มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2

[PP_nine]

ข้อสอบค่าย 3 ผมมีบางส่วนนะครับ

ปี 2553

algebra

1. ให้ $x_1,x_2,...,x_n \in \mathbb{R}$ ซึ่ง $x_1+x_2+\cdots+x_n=0$ และ $x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2=1$

จงแสดงว่ามีผลคูณของ 2 จำนวนต่างกันใน $x_1,x_2,...,x_n$ ที่น้อยกว่าหรือเท่ากับ $-\dfrac{1}{n}$



2. กำหนด $f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n$ เป็นพหุนามเหนือจำนวนจริงและ $a_0,a_n \not= 0$

สำหรับ $x \in \mathbb{R}$ ได้ว่า $f(x) \cdot f(2x^2) = f(2x^3+x)$ พิสูจน์ว่า $f$ ไม่มีรากจริง



3. ให้ $a_0,a_1,a_2,...$ เป็นลำดับเพิ่มของจำนวนเต็มบวก (ผมว่าโจทย์ผิด น่าจะเป็นจำนวนเต็มไม่ติดลบมากกว่า)

ซึ่งสำหรับทุกจำนวนเต็มไม่ติดลบจะสามารถเขียนได้ในรูปของ $a_i+2a_j+4a_k$ สำหรับบาง $i,j,k$ ที่ไม่จำเป็นต้องต่างกัน

จงหาค่าของ $a_{14}$

ie & fe

1. จงหาจำนวนจริง $a$ ที่ทำให้อสมการ $$16x^2+16y^2+\frac{1}{32} \ge x+y-axy$$ เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ ซึ่ง $|x|=|y|$



2. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $x_1,x_2,...,x_n$ ซึ่ง $\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots+\frac{1}{x_n}=n$

จงแสดงว่า $$x_1x_2^2x_3^3 \cdots x_n^n \ge \Big[ \frac{3}{2} \cdot \frac{n+1}{2n+1} \Big] ^{\frac{n(n+1)}{2}}$$



3. (shortlist tmo 6) สำหรับจำนวนจริงบวก $a,b,c$ ซึ่ง $abc=1$

จงแสดงว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^2}{\sqrt{1+a^3} \cdot \sqrt{1+b^3}} \ge \frac{4}{3}$$



4. กำหนด $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องอสมการ $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + |x-y|$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$ แล้ว จงแสดงว่า $$\frac{f(x)+f(y)}{2} \ge f \Big( \frac{x+y}{2} \Big) + 2^n|x-y|$$ ทุกจำนวนนับ $n$ พร้อมทั้งหา $f$ ทั้งหมด



5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้

(i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$

(ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$

(iii) $f(9999)=3333$

จงหาค่าของ $f(2010)$



6. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$f(x-f(y))=f(f(y))+2f(y)+f(x)-2$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$

number theory

1. จงเติมคำตอบต่อไปนี้

1.1) $ord_52=?$

1.2) $ord_{13}2=?$

1.3) $ord_{10}3=?$

1.4) $ord_{11}3=?$

1.5) $ord_{17}2=?$

1.6) $ord_{25}9=?$

1.7) สำหรับจำนวนเฉพาะ $p$ แล้ว $ord_p(p-1)=?$

1.8) ให้ $a \in \mathbb{Z}_n^*$ ซึ่ง $ord_na=h$ ถ้า $k$ เป็นจำนวนเต็มบวกซึ่ง $k|h$ แล้ว $ord_na^k=?$

1.9) จงเขียนเซต $\{ a \in \mathbb{Z}_n^*\, :\, ord_{25}a=10 \}$ แบบแจกแจงสมาชิก

1.10) ให้ $a,b \in \mathbb{Z}$ ที่ $(a,100)=(b,100)=1$ และ $ord_{100}a=4$ และ $ord_{100}b=10$ แล้ว $ord_{100}ab=?$



2. จงแสดงว่าทุก $a \in \mathbb{Z}_{63}^*$ แล้ว $ord_{63}a < \phi (63)$



3. ให้ $a,b \in \mathbb{Z}_n^*$ จงแสดงวิธีเขียน $ord_na \cdot _n b$ ในรูปของ $ord_na$ และ $ord_nb$



