ชันค่าจริง นิยามโดยสำหรับทุกจำนวนจริง $x$ มีบางจำนวนจริงบวก $a$ ที่ทำให้
$$f(x+a)=\frac{1}{2}+\sqrt{f(x)-[f(x)]^2}$$
5.1จงแสดงว่า $\frac{1}{2}\leqslant f(x)\leqslant 1$
5.2 จงแสดงว่ามีบางจำนวนจริงบวก $b$ ที่ทำให้ $f(x+b)=f(x)$ ทุก $x\in R$

ค่าย3โดยคุณ PP_nine

ปี 2553

algebra

1. ให้ $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}$ ซึ่ง $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$ และ $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$

จงแสดงว่ามีผลคูณของ 2 จำนวนต่างกันใน $x_1,x_2,...,x_n$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $-\dfrac{1}{n}$



2. กำหนด $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ เป็นพหุนามเหนือจำนวนจริงและ $a_0,a_n \not= 0$

สำหรับ $x \in \mathbb{R}$ ได้ว่า $f(x) \cdot f(2x^2) = f(2x^3+x)$ พิสูจน์ว่า $f$ ไม่มีรากจริง



3. ให้ $a_0,a_1,a_2,...$ เป็นลำดับเพิ่มของจำนวนเต็มบวก (ผมว่าโจทย์ผิด น่าจะเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบมากกว่า)

ซึ่งสำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ติดลบจะสามารถเขียนได้ในรูปของ $a_i+2a_j+4a_k$ สำหรับบาง $i,j,k$ ที่ไม่จำเป็นต้องต่างกัน

จงหาค่าของ $a_{14}$

ie & fe

1. จงหาจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้อสมการ $$16x^2+16y^2+\frac{1}{32} \ge x+y-axy$$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $|x|=|y|$



2. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $x_1,x_2,...,x_n$ ซึ่ง $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}=n$

จงแสดงว่า $$x_1x_2^2x_3^3 \cdots x_n^n \ge \Big[ \frac{3}{2} \cdot \frac{n+1}{2n+1} \Big] ^{\frac{n(n+1)}{2}}$$



3. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b,c$ ซึ่ง $abc=1$

จงแสดงว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{1+a^3} \cdot \sqrt{1+b^3}} \ge \frac{4}{3}$$



4. กำหนด $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องอสมการ $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + |x-y|$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ แล้ว จงแสดงว่า $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + 2^n|x-y|$$ ทุกจำนวนนับ $n$ พร้อมทั้งหา $f$ ทั้งหมด



5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้

(i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$

(ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$

(iii) $f(9999)=3333$

จงหาค่าของ $f(2010)$



6. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$f(x-f(y))=f(f(y))+2f(y)+f(x)-2$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$

number theory

1. จงเติมคำตอบต่อไปนี้

1.1) $ord_52=?$

1.2) $ord_{13}2=?$

1.3) $ord_{10}3=?$

1.4) $ord_{11}3=?$

1.5) $ord_{17}2=?$

1.6) $ord_{25}9=?$

1.7) สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ แล้ว $ord_p(p-1)=?$

1.8) ให้ $a \in \mathbb{Z}_n^*$ ซึ่ง $ord_na=h$ ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $k|h$ แล้ว $ord_na^k=?$

1.9) จงเขียนเซต $\{ a \in \mathbb{Z}_n^*\, :\, ord_{25}a=10 \}$ แบบแจกแจงสมาชิก

1.10) ให้ $a,b \in \mathbb{Z}$ ที่ $(a,100)=(b,100)=1$ และ $ord_{100}a=4$ และ $ord_{100}b=10$ แล้ว $ord_{100}ab=?$



2. จงแสดงว่าทุก $a \in \mathbb{Z}_{63}^*$ แล้ว $ord_{63}a < \phi (63)$



3. ให้ $a,b \in \mathbb{Z}_n^*$ จงแสดงวิธีเขียน $ord_na \cdot _n b$ ในรูปของ $ord_na$ และ $ord_nb$



4. สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$ ให้ $n=p^3$ จงแสดงว่ามี $a \in \mathbb{Z}_n^*$ หรือไม่ซึ่ง $ord_na= \phi (n)$

combinatorics

1. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้ว 4 สี สีละ 100 ลูก ถ้าหยิบลูกแก้วจากถุงนาทีละลูก

