my math problem collection

[-InnoXenT-]

ข้อ 24. นี่ไปไม่เป็นจริงๆครับ T T

[-Math-Sci-]

#32 คุ้น ๆ ว่า ต้องฝัน ช่วงขึ้นมา

แต่ถ้าไม่ัฝันต้องใช้ integrate อ่ะครับ จำได้ว่า พี่ gon เคย โพสต์ไว้ในไหนสักที่นี่แหละ

[-InnoXenT-]

โอเคครับ ได้แล้วครับ

26. กำหนดให้ $p\in \mathbb{R}$ จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}= x$

Solution

http://www.pratabong.com/P_web/math/...14/pc00041.htm

27. ถ้าผลคูณของรากสองค่าจากทั้งสี่ค่าของสมการ $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984 = 0$ มีค่าเท่ากับ $-32$ จงหาค่า $k$

Solution

http://www.pratabong.com/P_web/math/...15/pc00043.htm

28. จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=38

29. กำหนดให้ $\displaystyle{a_n = \sqrt{9+\sqrt{a_{n-1}}}, a_1 = 9}$ จงหาค่าของ $\displaystyle{\lim_{n\rightarrow\infty}a_n}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...8&postcount=41

30. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}+\sqrt{3}\big(\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}\big) = 2x}$ เมื่อ $x\geq 0$

Solution

พิสูจน์ว่า $x\le2$

ดูที่พจน์ที่สอง
$\sqrt{2-x}$ ---> $x\le2$
$\sqrt{2-\sqrt{2+x}}$ ---> $\sqrt{2+x}\le2$---> $x\le2$
$\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+x}}}$ ---> $\sqrt{2+\sqrt{2+x}}\le2$

กำหนดให้ $x = 2\cos{\theta}$ และใช้สูตรตรีโกณที่ว่า $\displaystyle{\sqrt{2+2\cos{\theta}} = 2\cos{\frac{\theta}{2}}}$ และ $\displaystyle{\sqrt{2-2\cos{\theta}} = 2\sin{\frac{\theta}{2}}}$ จะได้

$\displaystyle{\frac{1}{2}\cos{\frac{\theta}{8}}+\frac{\sqrt{3}}{2}\sin{\frac{\theta}{8}} = \cos{\theta}}$

$\displaystyle{\cos{(\frac{\theta}{8}-\frac{\pi}{3})} = \cos{\theta}}$

$\displaystyle{\theta = \frac{3\pi}{8}}$

$\displaystyle{x = \cos{\frac{3\pi}{8}}}$

[จูกัดเหลียง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

26. กำหนดให้ $p\in \mathbb{R}$ จงหาค่า $x$ ทั้งหมดที่ทำให้ $\sqrt{x^2-p}+2\sqrt{x^2-1}= x$

27. ถ้าผลคูณของรากสองค่าจากทั้งสี่ค่าของสมการ $x^4-18x^3+kx^2+200x-1984 = 0$ มีค่าเท่ากับ $-32$ จงหาค่า $k$

28. จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}}$

ข้อ 26.นี่ได้เเค่ว่า $x\in \mathbb{R}-(-1,1)$ ป่ะครับ
27. ผมได้เลขไม่สวยเลยครับ ไม่รู้ว่าคิดผิดหรือป่าว 555+
28.ผมได้ว่า $=2^{10}-1$ ครับ

[truetaems]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ yellow

ดูที่ $k = (...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 3)$ ครับ

ผมหมายถึงว่าจาก $k = (...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 3)$ แล้วเป็น $k \otimes 2 = \frac{k+2}{2k+4}$ = $\frac{1}{2}$ มาได้ไงครับ

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ truetaems

ผมหมายถึงว่าจาก $k = (...((2005\otimes 2004)\otimes 2003)\otimes ...\otimes 3)$ แล้วเป็น $k \otimes 2 = \frac{k+2}{2k+4}$ = $\frac{1}{2}$ มาได้ไงครับ

ก็เราให้ค่าข้างหน้า ไม่ว่าจะออกมากี่พันล้าน ล้าน ล้าน เป็น k แล้วเมื่อมา operate กับ 2 มันก็จะได้ $\frac{1}{2}$ เสมอไงครับ