4. สำหรับจำนวนเฉพาะคี่ $p$ ให้ $n=p^3$ จงแสดงว่ามี $a \in \mathbb{Z}_n^*$ หรือไม่ซึ่ง $ord_na= \phi (n)$

combinatorics

1. ถุงใบหนึ่งมีลูกแก้ว 4 สี สีละ 100 ลูก ถ้าหยิบลูกแก้วจากถุงนาทีละลูก

จะต้องใช้เวลาอย่างน้อยเท่าใดจึงจะมั่นใจว่าลูกที่หยิบออกมาแล้วมีกลุ่มที่เป็นสีเดียวกัน 1 โหล



2. สมชายมีหนังสือเลข 7 เล่มต่างกัน สมศรีมีหนังสือดาราศาสตร์ 5 เล่มต่างกัน ทั้งสองจะแลกกันอ่านหนังสือเล่มต่อเล่ม

จะมีวิธีแลกหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหลังจากแลกแล้วยังมีจำนวนหนังสือของแต่ละคนเท่าเดิม



3. นักเรียนทีมหนึ่งมี 3 คน มีโจทย์ปัญหา 5 ข้อ แต่ละข้อถูกทำโดยเพียงคนเดียว และทุกคนต้องทำอย่างน้อย 1 ข้อ

นักเรียนทีมนี้จะสามารถแบ่งโจทย์กันทำได้กี่วิธี



4. เกมหอคอยฮานอยมี 3 เสากับแผ่นไม้ 10 แผ่นขนาดรัศมีต่างกัน จะเรียงได้กี่วิธี



5. ให้ $n=2^{17} \cdot 3^8$ จงหาจำนวนของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $k|n^2$ ในขณะที่ $k \nmid n$



6. หาจำนวนลำดับเทอร์นารีที่มีความยาว 6 และผลบวกทุกพจน์เป็นจำนวนคู่



7. หาจำนวนผลเฉลยสมการ $$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$ เมื่อ $x_1,x_2,x_3 >0$ และ $0< x_4 \le 25$



8. ในเซต $\{ 1,2,3,...,200 \}$ มีกี่จำนวนที่ปราศจากกำลังสอง และห้ามใช้วิธีการแจกแจงกรณี



9. หาจำนวนวิธีเลือกช่องในตาราง $8 \times 8$ อย่างน้อย 1 ช่องโดยไม่มีช่องใดที่เลือกอยู่ในแถวและหลักเดียวกัน

และไม่มีช่องใดอยู่ทางซ้ายและใต้ของบางช่องที่ถูกเลือก



10. สำหรับจำนวนเต็มบวก $n$ จงพิสูจน์โดยให้เหตุผลเชิงคอมบินาคอริคส์ว่า $$\frac{1}{2} \binom{2n+2}{n+1} = \binom{2n}{n} + \binom{2n}{n-1}$$

geometry

part1 - calculate

1. สามเหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีเส้นรอบรูป 60 นิ้ว และเส้นที่ลากจากมุมฉากมาตั้งฉากที่ด้านตรงข้ามยาว 12

จงหาค่าผลต่างความยาวด้านประกอบ



2. สามเหลี่ยม ABC มีจุด X บน AB ที่ทำให้ $AX:XB=3:5$ ลาก XY//BC ตัด AC ที่ Y

ต่อ BY และลาก XZ//BY ตัด AC ที่ Z แล้ว จงหาอัตราส่วน [BYZX]:[ABC]



3. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในครึ่งวงกลม มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ต่อ AD และ BC ไปตัดกันที่ E