จะต้องใช้เวลาอย่างน้อยเท่าใดจึงจะมั่นใจว่าลูกที่หยิบออกมาแล้วมีกลุ่มที่เป็นสีเดียวกัน 1 โหล



2. สมชายมีหนังสือเลข 7 เล่มต่างกัน สมศรีมีหนังสือดาราศาสตร์ 5 เล่มต่างกัน ทั้งสองจะแลกกันอ่านหนังสือเล่มต่อเล่ม

จะมีวิธีแลกหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหลังจากแลกแล้วยังมีจำนวนหนังสือของแต่ละคนเท่าเดิม



3. นักเรียนทีมหนึ่งมี 3 คน มีโจทย์ปัญหา 5 ข้อ แต่ละข้อถูกทำโดยเพียงคนเดียว และทุกคนต้องทำอย่างน้อย 1 ข้อ

นักเรียนทีมนี้จะสามารถแบ่งโจทย์กันทำได้กี่วิธี



4. เกมหอคอยฮานอยมี 3 เสากับแผ่นไม้ 10 แผ่นขนาดรัศมีต่างกัน จะเรียงได้กี่วิธี



5. ให้ $n=2^{17} \cdot 3^8$ จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k|n^2$ ในขณะที่ $k \nmid n$



6. หาจำนวนลำดับเทอร์นารีที่มีความยาว 6 และผลบวกทุกพจน์เป็นจำนวนคู่



7. หาจำนวนผลเฉลยสมการ $$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$ เมื่อ $x_1,x_2,x_3 >0$ และ $0< x_4 \le 25$



8. ในเซต $\{ 1,2,3,...,200 \}$ มีกี่จำนวนที่ปราศจากกำลังสอง และห้ามใช้วิธีการแจกแจงกรณี



9. หาจำนวนวิธีเลือกช่องในตาราง $8 \times 8$ อย่างน้อย 1 ช่องโดยไม่มีช่องใดที่เลือกอยู่ในแถวและหลักเดียวกัน

และไม่มีช่องใดอยู่ทางซ้ายและใต้ของบางช่องที่ถูกเลือก



10. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จงพิสูจน์โดยให้เหตุผลเชิงคอมบินาคอริคส์ว่า $$\frac{1}{2} \binom{2n+2}{n+1} = \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n-1}$$

geometry

part1 - calculate

1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12

จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบ



2. สามเหลี่ยม ABC มีจุด X บน AB ที่ทำให้ $AX:XB=3:5$ ลาก XY//BC ตัด AC ที่ Y

ต่อ BY และลาก XZ//BY ตัด AC ที่ Z แล้ว จงหาอัตราส่วน [BYZX]:[ABC]



3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในครึ่งวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต่อ AD และ BC ไปตัดกันที่ E

ต่อ AC,BD ตัดกันที่ F และต่อ EF ตัด AB ที่ G และตัดเส้นรอบวงที่ H

ถ้า GF=4 และ EF=5 แล้วจงหาความยาว GH



4. สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC เป็นสองเท่าของมุม ABC วงกลม O แนบนอกตรงข้ามมุม A

ต่อ AO ตัด BC ที่ P ถ้า AP=3 และ AB=5 แล้วจงหาความยาวด้าน AO



5. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง แส้นทะแยงมุม AC ตัดตั้งฉาก BD ที่ E

ถ้า AC=14, BD=16, OE=7 แล้วจงหาค่าของ $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$



6. วงกลม O มี XOY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด AB แบ่งครึ่งและตั้งฉาก XO

วาดวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและตัด OY ที่ P ต่อ AP, BP ออกไปตัดเส้นรอบวงกลม O ที่ C, D ตามลำดับ

ถ้า BC=8 แล้วจงหาความยาว AB



7. วงกลมสองวงตัดกันที่ X,Y ต่างกัน เส้นสัมผัสร่าวมด้านจุด X สัมผัสวงกลมทั้งสองที่ A, B ตามลำดับ

ต่อ AX ตัดวงกลมอีกวงที่จุด D ต่อ DY ตัดวงกลมอีกวงที่จุด E และต่อ EX

ถ้ามุม AXB=130$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม AXE



8. จุด I, O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน, ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ต่อ AI, BI, CI, BO

