[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2555] ข้อสอบปิดค่าย สอวน.มอ 55

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

ขอลองทำ ALGEBRA ข้อ1
$(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)$......เพราะ $x^5-x^4=x^2(x^3-x^2)=x^2$
$=(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1)$

$p(x)=x^3-x^2-1=(x-a)(x-b)(x-c)$
แทน $x=i$ จะได้ว่า $i^3-i^2-1=-i=(i-a)(i-b)(i-c)$
$(a-i)(b-i)(c-i)=i$.....(1)
แทน $x=-i$ จะได้ว่า $-i^3-i^2-1=i=(-i-a)(-i-b)(-i-c)$
$(a+i)(b+i)(c+i)=-i$.....(2)
(1)คูณ(2) $(a+1)(b+1)(c+1)=-i^2=1$

ผมใช้วิธีเดียวกับคุณหมอครับ แต่วิธีต่อไปนี้น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ซึ่งได้มาจากเด็กๆหลายคนที่ทำข้อนี้

$a^5-a^4+1=a^2+1=a^3$

ดังนั้น $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)=(abc)^3=1$

[Beatmania]

3. Algebra
ให่ $\frac{a}{b} =x$ $\frac{b}{c} =y$ $\frac{c}{a} =z$
จากจะได้ $x+y+z=xy+yz+zx$
$1-xy-yz-zx+x+y+z-1=0$
$(1-x)(1-y)(1-z)=0$
$\frac{a-b}{b} \frac{b-c}{c} \frac{c-a}{a} =0$
ได้ $a=b$ $b=c$ หรือ $c=a$
WLOG ให้ $a=b$
จะได้
$(\frac{a}{b} )^c+(\frac{b}{c} )^a+(\frac{c}{a} )^b=1+(\frac{a}{c} )^b+(\frac{c}{b} )^a=(\frac{b}{a} )^c+(\frac{c}{b} )^a+(\frac{a}{c} )^b$

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมใช้วิธีเดียวกับคุณหมอครับ แต่วิธีต่อไปนี้น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ซึ่งได้มาจากเด็กๆหลายคนที่ทำข้อนี้

$a^5-a^4+1=a^2+1=a^3$

ดังนั้น $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)=(abc)^3=1$

ว้าววว ลืมดูไปเลย ไปนั่งกระจายยุ

[กิตติ]

wowwwww.....ลืมทำต่อจากตอนแรก ขอบคุณคุณNoooNuiiครับ ผมทำตามความคุ้นเคยจนลืมที่จะมองต่อ เป็นหลุมพรางของการวนอยู่กับความเคยชินของเราครับ

[กิตติ]

Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
สำหรับ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
$ 3^{3n-1}+2^{n-1}=3^{3(n-1)+2}+2^{n-1}$
$=9\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
พิจารณา $2^{n-1}-3^{3(n-1)}$
$=2^{n-1}-27^{(n-1)}$
$=2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$
$(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษเท่ากับ $2^{n-1}$
ดังนั้น $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

$3^{3n-1}+2^{n-1}$ หารด้วย 5 ลงตัวเพราะ
$3^{3n-1}+2^{n-1}=10\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ และ
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว และ $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

[cardinopolynomial]

NT ข้อ 3. จากโจทย์ต้องการหา $gcd(1^9-1,2^9-2,3^9-3,....,100^9-100)$

จาก ทบ.ห.ร.ม.ของจำนวนสามจำนวน หาได้จาก $gcd (a, b, c) = gcd (gcd (a, b) , c) = gcd (a, gcd (b, c))$ นั่นคือ ห.ร.ม.มีสมบัติการเปลี่ยนหมู่

$gcd(gcd(1^9-1,2^9-2,3^9-3),4^9-4,5^9-5,....,100^9-100)$

$gcd(30,4^9-4,5^9-5,...,100^9-100)$

$gcd(gcd(30,4^9-4,5^9-5,....,99^9-9),100^9-100)$

$gcd(30,100^9-100)$

$30$

ผมยังไม่ค่อยเเน่ใจน่ะครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ผมใช้วิธีเดียวกับคุณหมอครับ แต่วิธีต่อไปนี้น่าจะเป็นวิธีที่ง่ายที่สุด ซึ่งได้มาจากเด็กๆหลายคนที่ทำข้อนี้

$a^5-a^4+1=a^2+1=a^3$

ดังนั้น $(a^5-a^4+1)(b^5-b^4+1)(c^5-c^4+1)=(abc)^3=1$

amazing ครับ

ว่าแต่ $ \ =1 \ $ มายังไงครับ ยังมึนๆอยู่

[Euler-Fermat]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

amazing ครับ

ว่าแต่ $ \ =1 \ $ มายังไงครับ ยังมึนๆอยู่

ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ ครับ เพราะ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $ x^3-x^2-1 = 0 $