ต่อ AC,BD ตัดกันที่ F และต่อ EF ตัด AB ที่ G และตัดเส้นรอบวงที่ H

ถ้า GF=4 และ EF=5 แล้วจงหาความยาว GH



4. สามเหลี่ยม ABC มีมุม BAC เป็นสองเท่าของมุม ABC วงกลม O แนบนอกตรงข้ามมุม A

ต่อ AO ตัด BC ที่ P ถ้า AP=3 และ AB=5 แล้วจงหาความยาวด้าน AO



5. สี่เหลี่ยม ABCD แนบในวงกลมที่มีจุด O เป็นจุดศูนย์กลาง แส้นทะแยงมุม AC ตัดตั้งฉาก BD ที่ E

ถ้า AC=14, BD=16, OE=7 แล้วจงหาค่าของ $AE^2+BE^2+CE^2+DE^2$



6. วงกลม O มี XOY เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง คอร์ด AB แบ่งครึ่งและตั้งฉาก XO

วาดวงกลมที่มี AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางและตัด OY ที่ P ต่อ AP, BP ออกไปตัดเส้นรอบวงกลม O ที่ C, D ตามลำดับ

ถ้า BC=8 แล้วจงหาความยาว AB



7. วงกลมสองวงตัดกันที่ X,Y ต่างกัน เส้นสัมผัสร่าวมด้านจุด X สัมผัสวงกลมทั้งสองที่ A, B ตามลำดับ

ต่อ AX ตัดวงกลมอีกวงที่จุด D ต่อ DY ตัดวงกลมอีกวงที่จุด E และต่อ EX

ถ้ามุม AXB=130$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม AXE



8. จุด I, O เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน, ล้อมรอบสามเหลี่ยม ABC ต่อ AI, BI, CI, BO

ถ้ามุม AIC=125$^{\circ}$ และ IBO=10$^{\circ}$ แล้วจงหาขนาดมุม BIC



9. สามเหลี่ยม ABC มีด้าน AB=18, BC=24, CA=30 ตามลำดับ แล้ว จงหาอัตราส่วน [ABC]:[IOG]

(I=incenter, O=circumcenter, G=centroid)



10. สามเหลี่ยม ABC มีจุด P, Q, R บนด้าน BC, CA, AB ที่ทำให้ BP:PC=CQ:QA=AR:RB=1:3

ต่อ AP, BQ, CR ตัดกันที่ X, Y, Z ตามลำดับ จงหาอัตราส่วน [XYZ]:[ABC]



part2 - prove

1. สามเหลี่ยม ABC มี I เป้น incenter ต่อ AI ตัด BC ที่ X แล้วพิสูจน์ว่า (AB+AC):BC=AI:IX



2. สามเหลี่ยม ABC มีวงกลมแนบในสัมผัสด้าน BC, CA, AB ที่ X, Y, Z ตามลำดับ

ถ้า XY=XZ แล้วพิสูจน์ว่า AC$\cdot$XY$^2$ = 2AZ$\cdot$CX$^2$



3. สี่เหลี่ยมใดๆที่มีวงกลมแนบในและนอก ลากเส้นจากจุดสัมผัสวงกลมแนบในซึ่งอยู่ตรงข้ามกันแต่ละคู่

พิสูจน์ว่าสองเส้นนั้นตัดตั้งฉากกัน



4. สามเหลี่ยม ABC มุมแหลม มีวงกลมล้อมรอบรัศมี R และ AD, BE, CF เป็นเส้นตั้งฉากจากมุม A, B, C ตามลำดับ

พิสูจน์ว่าเส้นรอบรูปสามเหลี่ยมพีเดล DEF เท่ากับ $R(\sin 2A+\sin 2B+\sin 2C)$



5. ABCD เป็นสี่เหลี่ยมที่มี AC, BD เป็นเส้นทะแยงมุม ถ้า AC$\cdot$BD=AB$\cdot$CD+AD$\cdot$BC แล้วพิสูจน์ว่า ABCD concyclic

(บทกลับ Ptolemy's theorem)



6. ให้ AB เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางวงกลม AM, BN เป็นเส้นสัมผัสวงกลมที่ A, B ตามลำดับ

ให้ X เป็นจุดใดๆบนเส้นรอบวง ลากเส้นสัมผัสวงกลมที่ X ต่อออกไปตัด AM, BN ที่ C, D ตามลำดับ

