มาร่วมเฉลยข้อสอบ สอวน.ค่าย1-2

[AnDroMeDa]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

วิชาพีชคณิตค่าย 1 ปี 2553

ข้อ 1:จงหารากของสมการ $4x^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51=0 $

จาก $\left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant x<\left \lfloor {x} \right \rfloor+1$ เราได้ว่า $4(\left \lfloor {x} \right \rfloor)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51\leqslant 4x^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51=0<4(\left \lfloor {x} \right \rfloor+1)^2-40\left \lfloor {x} \right \rfloor+51$
เมื่อแก้อสมการออกมาเราจะได้ว่า $\frac{3}{2} \leqslant \left \lfloor {x} \right \rfloor< \frac{5}{2} \vee \frac{11}{2} < \left \lfloor {x} \right \rfloor\leqslant \frac{17}{2} $ แต่ $\left \lfloor {x} \right \rfloor \in \mathbb{Z} \Rightarrow \left \lfloor {x} \right \rfloor=2,6,7,8$ เท่านั้น
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=2 \Rightarrow 2\leqslant x<3$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(2)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{29}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=6 \Rightarrow 6\leqslant x<7$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(6)+51=0 \Rightarrow x=\frac{3\sqrt{21}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=7 \Rightarrow 7\leqslant x<8$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(7)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{229}}{2} $
กรณี$\left \lfloor {x} \right \rfloor=8 \Rightarrow 8\leqslant x<9$แทนในสมการเริ่มต้นได้ว่า $4x^2-40(8)+51=0 \Rightarrow x=\frac{\sqrt{269}}{2} $
$\therefore x=\frac{\sqrt{29}}{2},\frac{3\sqrt{21}}{2},\frac{\sqrt{229}}{2},\frac{\sqrt{269}}{2}$

ข้อ 2:จงหาผลเฉลยของระบบสมการ $\frac{8x^3}{(1+x)^3} +\frac{8y^3}{(1+y)^3}=-7 $ และ$\frac{4xy}{1+x+y+xy}=-2 $

ให้ $A=\frac{2x}{1+x},B=\frac{2y}{1+y} $ จะได้ระบบสมการเป็น $A^3+B^3=-7,AB=-2 \Rightarrow (A+B)((A+B)^2-3(-2))=-7\Rightarrow A+B=-1 \Rightarrow (A,B)=(-2,1),(1,-2)$ จะได้ $(\frac{2x}{1+x},\frac{2y}{1+y})=(-2,1),(1,-2) \Rightarrow (x,y)=(-\frac{1}{2},1),(1,-\frac{1}{2})$

ข้อ 3:จงหาจำนวนเต็มบวก $ x,y $ ทั้งหมดที่ทำให้ $ x^2+y^2=625(x-y)$

จัดรูปเป็น $(x+y)^2+(625-x+y)^2=625^2$ โดย pythagorus triple : $(m^2-n^2)^2+(2mn)^2=(m^2+n^2)^2$ พิจารณา $375^2+500^2=625^2,175^2+600^2=625^2,220^2+585^2=625^2,336^2+527^2=625^2$ จากนั้นแก้สมการสองตัวแปรจะได้คำตอบเป็น $(x,y)=(100,75),(130,90),(217,119),(250,125),(375,125),(408,119),(495,90),(525,75)$

ข้อ 4:จงหาพหุนาม$P(x)$ที่ทำให้$P(x)$หารด้วย$x+1$และ$x-1$ลงตัว แต่$P(x)$หารด้วย$x^3+x^2-1$เหลือเศษ -1

ให้$P(x)=(x-1)(x+1)Q(x)$ จะได้ว่า $P(x)=(x^2-1)Q(x)=(x^3+x^2-1)R(x)-1\Rightarrow 1=(x^3+x^2-1)R(x)-(x^2-1)Q(x)$ จาก Euclidean Algorithm เราได้ $$x^3+x^2-1=(x^2-1)(x+1)+x$$
$$x^2-1=x(x)-1$$ ทำย้อนกลับเราจะได้ว่า $$1=x(x)-(x^2-1)=x((x^3+x^2-1)-(x^2-1)(x+1))-(x^2-1)=(x^3+x^2-1)(x)-(x^2+x+1)(x^2-1)$$
ดังนั้นจึงได้ว่า $P(x)=(x^2-1)(x^2+x+1)=x^4+x^3-x-1$