ถ้ามุม AIC=125$^{\circ}$ และ IBO=10$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม BIC



9. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB=18, BC=24, CA=30 ตามลำดับ แล้ว จงหาอัตราส่วน [ABC]:[IOG]

(I=incenter, O=circumcenter, G=centroid)



10. สามเหลี่ยม ABC มีจุด P, Q, R บนด้าน BC, CA, AB ที่ทำให้ BP:PC=CQ:QA=AR:RB=1:3

ต่อ AP, BQ, CR ตัดกันที่ X, Y, Z ตามลำดับ จงหาอัตราส่วน [XYZ]:[ABC]



part2 - prove

1. สามเหลี่ยม ABC มี I เป้น incenter ต่อ AI ตัด BC ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า (AB+AC):BC=AI:IX



2. สามเหลี่ยม ABC มีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC, CA, AB ที่ X, Y, Z ตามลำดับ

ถ้า XY=XZ แล้วพิสูจน์ว่า AC$\cdot$XY$^2$ = 2AZ$\cdot$CX$^2$



3. สี่เหลี่ยมใดๆที่มีวงกลมแนบในและนอก ลากเส้นจากจุดสัมผัสวงกลมแนบในซึ่งอยู่ตรงข้ามกันแต่ละคู่

พิสูจน์ว่าสองเส้นนั้นตัดตั้งฉากกัน



4. สามเหลี่ยม ABC มุมแหลม มีวงกลมล้อมรอบรัศมี R และ AD, BE, CF เป็นเส้นตั้งฉากจากมุม A, B, C ตามลำดับ

พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมพีเดล DEF เท่ากับ $R(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$



5. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มี AC, BD เป็นเส้นทะแยงมุม ถ้า AC$\cdot$BD=AB$\cdot$CD+AD$\cdot$BC แล้วพิสูจน์ว่า ABCD concyclic

(บทกลับ Ptolemy's theorem)



6. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม AM, BN เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ A, B ตามลำดับ

ให้ X เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ X ต่อออกไปตัด AM, BN ที่ C, D ตามลำดับ

พิสูจน์ AB$^2$=4CX$\cdot$XD



7. ให้ ABC เป้นสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O ถ้าคอร์ด AD ตั้งฉากกับ BC และคอร์ด BE ตั้งฉากกับ AC

ต่อ CD, CE, DE แล้วพิสูจน์ว่า CDE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ปี 2554

ie & fe

1. $a,b,c>0$ และ $abc=1$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^2(b+c)}{b \sqrt{b} + 2c \sqrt{c}} \ge 2$$



2. กำหนด $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้

(i) $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0, \infty )$

(ii) $f(x)>-\frac{1}{x}$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ

(iii) $f(x) \cdot f \Big( f(x)+\dfrac{1}{x} \Big) = 1$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ

จงหาค่าของ $f(1)$ พร้อมยกตัวอย่างฟังก์ชันที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว

combinatorics

1. ถุงหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง, เขียว, ขาว, ดำอย่างละ 10 ลูก แต่ละสีมีหมายเลข 1-10 ติดอยู่

จงหาจำนวนวิธีสุ่มหยิบลูกปิงปองแล้วลูกหนึ่งเป็นสีแดง และอีกลูกหนึ่งไม่ติดหมายเลข 9



2. ให้ $S=\{ a,b,c,d,e \}$ และ $X,Y,Z \subseteq S$

จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $T=\{ (X,Y,Z)\, :\, X \cap Y \cap Z = \phi$ และ $X \cup Y \cup Z=S \}$



3. จำนวนเต็มบวกสามหลักซึ่งหารด้วย 2,3,4,5 ได้ลงตัวมีกี่จำนวน



4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 10 และ $S = \{ (a,b,c)\, :\, 20|a \cdot b \cdot c\}$

จงหาจำนวนสมาชิกในเซต S



5. จงหาจำนวนวิธีจัดเรียง 555554444333221 โดยที่ "3 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" และ "2 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" เช่นกัน



6. ให้ $a,b,m,n$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $(m,n)=1$ จงแสดงว่าต้องมีจำนวนเต็ม x ซึ่ง