พิสูจน์ AB$^2$=4CX$\cdot$XD



7. ให้ ABC เป้นสามเหลี่ยมแนบในวงกลม O ถ้าคอร์ด AD ตั้งฉากกับ BC และคอร์ด BE ตั้งฉากกับ AC

ต่อ CD, CE, DE แล้วพิสูจน์ว่า CDE เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว

ปี 2554

ie & fe

1. $a,b,c>0$ และ $abc=1$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^2(b+c)}{b \sqrt{b} + 2c \sqrt{c}} \ge 2$$



2. กำหนด $f : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้

(i) $f$ เป็นฟังก์ชันเพิ่มบน $(0, \infty )$

(ii) $f(x)>-\frac{1}{x}$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ

(iii) $f(x) \cdot f \Big( f(x)+\dfrac{1}{x} \Big) = 1$ สำหรับ $x>0$ ใดๆ

จงหาค่าของ $f(1)$ พร้อมยกตัวอย่างฟังก์ชันที่สอดคล้องเงื่อนไขดังกล่าว

combinatorics

1. ถุงหนึ่งมีลูกปิงปองสีแดง, เขียว, ขาว, ดำอย่างละ 10 ลูก แต่ละสีมีหมายเลข 1-10 ติดอยู่

จงหาจำนวนวิธีสุ่มหยิบลูกปิงปองแล้วลูกหนึ่งเป็นสีแดง และอีกลูกหนึ่งไม่ติดหมายเลข 9



2. ให้ $S=\{ a,b,c,d,e \}$ และ $X,Y,Z \subseteq S$

จงหาจำนวนสมาชิกของเซต $T=\{ (X,Y,Z)\, :\, X \cap Y \cap Z = \phi$ และ $X \cup Y \cup Z=S \}$



3. จำนวนเต็มบวกสามหลักซึ่งหารด้วย 2,3,4,5 ได้ลงตัวมีกี่จำนวน



4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มบวกน้อยกว่า 10 และ $S = \{ (a,b,c)\, :\, 20|a \cdot b \cdot c\}$

จงหาจำนวนสมาชิกในเซต S



5. จงหาจำนวนวิธีจัดเรียง 555554444333221 โดยที่ "3 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" และ "2 ไม่ติดกับ 3 หรือ 2" เช่นกัน



6. ให้ $a,b,m,n$ เป็นจำนวนเต็มซึ่ง $(m,n)=1$ จงแสดงว่าต้องมีจำนวนเต็ม x ซึ่ง

$x \equiv a \pmod{m}$ และ $x \equiv b \pmod{n}$

ผมลงโจทย์เท่าที่มีครบแล้วนะครับ ส่วนปีนี้จะเป็นยังไงก็คงต้องรอรุ่นต่อไปมาลงละกันนะครับ

หรือถ้าโชคดีได้ข้อสอบมาก็จะลงให้ครับ

[polsk133]

ขอบคุณคุณ PP_nine มากครับ

[จูกัดเหลียง]

ถามนิดครับ $ord_5 (2)=4$ ใช่ป่าวครับ order นี่คือ จำนวนนับน้อยสุดที่ $2^{ord_5 (2)}\equiv 1\pmod 5$ ใช่มั้ยครับ
เเล้วก็ ie. ข้อ 3 นี่ใช่ $3/2$ ป่าวครับ กับ alg.ข้อ 2. $f(x)...f(2x^2)=f(2x^3+x)$ ... คืออะไรเหรอครับ
ปล.โหดจังครับ = ="

[PP_nine]

#18 ใช่ครับ

ข้ออสมการผมก็ว่าควรจะเป็นแบบนั้น แต่มันผิดตั้งแต่ดฉลยใน shortlist แล้ว อาจารย์เค้าคงลอกไม่ดูโจทย์ล่ะมั้ง - -

ส่วนข้อพีชคณิต ผมพิมพ์ผิดครับ เผลอไปเติม s กับ \cdot เลยเป็นแบบนั้น

[BLACK-Dragon]