ข้อ 5:จงพิสูจน์ว่าสมการ $x^{2552}-2x^{2551}+3x^{2550}-...-2552x+2553=0$ ไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง

จัดรูปสมการเป็น $$(x^{2552}-2x^{2551}+x^{2550})+(2x^{2550}-4x^{2549}+2x^{2548})+(3x^{2548}-6x^{2547}+3x^{2546})+...+(1276x^2-2552x+1276)+1277=0 $$ ซึ่งแยกตัวประกอบได้เป็น
$$(x-1)^2[x^{2550}+2x^{2548}+3x^{2546}+...+1276]+1277=0$$ จะได้ $L.H.S>0$ดังนั้น สมการโจทย์จึงไม่มีรากที่เป็นจำนวนจริง

[PP_nine]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

ขอบคุณมากครับ. 19นี้เข้าค่ายแล้ว
สอบเต็ม250ต้องได้กี่คะแนนหรอครับถึงติด
แล้วควรลงหนักวิชาไหน
ขอบคุณครับ

ถ้าจะติดค่าย 3 ก็ประมาณ 120+ ได้ครับ แต่เอาชัวร์ๆคือ 150+ โดยปกติทุกปี เผื่อปีนี้เด็กเก่งเยอะ

วิชาที่ควรลงหนักคือทฤษฏีจำนวนกับ FE เพราะเป็นวิชาที่ฉุดได้ดีที่สุด

ทฤษฎีจำนวนอาจารย์มักจะออกแนวพิสูจน์ทฤษฎีบทข้อนึงเป็นประจำ ซึ่งถ้าอ่านเข้าใจอย่างถ่องแท้แล้วก็ไม่น่าห่วงอะไรมาก

แต่ก็ชอบออกคำนวณอยู่บ้าง ซึ่งแต่ละข้อตัวเลขก็ใช่จะทำเสร็จเร็ว

ส่วน FE พี่ไม่แน่ใจว่าอาจารย์คนใหม่เค้ามาประมาณไหน เพราะเคยเจอไม่กี่ครั้งเอง

ล่าสุดอาจารย์ก็เล่นเอา FE ซะหนักหนาสาหัสในค่าย 3 ปี 54 มาแล้ว (ข้อนั้นคำตอบเละมาก แต่วิธีทำก็สวยมาก และเป็นโจทย์คลาสสิกระดับหนึ่ง)

[PP_nine]

ข้อ 5 จริงๆก็ไม่ยากนะครับ แค่วัดใจคนทำว่ากล้ากระจายหรือเปล่า

FE ค่าย 3 ปี 53

5. กำหนด $f : \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}_0$ สอดคล้องเงื่อนไขต่อไปนี้

(i) $f(m+n)-f(m)-f(n)$ มีค่าเป็น 0 หรือ 1 ทุกจำนวนนับ $m,n$

(ii) $f(2)=0$ และ $f(3)>0$

(iii) $f(9999)=3333$

จงหาค่าของ $f(2010)$

solution

จากเงื่อนไขข้อที่ 1

แสดงว่ามีฟังก์ชันสองตัวแปร $a : \mathbb{N}^2 \rightarrow \{ 0,1 \}$ ซึ่งสอดคล้องกับ
$$f(m+n)=f(m)+f(n)+a(m,n)$$
ดังนั้น
$$f(2)=2f(1)+a(1,1)$$
$$0=2f(1)+a(1,1)$$
แต่ $f(1) \ge 0$ และ $a(1,1) \ge 0$ แสดงว่า $f(1)=0$ เท่านั้น

ดังนั้น
$$f(3)=f(1)+f(2)+a(1,2)$$
$$f(3)=a(1,2)$$
แต่จากเงื่อนไขบอกว่า $f(3)>0$ แสดงว่า $f(3)=1$ เท่านั้น