$x \equiv a \pmod{m}$ และ $x \equiv b \pmod{n}$

ค่าย1,2554

ค่าย2,2554

ค่าย1,2553

ค่าย2,2549

ค่าย1,2549

ค่าย2,2548

ค่าย1,2548

ค่าย1,2547

ค่าย1,2546

ค่าย1,2545

ค่าย1,2544

ปล.รบกวน โพสเลขข้อ ชื่อวิชา ปีที่ ค่ายที่

เป็นไฟล์ภาพ http://www.mediafire.com/?pdy2v7895gfkqoc

ใครมีข้อสอบค่าย เมษา ขอหน่อยนะครับ

[จูกัดเหลียง]

"ค่าย 1 ปี 2549"

1.ก.$a,b\ge 0$ Prove $$a^3(b+1)+b^3(a+1)\ge a^2(b+b^2)+b^2(a+a^2)$$

$a^3+b^3\ge ab(a+b)\leftrightarrow (a+b)(a-b)^2\ge 0$
$a^3b+b^3a\ge 2a^2b^2\leftrightarrow ab(a-b)^2\ge 0$

1.ข.$ a,b,c>0,S=\sqrt{3a+1}+\sqrt{3b+1}+\sqrt{3c+1},a+b+c=1$ find max$S$

Cauchy's $$\sum_{cyc} \sqrt{3a+1}\le\sqrt{3}{3(a+b+c)+3}=3\sqrt{2}$$
สมการเกิดเมื่อ $a=b=c=1/3$

2.ก.$a,b,c,d>0 ,a+b+c+d=1$ Prove $$\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge \frac{1}{2}$$

Cauchy's $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{a+b}\ge \frac{(a+b+c+d)^2}{2(a+b+c+d)}=\frac{1}{2}$$

2.ข.$a,b,c>0$ $abc=1$ Prove $$\Big(1+\frac{a}{b}\Big)\Big(1+\frac{b}{c}\Big)\Big(1+\frac{c}{a}\Big)\ge 2(1+a+b+c)$$

$$\Big(1+\frac{a}{b}\Big)\Big(1+\frac{b}{c}\Big)\Big(1+\frac{c}{a}\Big)=(a+b)(b+c)(c+a)=(a+b+c)(ab+bc+ca)-1$$
จึงเหลือพิสูจน์ว่า $(a+b+c)(ab+bc+ca)-1\ge 2+2(a+b+c)\leftrightarrow (a+b+c)(ab+bc+ca-2)\ge 3$
เเละ $a+b+c\ge 3abc=3$
$ab+bc+ca\ge 3\sqrt{a^2b^2c^2}=3\leftrightarrow ab+bc+ca-2\ge 1$

4.$a,b,c,d>0$ Prove $$\frac{a^3+b^3+c^3}{a+b+c}+\frac{b^3+c^3+d^3}{b+c+d}+\frac{c^3+d^3+a^3}{c+d+a}+\frac{d^3+a^3+b^3}{d+a+b}\ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$$

Cauchy's $$\sum_{cyc} \Big(\frac{a^4}{a^2+ab+ac}+\frac{b^4}{ab+b^2+bc}+\frac{c^4}{ac+bc+c^2}\Big)\ge \sum_{cyc} \frac{(a^2+b^2+c^2)^2}{(a+b+c)^2}\ge \frac{1}{3}\sum_{cyc} (a^2+b^2+c^2)$$
ซึ่ง $a^2+b^2+c^2+d^2\ge \frac{1}{4}(a+b+c+d)^2$ ทำให้อสมการเป็นจริงเมื่อ $a=b=c=d$

[จูกัดเหลียง]

ค่าย 2 2549 อสมการ

ข้อ 3.$x_i>0$ and $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+...+\frac{1}{x_n}=n$
find min $$x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^n}{n}$$

we know $x_1x_2...x_n\ge 1$ from condition
Use Weight AM.-GM. $$x_1+\frac{x_2^2}{2}+\frac{x_3^3}{3}+...+\frac{x_n^n}{n}\ge \Big(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\Big)\sqrt[1+1/2+1/3+...+1/n]{x_1x_2...x_n}\ge 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}$$