ดังนั้น ผลคูณของราก $: abc = 1$

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

Number Theory

1. จงพิสูจน์ว่า $5 \mid 3^{3n-1}+2^{n-1}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$
สำหรับ $n$ ที่เป็นจำนวนเต็มบวก
$ 3^{3n-1}+2^{n-1}=3^{3(n-1)+2}+2^{n-1}$
$=9\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}$
$ \color{red}{=(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}}$
$ \color{blue}{=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}+2^{n-1}}$
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว
พิจารณา $2^{n-1}-3^{3(n-1)}$
$=2^{n-1}-27^{(n-1)}$
$=2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$
$(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 แล้วเหลือเศษเท่ากับ $2^{n-1}$
ดังนั้น $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

$3^{3n-1}+2^{n-1}$ หารด้วย 5 ลงตัวเพราะ
$3^{3n-1}+2^{n-1}=10\cdot 3^{3(n-1)}+2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ และ
$10\cdot 3^{3(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว และ $2^{n-1}-(25+2)^{(n-1)}$ หารด้วย 5 ลงตัว

ตรงบรรทัดสีแดง มาน้ำเงิน

$(a-b)^n \not= a^n-b^n \ $หรือเปล่าครับ

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

ความสัมพันธ์ของรากและสัมประสิทธิ์ ครับ เพราะ $a,b,c$ เป็นรากของสมการ $ x^3-x^2-1 = 0 $

ดังนั้น ผลคูณของราก $: abc = 1$

ขอบคุณครับ

[กิตติ]

จาก $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
ดังนั้น $3^{3(n-1)+2}=3^2\cdot 3^{3(n-1)} $
$(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}$ ก็กระจายผลคูณธรรมดาครับ
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}$

ลุงBankerทักผมแล้วทำเอาผมเสียวๆว่าผมจำอะไรผิด เดี๋ยวลองอ่านทวนที่ตัวผมเองทำอีกที

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ กิตติ

จาก $a^m\cdot a^n=a^{m+n}$
ดังนั้น $3^{3(n-1)+2}=3^2\cdot 3^{3(n-1)} $
$(10-1)\cdot 3^{3(n-1)}$ ก็กระจายผลคูณธรรมดาครับ
$=10\cdot 3^{3(n-1)}-3^{3(n-1)}$

ลุงBankerทักผมแล้วทำเอาผมเสียวๆว่าผมจำอะไรผิด เดี๋ยวลองอ่านทวนที่ตัวผมเองทำอีกที

คุณกิตติถูกแล้วครับ ผมมึนเอง นึกว่าตัวหลังวงเล็บเป็นเลขชี้กำลัง

หมู่นี้สายตาแปรปรวน

[กิตติ]

Number Theory

2. ผลคูณของจำนวนเต็มที่เรียงติดกัน 4 จำนวนไม่เป็นกำลังสองสมบูรณ์

ให้จำนวนทั้งสี่นั้นคือ $n,n+n,n+2,n+3$ เมื่อ $n$ เป็นจำนวนเต็ม

$n(n+1)(n+2)(n+3)=(n^2+3n)(n^2+3n+2)$
$=\left(\,(n^2+3n)^2+2(n^2+3n)\right) $
$=\left(\,(n^2+3n+1)^2-1\right) $

ดังนั้นเราเขียนผลคูณของทั้งสี่จำนวนในรูปของกำลังสองสมบูรณ์ไม่ได้

[banker]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Euler-Fermat

Number Theory


4.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ เป็นจำนวนอนันต์ ซึ่งทำให้ $2^n+3$ เป็นจำนวนประกอบ

$\because \ 2^0 = 1$

$ 2^1 = 2$

$ 2^2 = 4$

$ 2^3 = 8$

$ 2^4 = 16$
.
.
.
$2^4 = 2^0+2^1+2^2+2^3 -1$


$2^n = 2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{n-1} -1$

$2^n +3 = (2^0+2^1+2^2+2^3+...+2^{n-1}) +2 = \ $ จำนวนคู่ + จำนวนคู่ = จำนวนคู่ ---> จำนวนประกอบ

[lek2554]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ banker

$2^n = 2^0+2^1+2^2+2^3+...+\color{red}{n^{n-1}} -1$

$2^n +3 = (2^0+2^1+2^2+2^3+...+\color{red}{n^{n-1}} ) +2 $

หมู่นี้สายตาแปรปรวน