ประเด็นจะอยู่ต่อจากนี้ไป เราจะเริ่มกระจาย $f(9999)$ โดยลดลงทีละ 3 ดังนี้
$$f(9999)=f(9996)+f(3)+a(9996,3)$$
$$f(9996)=f(9993)+f(3)+a(9993,3)$$
$$f(9993)=f(9990)+f(3)+a(9990,3)$$
$$\vdots$$
$$f(6)=f(3)+f(3)+a(3,3)$$
รวมทุกสมการได้ว่า
$$f(9999)=3333f(3)+\sum_{n=1}^{3332} a(3n,3)$$
แทนค่าของฟังก์ชันได้ว่า
$$\sum_{n=1}^{3333} a(3n,3)=0$$
แสดงว่าเป็นไปได้กรณีเดียวคือ
$$a(3,3)=a(6,3)=a(9,3)= \cdots =a(9996,3)=0$$
นั่นคือ $a(k,3)=0$ เมื่อ $3|k$ และ $3 \le k \le 9996$

แต่ว่า $3|2010$ ในทำนองเดียวกัน แสดงว่า
$$f(2010)=f(2007)+f(3)$$
$$f(2007)=f(2004)+f(3)$$
$$\vdots$$
$$f(6)=f(3)+f(3)$$
รวมทุกสมการได้ว่า
$$f(2010)=670f(3)$$
นั่นคือ $f(2010)=670$ #

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

กรณี 2 : $x+f(x)=c$ เมื่อ $c \in \mathbb{R}$ เป็นค่าคงที่

แก้สมการได้ $c=2$ นั่นคือ $f(x)=2-x$ เป็นอีกคำตอบ

สรุปได้ $f \equiv \dfrac{2}{3}$ และ $f(x)=2-x$ ทุก $x \in \mathbb{R}$ เป็นคำตอบ #

งงตรงกรณีนี้ครับว่าทำไมถึงกำหนดให้ $x+f(x)$ เป็นค่าคงที่ได้

ที่ผมเข้าใจคือจะทำได้ถ้า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

แต่ยังพิสูจน์ไม่ได้ว่า $f$ มีสมบัตินี้จริงๆ

[gon]

2553 : Combinatorics

6. หาจำนวนลำดับเทอร์นารีที่มีความยาว 6 และผลบวกทุกพจน์เป็นจำนวนคู่

solution

ตอบ 365

ให้ $a_n$ แทน จำนวนของสตริงฐานสาม n หลัก ที่ผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็นจำนวนคู่
ให้ $b_n$ แทน จำนวนของสตริงฐานสาม n หลัก ที่ผลบวกของเลขโดดทุกตัวเป็นจำนวนคี่

จะได้ $a_n + b_n = 3^n ...(*)$

หา $a_n$
$a_n = a_{n, 0} + a_{n,1} + a_{n, 2} = a_{n-1} + b_{n-1} + a_{n-1} = 2a_{n-1} + b_{n-1}$ ...(**)

แต่จากสมการ (*) จะได้ $b_{n-1} = 3^{n-1} - a_{n-1}$ แทนใน (**) จะได้ $$a_n = a_{n-1} + 3^{n-1} , a_1 = 2, a_2 = 5$$
ดังนั้น $a_6 = 365$

[Metamorphosis]

ค่าย 1/2554 Inequality

$$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} \geqslant \frac{a+b+c}{3} $$

Am-gm
$a^3+a^3+b^3 \geqslant 3a^2b$ และ $b^3+b^3+a^3 \geqslant 3ab^2$
จะได้ว่า $a^3+b^3 \geqslant a^2b+ab^2$

$3a^3 = 2a^3+a^3 \geqslant 2a^3+a^2b+ab^2-b^3 = 2a^3-a^2b+2a^2b-ab^2+2ab^2-b^3$
$3a^3 \geqslant (2a-b)(a^2+ab+b^2)$

จะได้ว่า $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{a^2+b^2+ab} \geqslant \frac{2a-b}{3} = \frac{a+b+c}{3} $$

[Metamorphosis]

ค่าย 1/2554
อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{2ab+2+a} }\geqslant 1$$

เนื่องจาก $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{2ab+2+a} } \geqslant \sum_{cyc}\frac{a}{a+ab+1} $$