ข้อ 3 มี n เป็นอนันต์ครับ

$n \equiv 5 \pmod{180}$

[BLACK-Dragon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

1. $a,b,c>0$ และ $abc=1$ พิสูจน์ $$\sum_{cyc} \frac{a^2(b+c)}{b \sqrt{b} + 2c \sqrt{c}} \geq 2$$

ให้ $\sqrt{a}= x, \sqrt{b}=y ,\sqrt{c}=z$ แทนลงในสมการจะได้
$$\sum_{cyc} \frac{x^4(y^2+z^2)}{y^3 + 2z^3 } \geq 2$$

แล้วโดย A.M.-G.M. และจาก $xyz=1$

$$ \sum_{cyc} \frac{x^4(y^2+z^2)}{y^3 + 2z^3 } \geq \sum_{cyc} \frac{2x^3}{y^3+2z^3}$$ จากนั้นสิ่งที่เราต้องพิสูจน์ก็มีแค่
$$\sum_{cyc} \frac{x^3}{y^3+2z^3} \geq 1$$ ซึ่งเป็นจริงโดย Cauchy

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

2. สมชายมีหนังสือเลข 7 เล่มต่างกัน สมศรีมีหนังสือดาราศาสตร์ 5 เล่มต่างกัน ทั้งสองจะแลกกันอ่านหนังสือเล่มต่อเล่ม

จะมีวิธีแลกหนังสือได้กี่วิธี ถ้าหลังจากแลกแล้วยังมีจำนวนหนังสือของแต่ละคนเท่าเดิม

ช่วยตรวจหน่อยครับ ให้หนังสือเลขคือ $M_1,M_2,...M_7$ เเละดาราศาสตร์คือ $A_1,A_2,...A_5$
ถ้าเเลกกัน 1 เล่มได้ $\left\{\,M_i,A_i\right\} $ ทั้งหมด $\binom {7}{1}\binom {5}{1}$ วิธี
เเละ เเลก 2 เล่ม ได้ $\binom {7}{2}\binom{5}{2}$ ... เเลก 5 เล่ม ได้ $\binom {7}{5}\binom{5}{5}$ รวม $\binom{7}{1}\binom{5}{1}+\binom{7}{2}\binom{5}{2}...\binom {7}{5}\binom{5}{5}$ หรือป่าวครับ
เเล้วก็

3. นักเรียนทีมหนึ่งมี 3 คน มีโจทย์ปัญหา 5 ข้อ แต่ละข้อถูกทำโดยเพียงคนเดียว และทุกคนต้องทำอย่างน้อย 1 ข้อ

นักเรียนทีมนี้จะสามารถแบ่งโจทย์กันทำได้กี่วิธี

ให้ คนเเรกได้ 3 ข้อ เลือกได้ $\binom{5}{3}\binom{2}{1}\binom{1}{1}$ เเต่ให้สลับกันได้ $3!$ วิธี สรุปรวม $3!\binom{5}{3}\binom{2}{1}\binom{1}{1}$

7. หาจำนวนผลเฉลยสมการ $$x_1+x_2+x_3+x_4=32$$ เมื่อ $x_1,x_2,x_3 >0$ และ $0< x_4 \le 25$

ให้ $a_i=x_i-1\ge 0,i=1,2,3,4$ ดังนั้น ผลเฉลยคือ $\binom{28+4-1}{28}=\binom{31}{3}$ วิธี
เเต่ถ้า $x_4\ge 26$ ให้ $p=x_4-26\ge 0$ ดังนั้นได้ $\binom {3+4-1}{3}=\binom {6}{3}$ วิธี
นั่นคือ ได้ที่สอดคล้อง $\binom{31}{3}-\binom {6}{3}$

[polsk133]

ปราศจากกำลังสอง คืออะไรอะครับ
แล้ว$Z^*$ คือไรอะครับ

คอมบิข้อ1. ได้ 45 อะครับ

คอมบิข้อ2,7 ได้แบบคุณจูกัดเหลียงครับ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