ข้อ 4. ให้ $a,b,c>0$ จงเเสดงว่า $$\frac{4ab}{a+b+2c}+\frac{4bc}{b+c+2a}+\frac{4ca}{c+a+2b}\le a+b+c$$

โดย Homogeneous assume $abc=1$ เเละ $a+b+c\ge 3\sqrt[3]{abc}=3$
จึงเหลือเเค่พิสูจน์ว่า $$\frac{1}{a(3+a)}+\frac{1}{b(3+b)}+\frac{1}{c(3+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$
ให้ $f(x)=4/x(3+x)$ เป็นฟังก์ชัน(concaveด้วย) ดังนั้น $$\sum_{cyc} f(x)=\sum_{cyc} \frac{1}{a(3+a)}\le 3f\Big(\frac{x+y+z}{3}\Big)=\frac{27}{a+b+c+(9+a+b+c)}\le \frac{a+b+c}{4}$$

6.$a,b,c,x,y,z>0$ Prove $$\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\ge \frac{(a+b+c)^3}{3(x+y+z)}$$

Holder $$\Big(\frac{a^3}{x}+\frac{b^3}{y}+\frac{c^3}{z}\Big)(x+y+z)(1+1+1)\ge (a+b+c)^3$$

[BLACK-Dragon]

ข้อ 4 ลองมอง

$\dfrac{4}{a+c+b+c} \leq \dfrac{1}{c+a}+\dfrac{1}{b+c}$

[จูกัดเหลียง]

#4ยังไงเหรอครับ

2.$a,b,c>0$ Prove $$abc[\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}]\le 1$$

Homogeneuos assume that $abc=1$ เหลือพิสูจน์ว่า $$\frac{a^3+b^3}{a^3+b^3+1}+\frac{b^3+c^3}{b^3+c^3+1}+\frac{c^3+a^3}{c^3+a^3+1}\ge 2$$
เเต่ $$\frac{a^3+b^3}{a^3+b^3+1}\ge \frac{a+b}{a+b+c}\leftrightarrow (a^3+b^3)(a+b+c)\ge (a+b)(a^3+b^3+1)\leftrightarrow (a\sqrt{c}-b\sqrt{c})^2\ge 0$$

[polsk133]

Homogeneuos assume that abc=1 คืออะไรหรอครับ

[จูกัดเหลียง]

ก็อสมการมัน Homogeneuos อ่ะครับ(เห็นฝรั่งเค้าเรียกอย่างนี้ครับ 555) เราเลยสมมุติให้ $abc=1,a+b+c=3,a^2+b^2+c^2=3$ เเล้วเเต่จะเลือกเลยครับ
โดยมีเงื่อนไขว่า เวลาเเทน $a$ ให้เป็น $k$ เท่าเเล้วอสมการไม่เปลี่ยนเเปลงครับ

NT ข้อ 3. ค่าย 2,2548 จงหา $r$ ที่น้อยที่สุดที่ $$2^{100}+100!\equiv r\pmod {4080}$$

พิจารณาจากที่ $$r\equiv 2^{100}+100!\equiv 1\pmod 5$$
$$r\equiv 2^{100}+100!\equiv 0\pmod {16}$$
$$t\equiv 2^{100}+100!\equiv 1\pmod {41}$$
เพิ่งเรียน CRT มาจาก น้อง Black-Dragon ครับ 555 ได้ว่า $r=2416$ ( not sure )

[BLACK-Dragon]

#5

$\dfrac{4ab}{a+c+b+c} \leq \dfrac{ab}{c+a}+\dfrac{ab}{b+c}$

$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{4ab}{a+b+2c} \leq a+b+c$

[จูกัดเหลียง]

Combi 2554 ช่วยเช็คทีครับ ผมไม่ค่อยมั่นใจ
1.$31^2$
2.$5\times 10!$
3.$\binom {36}{3}-\binom {22}{3}$

Combi 2549 ค่าย 1
1.ก.$2^n-1$
ข.$$\sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{1}\binom{n}{2}...\binom{n-k}{1}$$
ค.$$\binom{n}{1}\sum_{k=2}^n\binom{n}{k}+\binom{n}{2}\sum_{k=3}^n\binom{n}{k}+...+\binom{n}{n-1}\binom{n}{n}$$
2.$3!\binom{6}{2}$
3.$\binom{19}{3}$
ปล.#8 สวยดีครับ

