my math problem collection

[-InnoXenT-]

16. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}^+$ ที่ทำให้ $\displaystyle{\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}+\frac{c}{b}+\frac{a}{c}}$ จงพิสูจน์ว่า $\displaystyle{(\frac{a}{b})^n+(\frac{b}{c})^n+(\frac{c}{a})^n=(\frac{b}{a})^n+(\frac{c}{b})^n+(\frac{a}{c})^n}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...1&postcount=25

17. กำหนดให้ $x_1,x_2,...x_{84}$ เป็นรากของ $x^{84}+7x-6 = 0$ จงหา $\displaystyle{\sum_{k=1}^{84}\frac{x_k}{x_k-1}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...0&postcount=22

18. กำหนดให้ $a,b,c \in \mathbb{R}$ ที่ทำให้
$\left| a+b+c\right| \leq 3 $
$\left| a-b+c\right| \leq 2 $
$\left| a+b-c\right| \leq 1 $
จงหาค่ามากที่สุดของ $\left| a+2b+3c\right|$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...9&postcount=28

19. กำหนดให้ $P(x) = x^6-x^5-x^3-x^2-x$ และ $Q(x) = x^4-x^3-x^2-1$
$Q(x)$ มี $z_1,z_2,z_3,z_4$ เป็นราก
จงหาค่าของ $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4)$

Solution

สังเกตว่า $P(x) = x^2Q(x)+Q(x)+x^3+x^2+1$
ดังนั้น $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4) = (z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3)+(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2)+4$
เรารู้ว่า $z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^2-2(z_1z_2+z_1z_3+z_1z_4+z_2z_3+z_2z_4+z_3z_4) = 1^2-2(-1) = 3$

และ $z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^3-3(z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1^2z_4+z_2^2z_1+z_2^2z_3+z_2^2z_4+z_3^2z_1+z_3^2z_2+z_3^2z_4+z_4^2z_1+z_4^2z_2+z_4^2z_3)-6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)$

สังเกต $z_1^2z_2+z_1^2z_3+z_1^2z_4+z_2^2z_1+z_2^2z_3+z_2^2z_4+z_3^2z_1+z_3^2z_2+z_3^2z_4+z_4^2z_1+z_4^2z_2+z_4^2z_3$

$= z_1^2(z_2+z_3+z_4)+z_2^2(z_1+z_3+z_4)+z_3^2(z_1+z_2+z_4)+z_4^2(z_1+z_2+z_3)$

$= z_1^2(1-z_1)+z_2^2(1-z_2)+z_3^2(1-z_3)+z_4^2(1-z_4)$

$= z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2-z_1^3-z_2^3-z_3^3-z_4^3$

ดังนั้นทั้งก้อนด้านบนจะได้

$z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = (z_1+z_2+z_3+z_4)^3-3(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2-z_1^3-z_2^3-z_3^3-z_4^3)-6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)$

$z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = \frac{1}{2}(6(z_1z_2z_3+z_1z_2z_4+z_2z_3z_4+z_1z_3z_4)- (z_1+z_2+z_3+z_4)^3+3(z_1^2+z_2^2+z_3^2+z_4^2))$

$z_1^3+z_2^3+z_3^3+z_4^3 = \frac{1}{2}(6(1)-1^3+3(3)) = 7$
ดังนั้น $P(z_1)+P(z_2)+P(z_3)+P(z_4) = 7+3+4 = 14$

20. จงหาค่า $a < b < c$ ทั้งหมด ที่ทำให้
$2^a+2^b+2^c = 33554466$

Solution

$2^a(1+2^{b-a}+2^{c-a}) = 16777233\times2$
$a = 1$
$2^{b-1}+2^{c-1} = 16777232$
$2^{b-1}(1+2^{c-b}) = 1048577\times16$
$b = 5$
$2^{c-5} = 1048576$
$c = 25$

[polsk133]

19.ใช่6รึเปล่าครับ

[-InnoXenT-]

ไม่ทราบเหมือนกันครับ เพราะโจทย์ที่ผมโพสท์ส่วนใหญ่ ผมยังไม่เคยลองทำ ผมโพสท์แล้วถึงจะมาลองทำกับทุกๆคนในนี้นี่แหละ

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133

19.ใช่6รึเปล่าครับ

ผมคิดได้ 14 นะครับ

[Slow_Math]

16. Induction หรือ สมมุติตัวแปร $x,y,z$
19. $Q(x)$ หาร $P(x)$
20. $2^a(1+2^{b-a}+2^{c-a}) = 33554466$

[Suwiwat B]

ข้อ 17 เเอบอธิบายยากมากๆๆๆๆ
สังเกตก่อนว่า$ x_1 -1,x_2 -1 ,...,x_{84} - 1$ เป็นรากของสมการ$ (x+1)^{84} + 7(x+1) - 6 = 0$
นั่นคือ$ x^{84} + ... + 91x+2=0$
ดังนั้น
$\sum_{n = 1}^{84}\frac{1}{x_k -1}$
$= \sum_{n=1}^{84}\frac{ผลบวกของผลคูณที่ละ 83 ตัว}{ผลคูณราก 84 ตัว}$
$= -\frac{91}{2}$
ทำให้
$\sum_{n = 1}^{84}\frac{x_k}{x_k -1}$
$= \sum_{n = 1}^{84}(1+\frac{1}{x_k -1}) $
$= 84 - \frac{91}{2}$
$=\frac{77}{2}$

[truetaems]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

5. $m \otimes n = \frac{m+n}{mn+4}$
ได้ ว่า $k \otimes 2 = \frac{k+2}{2k+4}$ = $\frac{1}{2}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
ดังนั้น $((...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 1)\otimes 0)$
= $(\frac{1}{2}\otimes 1)\otimes 0 = \frac{\frac{3}{2}}{\frac{9}{2}} = \frac{1}{3} \otimes 0 = \frac{\frac{1}{3}}{4} = \frac{1}{12}$

ได้ ว่า $k \otimes 2 = \frac{k+2}{2k+4}$ = $\frac{1}{2}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
คิดยังไงครับ ผมยังมองไม่ออกเลย

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

ได้ ว่า $k \otimes 2 = \frac{k+2}{2k+4}$ = $\frac{1}{2}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
คิดยังไงครับ ผมยังมองไม่ออกเลย

ผมก็มองไม่ออกครับ

[Thgx0312555]

16 สมมติ $x=\dfrac{a}{b},y=\dfrac{b}{c},z=\dfrac{c}{a}$
จาก $x+y+z=xy+yz+zx$ และ $xyz=1$
$x+y+z-1=xy+yz+zx-1$
$xyz-xy-yz-zx+x+y+z-1=0$
$(x-1)(y-1)(z-1)=0$

$(x^n-1)(y^n-1)(z^n-1)=0$
จัดรูปจะได้ตามต้องการครับ

[yellow]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

ได้ ว่า $k \otimes 2 = \frac{k+2}{2k+4}$ = $\frac{1}{2}$ เมื่อ k เป็นจำนวนจริงใดๆ
คิดยังไงครับ ผมยังมองไม่ออกเลย

ดูที่ $k = (...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 3)$ ครับ

[-InnoXenT-]

ข้อ 18. นี่คิดไม่ออกจริงๆนะเนี่ย

[Suwiwat B]

ข้อ 18 ผมลองคิดมั่วๆ ดูนะครับ โดยถอด absolute ออกก่อนจะได้
$-3\leqslant a+b+c \leqslant 3$ คูณ 2.5 ทั้งอสมการได้ $-7.5 \leqslant 2.5a+2.5b+2.5c \leqslant 7.5$
$-2\leqslant a-b+c \leqslant 2$ คูณ -0.5 ทั้งอสมการได้ $-1 \leqslant -0.5a+0.5b-0.5c \leqslant 1$
$-1\leqslant a+b-c \leqslant 1$ คูณ -1 ทั้งอสมการได้$ -1 \leqslant -a-b+c \leqslant 1$
บวกกันหมดจะได้
$-9.5 \leqslant a+2b+3c \leqslant 9.5$
$|a+2b+3c|\leqslant 9.5$
น่าจะตอบ $9.5$
สำหรับตัวคูณ ถ้าถามว่ารู้ได้อย่างไรว่าต้องคูณด้วย 2.5 , -0.5 , -1 ผมให้ตัวคูณเป็น x , y , z เเล้วตั้งสมการ
$$x+y+z = 1$$
$$x-y+z=2$$
$$x+y-z=3$$

[-InnoXenT-]

21. จงหาค่า $x,y,z \in \mathbb{I}$ ทั้งหมดที่ทำให้
$x^3-4x^2-16x+60=y$
$y^3-4y^2-16y+60=z$
$z^3-4z^2-16z+60=x$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=30

22. กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \left\lfloor\frac{n^2+11n+270}{n+12}\right\rfloor }$ จงหา $a_{100}+a_{101}+...+a_{400}$

Solution

$\displaystyle{a_n = \left\lfloor n-1+\frac{282}{n+12}\right\rfloor }$

$\displaystyle{a_n = \cases{n-1+\left\lfloor\frac{282}{n+12}\right\rfloor & , 0 < n \leq 270 \cr n-1 & , n > 270} }$

พิจารณา ค่าใน floor function เฉพาะค่า 100 ถึง 400 จะได้
$\displaystyle{\left\lfloor\frac{282}{n+12}\right\rfloor = \cases{2 & , 100\leq n\leq 129 \cr 1 & , 129< n \leq 270 \cr 0 & , 270 < n \leq 400} }$

$\displaystyle{a_{100}+a_{101}+...+a_{400} = \sum_{n=100}^{400} n - 400+2(129-100+1)+1(270-130+1)}$

$\displaystyle{a_{100}+a_{101}+...+a_{400} = \frac{400(400+1)}{2}-400+60+141} = 80001$

23. จงแก้สมการ $(\sin{x}+\sin{(2x)}+\sin{(3x)})^2+(\cos{x}+\cos{(2x)}+\cos{(3x)})^2 = 1$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...9&postcount=31

24. กำหนดให้ $\displaystyle{A=\frac{1}{\sqrt[3]{1000}}+\frac{1}{\sqrt[3]{1001}}++\frac{1}{\sqrt[3]{1002}}+...+\frac{1}{\sqrt[3]{1000000}}}$ จงหาค่าของ $\left\lfloor\frac{A}{4}\right\rfloor $

Solution

$\displaystyle{\int_{10^3}^{10^6+1}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx \leq \sum_{x=10^3}^{10^6}\frac{1}{\sqrt[3]{x}}\leq \frac{1}{\sqrt[3]{1000}}+\int_{10^3}^{10^6}\frac{1}{\sqrt[3]{x}} dx}$

$\displaystyle{14850.01 \leq A \leq 14850.1}$

$\displaystyle{3712.5025 \leq \frac{A}{4} \leq 3712.525}$

$\displaystyle{\left\lfloor\frac{A}{4}\right\rfloor = 3712}$

25. กำหนดให้ $\theta$ เป็นค่าคงที่ในช่วง $(0,\pi)$ ที่ทำให้ $\displaystyle{x+\frac{1}{x}=2\cos{\theta}}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{x^n+\frac{1}{x^n}}$ ในรูปของ $n$ และ $\theta$ เมื่อ $n \in \mathbb{I}^+$

Solution

พิสูจน์ไม่ยากว่า $x = e^{\pm j\theta}$ เมื่อ $j = \sqrt{-1}$
ดังนั้น $x^n + \frac{1}{x^n} = e^{\pm j\theta}+e^{\mp j\theta} = 2\cos{(n\theta)}$

[Suwiwat B]

ข้อ 21 จัดรูปสมการเล็กน้อยจะได้
$(x-4)^2(x+4)=y+4$
$(y-4)^2(y+4)=z+4$
$(z-4)^2(z+4)=x+4$
จับคูณหมดเลยจะได้
$(x+4)(y+4)(z+4)(x-4)^2(y-4)^2(z-4)^2 = (x+4)(y+4)(z+4)$
ดังนั้น $(x+4)(y+4)(z+4)=0$หรือ $(x-4)(y-4)(z-4)=1 $หรือ $(x-4)(y-4)(z-4)=-1$
กรณีที่ 1 : $(x+4)(y+4)(z+4)=0$ สมมติว่า$ x=-4$ เมื่อนำกลับไปเเทนในสมการ จะได้ว่า$ x=y=z=-4$ เท่านี้น ($y $กับ $z$ เช่นกัน)
กรณีที่ 2 :$ (x-4)(y-4)(z-4)=1$ จะได้ว่า$( x-4=1 เเละ y-4=1 เเละ z-4=1)$ หรือ$(มี 1 คู่ที่เป็น -1)$
ซึ่งเเบบหลังเป็นไปไม่ได้ (ลองไปเเทนดูนะครับ) ทำให้ $x=y=z=5$
กรณีที่ 3 : $(x-4)(y-4)(z-4)=-1$ จะได้ว่า$( x-4=-1 เเละ y-4=-1 เเละ z-4=-1)$ หรือ $(มี 1 คู่ที่เป็น 1)$
ซึ่งเเบบหลังเป็นไปไม่ได้ (ลองไปเเทนดูนะครับ เหมือนกัน) ทำให้ $x=y=z=3$

สรุปได้ว่า คำตอบ$ (x,y,z)$ ที่เป็นไปได้คือ $(-4,-4,-4) , (5,5,5) , (3,3,3)$

[Suwiwat B]

23.
จาก $(sinx + sin2x+sin3x)^2 = (2sin2xcosx + sin2x)^2 = sin^2 2x(2cosx+1)^2$
$(cosx+cos2x+cos3x)^2 = (2cos2xcosx+cos2x)^2 = cos^2 2x(2cosx+1)^2$
จะได้ $(sin^2 2x + cos^2 2x)(2cosx+1)^2 = 1$
$(2cosx+1)^2 = 1$
$2cosx+1 = 1$ หรือ$ 2cosx+1=-1$
$cosx=0 $หรือ$ cosx=-1$
$x = n\pi + \frac{\pi}{2} , 2n\pi + \pi$ โดย $n$ เป็นจำนวนเต็ม