[สอวน. สวนกุหลาบ 2555] ข้อสอบ สอวน.ค่าย1/2555 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย (วันที่1)

[Poom Lertpinyowong]

ข้อสอบ สอวน.ค่าย1/2555 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย (วันที่1 วิชา พีชคณิต เรขาคณิต อสมการ)
ช่วยคิดอสมการกับพีชคณิตข้อ 4 หน่อยครับ

[กระบี่ทะลวงด่าน]

Algebra ข้อ4
1.หาp(0)
2.เขียน $p(n)=a_nx^n+...$. เเล้วใส่ลงสมการ
3.เทียบสัมประสิทธิ์ได้ $2^n=8$
4.n=3.
5.หา p(2),p(-2)
6.จบเเล้ว

[gon]

ข้อ 4. พีชคณิต ผมได้คำตอบไม่สวยเลยครับ.

solution

จัดรูปเป็น $(x+7)P(2x) = 8x\cdot P(x+1)$

เทียบ ส.ป.ส. $x^{n+1}$ จะได้ $2^na_n = 8a_n \Rightarrow n = 3$

ดังนั้น $(x+7)(a_0 + 2a_1x + 4a_2x^2+8a_3x^3) = 8x[a_0+a_1(x+1)+a_2(x+1)^2+a_3(x+1)^3]$

เทียบ ส.ป.ส. $x^0$ จะได้ $7a_0 = 0 \Rightarrow a_0 = 0$


เทียบ ส.ป.ส. $x^3$ จะได้ $4a_2+56a_3=8(a_2+3a_3) \Rightarrow a_2 = 8a_3$

เทียบ ส.ป.ส. $x^2$ จะได้ $2a_1+28a_2=8(a_1+ + 2a_2+3a_3) \Rightarrow a_1 = 12a_3$

ดังนั้น $P(x) = a_1x+a_2x^2 + a_3x^3 = a_3x(12+8x+x^2)$

แล้ว $a_3 = \frac{P(1)}{21}$

ดังนั้น $P(-1)= -5a_3 = -\frac{5}{21}P(1) = -\frac{(5)(2555)}{21}$

[polsk133]

ผมคิดได้เท่าคุณgon

[polsk133]

น้องกระบี่ทะลวงด่าน โหดมาก55 แอบฟังมาทำได้เยอะมาก

[~ArT_Ty~]

ข้อ 1 พีชคณิต ลองดูว่าถ้าฝั่งซ้ายเป็นจำนวนเต็มแล้ว ${x}$ ควรเท่ากับเท่าใด จากนั้นก็ตั้งสมการไปตรงๆเลยครับ

โดยให้ $\left\lfloor\,x\right\rfloor = x-\delta $ โดยที่ $0\leqslant \delta<1$

เพราะเราเห็นชัดๆอยู่แล้วว่า $x>0$ แล้วก็ทำไปเรื่อยๆก็จะได้คำตอบออกมา

[กระบี่ทะลวงด่าน]

555. พี่ polsk133 ครับ คือที่ว่าโหดน่ะไม่จริงหรอกครับ ลืมเขียนคำว่าพิสูจน์ต้นข้อของทุกข้อ เเถมข้อ4เรขายังใช้กฎของsine เเทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมคล้าย. ออกมาเเทนที่จะยิ้มเลยเซ็งเลยครับ 555

[Speedy Math]

Fe 1.
ย้ายข้าง จัดรูป $(x-1)(y-1)(z-1)\leqslant 0$
จาก $ \sum_{n = 0}^{7} x^n > 0 $ และเช่นเดียวกันกับ $ y $ และ $ z $
จับคูณ กระจาย จัดรูป $\frac{1}{x^8} +\frac{1}{y^8} +\frac{1}{z^8} \geqslant x^8+y^8+z^8$
//เร็วไปป่ะครับ?

[~ArT_Ty~]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Speedy Math

Fe 1.
ย้ายข้าง จัดรูป $(x-1)(y-1)(z-1)\leqslant 0$
จาก $ \sum_{n = 0}^{7} x^n > 0 $ และเช่นเดียวกันกับ $ y $ และ $ z $
จับคูณ กระจาย จัดรูป $\frac{1}{x^8} +\frac{1}{y^8} +\frac{1}{z^8} \geqslant x^8+y^8+z^8$
//เร็วไปป่ะครับ?

หมายถึงแบบนี้ใช่มั้ยครับ

$$(x-1)(y-1)(z-1) \leqslant 0 $$
$$(x^7+x^6+...+x+1)(x-1)(y^7+y^6+...+y+1)(y-1)(z^7+z^6+...+z+1)(z-1) \leqslant 0 \rightarrow (x^8-1)(y^8-1)(z^8-1) \leqslant 0$$

แล้วก็จัดรูปก็จะได้ตามโจทย์ต้องการ

[polsk133]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กระบี่ทะลวงด่าน

555. พี่ polsk133 ครับ คือที่ว่าโหดน่ะไม่จริงหรอกครับ ลืมเขียนคำว่าพิสูจน์ต้นข้อของทุกข้อ เเถมข้อ4เรขายังใช้กฎของsine เเทนที่จะเป็นสามเหลี่ยมคล้าย. ออกมาเเทนที่จะยิ้มเลยเซ็งเลยครับ 555

แต่พี่ว่าเค้าให้คะแนนนะ ตอนสอนยังมีตรีโกณเลย เต็ม2วิชาแน่เลยน้อง โหดไปแล้ว

ปล. พี่ใช้ ทบ.ในหนังสืออะข้อนี้

[passer-by]

ข้อ 6 เรขา ถ้ารู้จัก Desargue theorem กับ Gergonne point จะจบในไม่กี่บรรทัดครับ

[TU Gifted Math#10]

Hint to all inequalities
1.For $x,y,z\in\mathbb{R}^+ ; xyz=1$ , prove that if $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\geq x+y+z$ Then $\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+\frac{1}{z^2}\geq x^2+y^2+z^2$
2.algebraic manipulation and we must prove that $\frac{x_1}{n-1+x_1}+\frac{x_2}{n-1+x_2}+...+\frac{x_n}{n-1+x_n}\geq 1$ by C-S
3.delete $(a+b+c)$ from 2 sides and use weight AM-GM
4.Just expanding
5.Use AM-GM
Source
2.Romania
4.Hongkong 1997
5.CRUX 1994, vol 20, problem no 1907

[~ArT_Ty~]

ข้อ 4 เรขา ลองสะท้อน $H$ ข้าม $AB$ ดูครับ และก็ลากเส้นผ่านศูนย์กลาง Circumcenter จากนั้นก็ดูดีๆว่าเส้นไหนที่มันยาวเท่ากับ $BC$

(Hint : คอร์ดที่รองรับมุมขนาดเท่ากันในวงกลมเดียวกันจะยาวเท่ากัน)

[polsk133]

สรุปความหนัก=IE & NT
เบาสุดก็คอมบิ
อีก2วิชาก็กลางๆ

มีใครคิดแบบผมไหม 555+ ดีนะคอมบิวิชาสุดท้าย ออกห้องมาสดใสกันทั่วค่าย ถ้านัมเบอร์วิชาสุดท้ายเดี๋ยวมีเครียดหนัก

[oKiNeSIuMo]

เกีบรติบัตรนี่เขาไม่แจกหรอครับ