$\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{b}{b+bc+1}+ \dfrac{c}{c+ac+1} =\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{ab}{ab+abc+a}+ \dfrac{abc}{abc+a(abc)+ab}=1$


ปล. โจทย์เดิมถูกแล้ว

[Metamorphosis]

ค่าย 1/2553
$a,b,c>0$
$$\sum_{cyc} \frac{a^5}{b^3} \geqslant \sum_{cyc} \frac{a^4}{b^2}$$

วิธีทำ คูณ $(abc)^3$ ทั้งสองข้างจะำได้

$a^3b^8+b^3c^8+c^3a^8 \geqslant a^7bc^3+b^7ca^3+c^7ab^3$

Weighted Am-gm inequality

$\dfrac{5(a^3b^8)}{49} +\dfrac{41(a^8c^3)}{49}+\dfrac{3(c^8b^3)}{49} \geqslant \sqrt[49]{a^{343}b^{49}c^{147}}=a^7bc^3 $
$\dfrac{3(a^3b^8)}{49} +\dfrac{5(a^8c^3)}{49}+\dfrac{41(c^8b^3)}{49} \geqslant \sqrt[49]{c^{343}a^{49}b^{147}}=c^7ab^3 $
$\dfrac{41(a^3b^8)}{49} +\dfrac{3(a^8c^3)}{49}+\dfrac{5(c^8b^3)}{49} \geqslant \sqrt[49]{b^{343}c^{49}a^{147}}=b^7ca^3 $

[PP_nine]

ข้อ 6 ผมผิดจริงๆด้วยครับพี่ nooonuii

ก็ว่าอยู่ว่าทำไมมันง่ายแปลกๆ

[polsk133]

#38 โหดขิง นึกไม่ถึงเลยครับ

[จูกัดเหลียง]

#37 AM.-GM. กลับข้างอ่ะครับ - -*
ปล.เห็นด้วยกับ #40 ครับคิดได้ไงอ่ะ 555

[Metamorphosis]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง

#37 AM.-GM. กลับข้างอ่ะครับ - -*
ปล.เห็นด้วยกับ #40 ครับคิดได้ไงอ่ะ 555

แก้แล้วนะครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

ข้อ 6 ผมผิดจริงๆด้วยครับพี่ nooonuii

ก็ว่าอยู่ว่าทำไมมันง่ายแปลกๆ

มีเฉลยมั้ยครับ ผมคิดมาหลายชั่วโมงแล้วก็ยังมืดมน

[PP_nine]

ยังไม่ออกเลยครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ PP_nine

Hint FE 2553

6. จัดรูปเป็น $f(f(y))=k-f(y)$ เมื่อ $k=\dfrac{2+f(0)}{2}$ แล้วหา $f(k)$

สมมติว่าเราเขียนได้ในรูปของเชิงเส้น, $f(k)=ak+b$

สร้าง $F= \{ x\, : \, f(x)=ax+b\}$ ได้ว่าอย่างน้อยมี $k \in F$ แล้วดูพฤติกรรมของเซตนี้

ตอนแรกก็คิดว่าใช้วิธีตามที่เคย Hint ก็ออก

ปรากฎว่ามาติดอยู่อีกหน่อยตรงที่จะพิสูจน์ว่า $F=\mathbb{R}$ นี่แหละครับ เพราะมันมีฟังก์ชันคงที่เป็นอีกคำตอบ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Metamorphosis

ค่าย 1/2554
อสมการสมมูลกับ $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{2ab+2+a} }\geqslant 1$$

เนื่องจาก $$\sum_{cyc} \frac{a}{\sqrt{a}\cdot \sqrt{2ab+2+a} } \geqslant \sum_{cyc}\frac{a}{a+ab+1} $$

$\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{b}{b+bc+1}+ \dfrac{c}{c+ac+1} =\dfrac{a}{a+ab+1}+\dfrac{ab}{ab+abc+a}+ \dfrac{abc}{abc+a(abc)+ab}=1$


ปล. โจทย์เดิมถูกแล้ว

ab+1 ด้านขวาตรงส่วนอะครับมายังไงหรอครบั ขอบคุณครับ