1.1) $ord_52=?$

1.2) $ord_{13}2=?$

1.3) $ord_{10}3=?$

1.4) $ord_{11}3=?$

1.5) $ord_{17}2=?$

1.6) $ord_{25}9=?$

1.4
2.12
3.4
4.10
5.16
6.20

ถ้าผมเข้าใจไม่ผิด Ord คือ
ถ้า $Ord_ab=n$ แล้ว $b^n\equiv (mod a)$

ปล.ใครทำ FE ได้ ช่วยทำให้ดูทีครับ ผมยังไม่เคยเจอ FE เลยครับ

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

6. จงหา $f : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการ $$f(x-f(y))=f(f(y))+2f(y)+f(x)-2$$ ทุกจำนวนจริง $x,y$

โอ้วว ขอบคุณที่ช่วยเช็คครับ ส่วนข้อนี้อยากจะบอกว่า เเค่หา $f(0,1,2)$ ก็ยากเเล้ว
try to find $f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0$ by yourself
then take $y=1$ get $f(x-1)=1+2+f(x)-2=f(x)+1$
so $f(x-2)=f(x-1)+1...$ then $f(x-(x-1))=f(x-x)+1$
sum all of these then $f(x)=2-x$

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ปราศจากกำลังสอง คืออะไรอะครับ
แล้ว$Z^*$ คือไรอะครับ

คอมบิข้อ1. ได้ 45 อะครับ

คอมบิข้อ2,7 ได้แบบคุณจูกัดเหลียงครับ

ปราศจากกำลังสองคือจำนวนที่ไม่มีจำนวนเฉพาะกำลังสองหรือมากกว่าเป็นแฟคเตอร์

หรือก็คือ $n=p_1p_2 \cdots p_k$ เมื่อ $p_1,p_2,...,p_k$ เป็นจำนวนเฉพาะต่างกัน

ส่วน $\mathbb{Z}_n^*$ นิยามคือเซตของจำนวนเต็มบวก $k$ ซึ่ง $1 \le k \le n$ และ $(k,n)=1$

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

โอ้วว ขอบคุณที่ช่วยเช็คครับ ส่วนข้อนี้อยากจะบอกว่า เเค่หา $f(0,1,2)$ ก็ยากเเล้ว
try to find $f(0)=2,f(1)=1,f(2)=0$ by yourself
then take $y=1$ get $f(x-1)=1+2+f(x)-2=f(x)+1$
so $f(x-2)=f(x-1)+1...$ then $f(x-(x-1))=f(x-x)+1$
sum all of these then $f(x)=2-x$

ข้อ FE ไม่จำเป็นต้องหาค่า $f(0),f(1),f(2)$ หรอกครับ

แถมบรรทัดสุดท้ายจะทำอย่างนั้นได้แปลว่า $x$ ต้องเป็นจำนวนเต็ม ซึ่งไม่ได้ onto บน $\mathbb{R}$

[จูกัดเหลียง]

เเหะๆ ผมก็ว่าอย่างนั้น เเล้วทำยังไงเหรอครับ ผมขอเป็น Hint ทั้งข้อ 4,5 เเละ 6 เลย

[PP_nine]

Hint FE 2553

4. ยังทำไม่ได้ครับ



5. ถ้าให้ $f(m+n)=f(m)+f(n)+a(m,n)$ โดยที่ $a(m,n) \in \{ 0,1 \}$

แล้วกระจาย $f(9999)$



6. จัดรูปเป็น $f(f(y))=k-f(y)$ เมื่อ $k=\dfrac{2+f(0)}{2}$ แล้วหา $f(k)$

สมมติว่าเราเขียนได้ในรูปของเชิงเส้น, $f(k)=ak+b$

สร้าง $F= \{ x\, : \, f(x)=ax+b\}$ ได้ว่าอย่างน้อยมี $k \in F$ แล้วดูพฤติกรรมของเซตนี้

[polsk133]

ขอบคุณมากครับ. 19นี้เข้าค่ายแล้ว
สอบเต็ม250ต้องได้กี่คะแนนหรอครับถึงติด
แล้วควรลงหนักวิชาไหน
ขอบคุณครับ