ปัญหาคือ จะมอง trick นี้ออกยังไงมากกว่า

[-Math-Sci-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ -InnoXenT-

28. จงหาค่าของ $\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}}$

แนวนี้ไม่มีไรมากครับ บวกเพิ่ม ดึงข้างล่างออก เด่วก็จบ

$\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{7^{10}}+...}{\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+ \frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}} = k $


$\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+...}{ \frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+\frac{1}{8^{10}}+...}} = k+1 $

$\displaystyle{\frac{\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+\frac{1}{5^{10}}+\frac{1}{6^{10}}+...}{ \frac{1}{2^{10}}(\frac{1}{1^{10}}+\frac{1}{2^{10}}+\frac{1}{3^{10}}+\frac{1}{4^{10}}+...)}} = k+1 $

$2^{10} =k+1 $ ดังนั้น $k= 2^{10}-1 = 1023 $

[Keehlzver]

26. IMO 1963 ข้อ 1 ครับ
29. โจทย์สมมูลกับการหาค่าของ $\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+...}}}$

เอามาลงเยอะๆเลยครับ

[-InnoXenT-]

ผมไม่เข้าใจว่า โจทย์ข้อ 29. มันสมมูล กับ $\displaystyle{\sqrt{9+\sqrt{9+\sqrt{9+...}}}}$ ได้ยังไง

ผมคิดว่า ถ้าจะให้มันสมมูล โจทย์มันต้องเป็น $\displaystyle{a_n = \sqrt{9+a_{n-1}}}$ โดยที่ $a_1 = \sqrt{9}$ รึเปล่า

[Keehlzver]

ขอโทษในความสะเพร่าไม่ยอมลองแทนดูของนะครับ

มันได้ว่า $a_{n}=\sqrt{9+\sqrt[4]{9+\sqrt[4]{9+\sqrt[4]{9+...}}}}$ โดยที่ $n$ ระบุถึงจำนวนเลข 9 ที่ปรากฏ

จะได้สมการ $x=\sqrt{9+\sqrt{x}}$
ได้ว่า $x^2=9+\sqrt{x} \geq 9$ จะได้ $x \geq 3$
สมการข้างบนยกกำลังสองอีกครั้ง ได้สมการ $x^4-18x^2-x+81=0$
เพราะว่า $\frac{11663}{144}=80.99$
ดังนั้นสมการกำลังสี่นี้มีคำตอบใกล้เคียงกับสมการ $x^4-18x^2-x+\frac{11663}{144}=0$
หรือ $(x^2+6x+\frac{109}{12})(x^2-6x+\frac{107}{12})=0$
วงเล็บแรกไม่มีคำตอบ ดังนั้นวงเล็บหลังต้องเท่ากับศูนย์
ก็จะได้ว่า $x$ มีค่าเท่ากับ $3+\frac{\sqrt{3}}{6}$ หรือ $3-\frac{\sqrt{3}}{6}$
แต่ $x \geq 3$ ต้องได้ว่า $x=3+\frac{\sqrt{3}}{6}$
ดังนั้นข้อนี้ตอบ 3.28 ครับ

[-InnoXenT-]

วิธีทำนี้คิดไม่ถึงเลยครับ ปล่อยต่อเลยนะครับ

31. จงหาพหุนามดีกรี $4$ ที่มีคุณสมบัติดังนี้ $P(0) = 0,P(1)=P(2)=P(3)=P(4)$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...2&postcount=45

32. ในการกระจาย $(\sqrt[4]{2}+\sqrt[8]{5})^{222}$ มีพจน์กี่พจน์ที่ไม่เป็นจำนวนเต็ม

Solution

ใช้ทฤษฎีการกระจายธรรมดา แล้วหาพจน์ที่เป็นจำนวนเต็ม โดยสังเกตเลขชี้กำลัง จะได้ว่า พจน์ทุกพจน์เป็นจำนวนอตรรกยะ

33. จงหาค่า $k$ ที่ทำให้ $\displaystyle{\frac{2000!}{1000!} = k(1\times3\times5\times7\times ...\times1997\times1999)}$

Solution

http://www.mathcenter.net/forum/show...7&postcount=44

34. จงหาค่า $a$ ที่เป็นไปได้ จากอสมการ $\displaystyle{\log_{(a^2+a+1)}{(3x^2+4)}-\log_{(a^2+a+1)}{(x^2+1)}>1}$

