Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คณิตศาสตร์อุดมศึกษา
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 09 เมษายน 2014, 22:24
pormath pormath ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 02 เมษายน 2014
ข้อความ: 8
pormath is on a distinguished road
Default ช่วยพิสูจน์ Number หน่อยคร้าา

ให้ pและ q เป็นจำนวนเฉพาะคี่ ซึ่ง p\equiv 1(mod4) และq = 2p +1 จงพิสูจน์ว่า 2 เป็น primitive root modulo q
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 28 กรกฎาคม 2020, 19:23
Anton's Avatar
Anton Anton ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กรกฎาคม 2020
ข้อความ: 20
Anton is on a distinguished road
Send a message via ICQ to Anton Send a message via AIM to Anton Send a message via MSN to Anton Send a message via Yahoo to Anton Send a message via Skype™ to Anton
Default

อ้างอิง:
Problem. Let $p$ and $q$ be odd prime natural numbers. If $p\equiv 1\pmod{4}$ and $q=2p+1$, then verify that $2$ is a primitive element modulo $q$.
Let $k$ be the smallest possible positive integer such that $2^k\equiv 1\pmod{q}$. By Fermat's Little Theorem, we also know that $2^{q-1}\equiv 1\pmod{q}$. That is,
$$2^{\gcd(k,q-1)}\equiv 1\pmod{q}\,.$$
By minimality of $k$, we must have $\gcd(k,q-1)=k$. Therefore, $k\mid q-1=(2p+1)-1=2p$. This means $k\in\{1,2,p,2p\}$.

If $k=1$, then from $2^k\equiv 1\pmod{q}$, we get $2\equiv 1\pmod{q}$, whence $q\mid 2-1=1$, which is absurd. If $k=2$, then $2^k\equiv 1\pmod{q}$ implies that $2^2\equiv 1\pmod{q}$, so $q\mid 2^2-1=3$. Thus, $q=3$, but then from $q=2p+1$, we get $p=1$, which is again a contradiction. If $k=p$, then $2^p=2^k\equiv 1\pmod{q}$, so that
$$\left(2^{\frac{p+1}{2}}\right)^2=2^{p+1}=2\cdot 2^p\equiv 2\cdot 1=2\pmod{q}\,.$$
Thus, $2$ is a quadratic residue modulo $q$. However, $q=2p+1$ and $p\equiv 1\pmod{4}$ imply that $q\equiv 3\pmod{8}$. However, $\left(\dfrac{2}{q}\right)=(-1)^{\frac{q^2-1}{8}}=-1$ implies that $2$ is not a quadratic residue modulo $q$. This is another contradiction. Hence, $k=2p=q-1$. Therefore, $2$ is a primitive element modulo $q$.
__________________
Потом доказывай, что ты не верблюд.

28 กรกฎาคม 2020 21:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anton
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


หัวข้อคล้ายคลึงกัน
หัวข้อ ผู้ตั้งหัวข้อ ห้อง คำตอบ ข้อความล่าสุด
Number (การหารลงตัว) BLACK-Dragon ทฤษฎีจำนวน 7 26 มกราคม 2013 09:50
Number หารลงตัวและกำลังสองสมบูรณ์ Pain 7th ทฤษฎีจำนวน 6 05 ธันวาคม 2012 09:03
Number Thgx0312555 ทฤษฎีจำนวน 9 14 กรกฎาคม 2012 14:15
Number ที่คิดไม่ออก tatari/nightmare ทฤษฎีจำนวน 20 26 กันยายน 2008 21:21
เกี่ยวกับ Number tatari/nightmare ทฤษฎีจำนวน 3 12 กันยายน 2007 22:12

เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 03:11


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha