my math problem collection

[-InnoXenT-]

ผมได้เก็บรวมรวมโจทย์เลขจากที่ต่างๆ ที่ผมเห็นตั้งแต่ตอนผม ม.ปลาย จนถึงปี 2 เกือบประมาณ 1300 ข้อแล้วครับตอนนี้ (ตอนนี้ผมเรียนปี 4) ก็เลยกะว่า จะมาปล่อยในนี้ครับ โจทย์ที่เห็นอาจจะคุ้นหน้าคุ้นตา user ท่านอื่นๆ เพราะว่าผมเองก็ไม่ใช่คนแต่งโจทย์ เป็นเพียงคนเก็บสะสมมานาน เฉยๆ ถ้าข้อไหนเคยเฉลยแล้ว ก็อย่าว่ากันนะครับ ผมจะค่อยๆปล่อยละกัน ความยากของโจทย์ก็มีคละๆกันไป

1. จงหาค่่าของ $\displaystyle{\sqrt[8]{2207-\frac{1}{2207-\frac{1}{2207-...}}}}$ ในรูป $\frac{a+b\sqrt{c}}{d}$ เมื่อ $a,b,c,d \in \mathbb{Z}$

Solution

$x^8 = 2207-\frac{1}{x^8}$
กำหนดให้ $y = x^4$ แล้วแก้สมการ
$(y+\frac{1}{y})^2=2209$
$y+\frac{1}{y} = 47$
$x = \frac{2207-987\sqrt{5}}{2}$

2. กำหนดให้ $\alpha,\beta,\gamma,\delta$ เป็นคำตอบ 4 คำตอบในสมการ $\left| x^2-3x+2\right| =mx$
2.1) จงหาช่วงของค่า $m$ ที่ทำให้ $\alpha\neq\beta\neq\gamma\neq\delta$

Solution

วาดกราฟ $y = \left| x^2-3x+2\right| $ และ $y = mx$ จะรู้ได้ว่า ค่าของ $m$ ที่มากที่สุด ที่จะทำให้ สมการมีคำตอบสี่คำตอบ คือ จุดก่อนที่ $y = mx$ จะสัมผัสกับ $y = \left| x^2-3x+2\right|$ อยู่ในช่วง $(1,1.5)$ ทำให้ $y = -x^2+3x-2$ แทนค่า $y = mx$ ลงในสมการ

จะได้

$mx = -x^2+3x-2$ เมื่อแก้สมการดูก็จะรู้ว่า $m \in (0,3-2\sqrt{2})$

2.2) จงแสดง $S = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}$ ในรูปของ $m$

Solution

กำหนดให้ $\alpha,\beta$ เป็นคำตอบของสมการ $x^2-3x+2 = mx \rightarrow x^2+(-3-m)x+2=0$
และ $\gamma,delta$ เป็นคำตอบของสมการ $-x^2+3x-2 = mx \rightarrow x^2+(m-3)x+2=0$
$\alpha + \beta = m+3 ,\alpha\beta = 2 \rightarrow \alpha^2+\beta^2 = m^2+6m+5$
$\gamma + \delta = -m+3 ,\gamma\delta = 2 \rightarrow \gamma^2+\delta^2 = m^2-6m+5$
$S = \frac{1}{\alpha^2}+\frac{1}{\beta^2}+\frac{1}{\gamma^2}+\frac{1}{\delta^2}$
$S = \frac{\alpha^2+\beta^2}{\alpha^2\beta^2}+\frac{\gamma^2+\delta^2}{\gamma^2\delta^2}$
$S = \frac{1}{4}(m^2+6m+5)+\frac{1}{4}(m^2-6m+5)$
$S = \frac{1}{2}(m^2+5)$

2.3) จงหาช่วงของค่า $S$

Solution

เรารู้ว่า $0 < m < 3-2\sqrt{2}$
$5 < m^2+5 < 22 -12\sqrt{2}$
$\frac{5}{2} < S < 11-6\sqrt{2}$

3. Simplify $\sqrt[2003]{2\sqrt{11}-3\sqrt{5}}\sqrt[4006]{89+12\sqrt{55}}$

Solution

$\displaystyle{\sqrt[2003]{2\sqrt{11}-3\sqrt{5}}\sqrt[4006]{89+12\sqrt{55}} = ((2\sqrt{11}-3\sqrt{5})^2)^{\frac{1}{4006}}(89+12\sqrt{55})^{\frac{1}{4006}}}$
$\displaystyle{= \sqrt[4006]{89^2-(12\sqrt{55})^2}} = -1$

4. กำหนดให้ $x,y > 0$ ที่ทำให้
$$3 = k^2(\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2})+k(\frac{x}{y}+\frac{y}{x})$$
จงหาค่าที่เป็นไปได้มากสุดของค่า $k$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...07&postcount=6

5. กำหนดให้ $m \otimes n = \frac{m+n}{mn+4}$ จงหาค่าของ $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...00&postcount=5

[-Math-Sci-]

ขอบคุณสำหรับน้ำใจ ครับ พี่ Innoxent

มีแต่โจทย์โหด ๆ ขอผมนั่งดูอย่างเดียวละกัน 555555555555.

[-InnoXenT-]

ความจริง พี่ก็ทำได้ไม่หมดหรอกครับ ที่ทำมา ก็มั่วๆไป ฮ่าๆๆ ช่วยเฉลยหน่อยก็ดีนะ

[Euler-Fermat]

5. $m \otimes n = \dfrac{m+n}{mn+4}$
ได้ ว่า $k \otimes 2 = \dfrac{k+2}{2k+4}$ = $\dfrac{1}{2}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
ดังนั้น $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$
= $(\dfrac{1}{2}\otimes 1)\otimes 0 = \dfrac{\dfrac{3}{2}}{\dfrac{9}{2}} = \dfrac{1}{3} \otimes 0 = \dfrac{\dfrac{1}{3}}{4} = \dfrac{1}{12}$

[จูกัดเหลียง]

4.$3=k^2\Big(\dfrac{x^2}{y^2}+\dfrac{y^2}{x^2}\Big)+k\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)=k^2\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)^ 2+k\Big(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}\Big)-2k^2\ge 2k^2+2k$
ดังนั้น $max(k)=\dfrac{-1+\sqrt 7}{2}$

[-InnoXenT-]

6. จงหาค่าต่ำสุดของ $\left| \sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x}\right| $

Solution

จัดรูปข้างในค่า Absolute จะได้

$\displaystyle{\sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x} = \sin{x}+\cos{x}+\frac{2}{\sin{x}+\cos{x}-1}}$ โดยที่ $\sin{x}+\cos{x} \neq -1 \rightarrow x\neq\pi$

ให้ $\alpha = \sin{x}+\cos{x} = \sqrt{2}\sin{(x+\frac{\pi}{4})}$ โดยที่ $-\sqrt{2}\leq\alpha\leq\sqrt{2}$

จะได้

$f(\alpha) = \alpha + \frac{2}{\alpha - 1}$

ใช้ Calculus นิดหน่อย จะได้ว่าในช่วง $\alpha \in [-\sqrt{2},\sqrt{2}]$ มีค่าวิกฤตสามค่า นั่นก็คือ $-\sqrt{2},\sqrt{2},1-\sqrt{2}$

เมื่อลองแทนดูก็จะได้

$f(\sqrt{2}) = 3\sqrt{2}+2$
$f(-\sqrt{2}) = -3\sqrt{2}+2$
$f(1-\sqrt{2}) = -2\sqrt{2}+1$

ค่าต่ำสุดของ $\left| \sin{x}+\csc{x}+\tan{x}+\cot{x}+\cos{x}+\sec{x}\right| $ คือ $2\sqrt{2}-1$

7. ถ้า $\displaystyle{\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{2004}{2005}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...52&postcount=9
http://www.mathcenter.net/forum/show...4&postcount=11

8. จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{2}{1^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{2^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{3^2})}+... < \pi}$

Solution

อันนี้เป็นวิธีที่ผมคิดได้ ไม่รู้ว่ามีใครมีวิธีที่สวยกว่านี้รึเปล่านะครับ

สังเกตว่า $\displaystyle{{\tan^{-1}{(\frac{2}{1^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{2^2})} = \frac{\pi}{2}}}$

ดังนั้น เราต้องการ $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{2}{3^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{4^2})}+\tan^{-1}{(\frac{2}{5^2})}+... < \frac{\pi}{2}}$

ค่าในฟังก์ชัน arctan เมื่อเราบวกไปเรื่อย จะพบว่ามันจะถูกไล่เป็นลำดับ ดังนี้ $\displaystyle{\frac{2}{9},\frac{5}{14},\frac{9}{20},\frac{14}{27},\frac{20}{35},...,\frac{\frac{1}{2}(n^2+3n)}{\frac{1}{2}(n^2+ 7n+10)}}$

ดังนั้น $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}{\frac{2}{n^2}} = \frac{\pi}{2}+\lim_{n\rightarrow\infty}\tan^{-1}{(\frac{n^2+3n}{n^2+7n+10})}}$

$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \tan^{-1}{\frac{2}{n^2}} = \frac{\pi}{2}+\frac{\pi}{4} = \frac{3\pi}{4} < \pi}$

9. จงแก้อสมการ $\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} \geq 3$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...23&postcount=8

10. กำหนดให้ $\displaystyle{S = \cos{(\frac{\pi}{2549})}+\cos{(\frac{3\pi}{2549})}+\cos{(\frac{5\pi}{2549})}+...+\cos{(\frac{2547\pi}{2549})}}$ จงหาค่าของ $\log_{\frac{1}{S}}{1024S}$

Solution

$\displaystyle{2S\sin{(\frac{\pi}{2549})} = 2\sin{(\frac{\pi}{2549})}(\cos{(\frac{\pi}{2549})}+\cos{(\frac{3\pi}{2549})}+\cos{(\frac{5\pi}{2549})}+...+\cos{(\frac{2547\pi}{ 2549})})}$

$\displaystyle{2S\sin{(\frac{\pi}{2549})} = (\sin{(\frac{2\pi}{2549})}+\sin{(\frac{4\pi}{2549})}+...+\sin{(\frac{2548\pi}{2549})})-(\sin{(\frac{2\pi}{2549})}+\sin{(\frac{4\pi}{2549})}+...+\sin{(\frac{2546\pi}{2549})})}$

$\displaystyle{S = \frac{\sin{(\frac{2548\pi}{2549})}}{2\sin{(\frac{\pi}{2549})}}} = \frac{1}{2}$

$\log_{\frac{1}{S}}{1024S} = \log_2{512} = 9$

[-Math-Sci-]

9. จงแก้อสมการ $\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} \geq 3$

$\sqrt{x^2-3x-1}+\sqrt{x^2-3x-2}+\sqrt{x^2-3x-3}+\sqrt{x^2-3x-4} = S $

$\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{13}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{17}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{21}{4}}+\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}} \geq 3$


พิจารณา $\sqrt{(x-\frac{3}{2})^2-\frac{25}{4}} \geq 0 $

$(x-\frac{3}{2})^2 \geqslant \frac{25}{4}$

แทนในรากทุกตัว

$S \geqslant \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{13}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{17}{4}}+ \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{21}{4}} + \sqrt{\frac{25}{4}-\frac{25}{4}} = \sqrt{3} + \sqrt{2} + \sqrt{1} + 0 \geq 3 $

edit : เผื่อใครงง สรุปช่วง ตอบ $(-\infty,-1] \cup [4,\infty)$ มาจาก $x^2-3x-4 \geq 0 $

[Thgx0312555]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

7. ถ้า $\displaystyle{\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)} = \frac{2004}{2005}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}}$

ให้ $x=\dfrac{a-b}{a+b},y=\dfrac{b-c}{b+c},z=\dfrac{c-a}{c+a}$
จะได้ $xyz=\dfrac{2004}{2005}$

จาก $(x+1)(y+1)(z+1)=\dfrac{8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
และ $(x-1)(y-1)(z-1)=\dfrac{-8abc}{(a+b)(b+c)(c+a)}$

$(x+1)(y+1)(z+1)+(x-1)(y-1)(z-1)=0$
$xyz+x+y+z=0$
$\therefore x+y+z=-\dfrac{2004}{2005}$

$\dfrac{a}{a+b}+\dfrac{b}{b+c}+\dfrac{c}{c+a} = \dfrac{x+1}{2}+\dfrac{y+1}{2}+\dfrac{z+1}{2}=\dfrac{4011}{4010}$

[Slow_Math]

ข้อ 10 Hint : คูณ 2sin pi/2549 เข้าไป

[Keehlzver]

ผมมาแถมให้ครับ
ข้อ 7 สังเกตว่า
$\frac{a-b}{a+b}+\frac{b-c}{b+c}+\frac{c-a}{c+a}=\frac{(a-b)(b-c)(a-c)}{(a+b)(b+c)(c+a)}$
ก็จะได้ว่า
$\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{c+a}=\frac{1}{2}(3-\frac{(a-b)(b-c)(c-a)}{(a+b)(b+c)(c+a)})$

[-InnoXenT-]

ข้อ 8. นี่ทำยังไงเหรอครับ

[-InnoXenT-]

11. กำหนดให้ $\displaystyle{\delta = x^{x^{x^{x^{...}}}}}$ เมื่อ $\delta\in\mathbb{R}$ จงหาค่าสูงสุดของ $\delta$

Solution

กำหนดให้ $\displaystyle{y = x^{x^{x^{x^{...}}}}} \rightarrow y = x^y \rightarrow \ln{y} = y\ln{x}$

$\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y} = \ln{x}}$
ต้องดูว่า $\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y}}$ มีค่าอะไรได้บ้าง ใช้แคลคูลัส หาจุดวิกฤติ ก็จะได้ว่า $\displaystyle{\frac{\ln{y}}{y} \leq \frac{1}{e}}$

ดังนั้น $x \in (-\infty,e^{\frac{1}{e}})$

จาก $\displaystyle{y = x^y \rightarrow y^{\frac{1}{y}} = x}$ ดังนั้น ค่ามากสุดของ $\delta = e$

12. กำหนดให้ $A = \bmatrix{1 & 1 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -2}$
$B = A^{15}+A^{14}+...+I$
$C = A^{15}-A^{14}+A^{13}-...+A-I$
จงหา $\displaystyle{\frac{\det{(AB)}}{\det{C}}}$

Solution

สังเกตว่า $B = (A+I)(A^2+I)(A^4+I)(A^8+I)$ และ $C = (A-I)(A^2+I)(A^4+I)(A^8+I)$
ดังนั้น $\displaystyle{\frac{\det{(AB)}}{\det{C}} = \frac{\det{A}\det{B}}{\det{C}} = \frac{\det{A}\det{(A+I)}}{\det{(A-I)}} = \frac{4\times (-1)}{9}} = -\frac{4}{9}$

13. จงแก้ระบบสมการ
$x + y + z = 0$
$x^3+y^3+z^3 = 12$
$x^6+y^6+z^6 = 264$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=15

14. จงแก้สมการ $\displaystyle{\tan^{-1}{(\frac{1}{x})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+3})}+\tan^{-1}{(\frac{1}{x+6})} = \frac{\pi}{4}}$

Solution

ย้ายข้างสักตัว แล้ว take $\tan$ ธรรมดา จะได้
สมการ $x^3+6x^2-3x-26 = 0$
$x = 2, -4\pm\sqrt{3}$

15. กำหนดให้ $a+b+c = 1$ และ $a^2+b^2+c^2 = 2$ จงหาค่าสูงสุดของ
$\displaystyle{(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...0&postcount=14

[Pain 7th]

15. $\displaystyle{(1+a)(1+b)(1+c)+(a+b)(b+c)(c+a)}= (ab+bc+ca+1)(a+b+c+1)= 2(1-\dfrac{1}{2})=1$

มันเท่ากับเลยอ่ะครับ ไม่แน่ใจว่าถูกไหมนะครับ

[Pain 7th]

13. $x+y+z= 0 , x^3+y^3+z^3= 3xyz$ จะได้ $xyz=4$

$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3 = -60$

$x^3y^3+y^3z^3+z^3x^3-3x^2y^2z^2= (xy+yz+zx)(xy+yz+zx)^2$

$xy+yz+zx = -3\sqrt[3]{4}$

เพราะฉะนั้น x,y,z เป็นราของสมการ

$A^3-3\sqrt[3]{4}A-4=$

$A= \sqrt[3]{16}, -\sqrt[3]{2},-\sqrt[3]{2}$

[Slow_Math]

12 Hint: AB = ? , AC = ?