Solution

แบ่งเป็น 2 กรณี กรณีแรก คือ $0 < a^2+a+1 < 1$ เมื่อเช็คดูจะได้ว่า $-1 < a < 0$
จัดรูปธรรมดาจะได้
$\displaystyle{\frac{3x^2+4}{x^2+1} < a^2+a+1}$
$\displaystyle{3+\frac{1}{x^2+1} < a^2+a+1}$
เห็นได้ชัดว่า $\displaystyle{3 + \frac{1}{x^2+1} > 3}$
แต่เรารู้ว่า $\displaystyle{a^2+a+1 < 1}$ จึงขัดแย้งกัน ไม่มีค่า $a$ ที่เป็นไปได้ในช่วงนี้

กรณีที่สอง คือ $a^2+a+1 > 1$ จะได้ $a \in (-\infty,-1)\cup (0,\infty)$
จัดรูปธรรมดาจะได้
$\displaystyle{\frac{3x^2+4}{x^2+1} > a^2+a+1}$
$\displaystyle{3+\frac{1}{x^2+1} > a^2+a+1}$
จะได้ $3 < a^2+a+1 < 4$
จากอสมการข้างบนจะแก้ได้ $\displaystyle{((-\infty,-2)\cup (1,\infty )\cap (\frac{1-\sqrt{13}}{2},\frac{\sqrt{13}-1}{2})}$

ดังนั้น ค่าที่เป็นไปได้ของ $a$ คือ $\displaystyle{(1,\frac{\sqrt{13}-1}{2})}$

35. จงแก้สมการ $\displaystyle{\sqrt{x+\sqrt{x}}-\sqrt{x-\sqrt{x}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{x}{x+\sqrt{x}}}}$

Solution

อย่างแรกคือ $x \neq 0$
นำ $\sqrt{x+\sqrt{x}}$ คูณตลอด จะได้
$x+\sqrt{x}-\sqrt{x^2-x} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$
ย้าย $\sqrt{x}$ ไปลบ แล้วนำ $\sqrt{x}$ หารตลอด ($x\neq0$)
สมการจะกลายเป็น $\sqrt{x} - \sqrt{x-1} = \frac{1}{2}$

ตอบ $x = \frac{25}{16}$

[Suwiwat B]

ข้อ 34 ดูเเปลกดี เเต่ไม่เเน่ใจเท่าไร
จัดไปมามันจะได้ $\frac{3x^2 +4}{x^2 +1} > a^2 + a+1$
ให้$ f(x) = \frac{3x^2 +4}{x^2 +1}$ จะได้ว่า $3<f(x)\leqslant 4$
หมายความว่า $f(x) > a^2 + a + 1$ ได้นั้น$ a^2+a+1 \leqslant 3$ เท่านั้น
ดังนั้น $-2\leqslant a\leqslant 1 $

[Slow_Math]

ขอข้อง่ายแล้วกันครับ ข้อ 33

$\dfrac{2000!}{1000!1000!} = \dfrac{2000!(k)}{1000!(2*4*6*...*2000) }$

จะได้ว่า $k=2^{1000}$

[Suwiwat B]

ข้อ 31 ผมได้เเปลกๆเเบบนี้นะครับ
ให้ $P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=k$ เเละให้ $Q(x)=P(x)-k$ จะได้ว่า $Q(1)=Q(2)=Q(3)=Q(4)=0$
ดังนั้น $Q(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)$
$P(x) = a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)+k$
เนื่องจาก $P(0)=0 $จะได้ $k=-24a$
ดังนั้น $P(x)=a(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)-24a$

[-InnoXenT-]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

ข้อ 34 ดูเเปลกดี เเต่ไม่เเน่ใจเท่าไร
จัดไปมามันจะได้ $\frac{3x^2 +4}{x^2 +1} > a^2 + a+1$
ให้$ f(x) = \frac{3x^2 +4}{x^2 +1}$ จะได้ว่า $3<f(x)\leqslant 4$
หมายความว่า $f(x) > a^2 + a + 1$ ได้นั้น$ a^2+a+1 \leqslant 3$ เท่านั้น
ดังนั้น $-2\leqslant a\leqslant 1 $

ผมว่ามันต้องมีกรณีที่ $0<a^2+a+1<1$ ด้วยนะครับ