[polsk133]

คอมบิข้อ1 ปี 2544 จาก
$(10^{40},20^{30})=5^{30}2^{40}$

ได้ 31x41 ตัวอะครับ

ข้อ 2

วางเลข 1 ก่อนได้ 1 วิธี

วาง 0 ได้ 11x10x9x8x7 แต่ มันเหมือนกันเลยต้องหารด้วย 5! ได้$\binom{11}{5} $

[BLACK-Dragon]

ข้อ 3 เรขาคณิตค่าย 2

ใครได้ว่ามันแบ่งครึ่งบ้างครับ ผมได้มันแบ่งครึ่งหมดเลย

[polsk133]

เพิ่ม ค่าย1,2554




ค่าย2,2554




ค่าย1,2553 แล้วนะครับ

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

เพิ่ม ค่าย1,2554




ค่าย2,2554




ค่าย1,2553 แล้วนะครับ

ขอบคุณมากๆครับ

เขาแจกกลับหรอครับ

[polsk133]

สอบเสร็จก็เอาออกมาได้หมดเลยครับ ส่วนของปีเก่าๆต้องซื้อเอาครับ

(ผมเข้าปีนี้ปีแรกเอง)

[จูกัดเหลียง]

ขี้เกียจเรียงข้อเเล้วครับ 555

1.$p\not=q\in \mathbb{P}$ Prove $2^{pq}\not\equiv 1\pmod p$

assume $2^{pq}\equiv 1 \pmod p\rightarrow 2^{pq} \equiv 1 \pmod p$
$(p,q)=1$ by FLT then $2^{q-1}\equiv 1\pmod p\rightarrow 2^pq\equiv 2^p\equiv 2\pmod p$ then contradiction

2.$n\in\mathbb{N}$ หาเศษจากการหาร $\sum_{i=0}^{100} (n+i)^{101}+2^{2^{2553}}+2(98)!$ ด้วย $101$

ข้อนี้ผมได้ว่าลงตัวอ่ะ
จาก $f(x^p)\equiv f(x)^p\pmod p$ ให้ $f(n)=n+i$
ดังนั้น $$\sum_{i=0}^{100} (n+i)^{101}\equiv \sum_{i=0}^{100}( n^{101}+i)\equiv 0\pmod 101$$
เเละ $2^{2^{2553}}\equiv 1\pmod {101}$ กับ $2(p-3)!\equiv -1\pmod {p}\rightarrow 2(98)!\equiv -1\pmod p$

3.$n_1,n_2n_3\in\mathbb{N}$ and $a_1,a_2,a_3\in\mathbb{Z}$ Prove
$x\equiv a_1\pmod {n_1}$
$x\equiv a_2\pmod {n_2}$
$x\equiv a_3\pmod {n_3}$
มีคำตอบห็ต่อเมื่อ $(n_i,n_j)|(a_i-a_j)$ สำหรับ $i=1,2,3$

assume สมภาค ได้ว่า $n_1k_1=x-a_1$ $n_2k_2=x-a_2$
ลบกันจะได้ว่า $n_1(-k_1)+n_2(k_2)=a_1-a_2$ ดังนั้น $d|{n_1(-k_1)+n_2(k_2)=a_1-a_2}$
assume $(n_i,n_j)|(a_i-a_j)$ โดยทฤษฎีที่ว่า $ax\equiv b\pmod m$ มีคำตอบ เมื่อ $(a,m)|b$

4.จงหา $(3^{n!+2}-3,3^{n!+2}-3)$

จาก $(a^m-1,a^n-1)=a^{(m,n)}-1$
เห็นได้ชัดว่า $3|d$ เเละ $(n!+1,(n+1)!+1)=1$ $\therefore (3^{n!+2}-3,3^{n!+2}-3)=(3^{1}-1)3=6$

5.$p\in\mathbb{P}$ จงหา $p$ ที่ทำให้ $5^p+4p^4=k^2$ สำหรับบางค่า $k\in\mathbb{I}$

ข้อนี้ผมได้ว่ามันไม่มีอ่ะครับ - -


ปล.ขนาดค่ายเเรกก็เก่งขนาดนี้เเล้วครับ ผมเข้ามาครั้งที่ 2 เเล้วยังไม่เก่งเลย