[สอวน. สวนกุหลาบ 2557] ข้อสอบ สอวน.ค่าย1/2557 ศูนย์สวนกุหลาบวิทยาลัย

[น้องเจมส์]

ข้อสอบวิชา พีชคณิต วันพฤหัสบดีที่ 23 ตุลาคม 2557 เวลา 8.30-10.30 น.

1. ให้ $a,b,c$ และ $d$ เป็นจำนวนจริงซึ่ง $\displaystyle\frac{a}{b} = \frac{b}{c} = \frac{c}{d} = \frac{d}{a}\displaystyle$ จงหาค่าที่มากที่สุดของ $\displaystyle\frac{ab-3bc+ca}{a^2-b^2+c^2}\displaystyle$
(8 คะแนน)

2. ถ้า $(x+y+z)\Big(\displaystyle\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\displaystyle\Big)=1$ แล้ว จงพิสูจน์ว่า $(x+y)(y+z)(z+x)=0$
(8 คะแนน)

3. จงหารากของสมการ $\Big\lfloor\displaystyle\frac{x}{2}\displaystyle\Big\rfloor-\Big\lfloor\displaystyle\frac{x}{3}\displaystyle\Big\rfloor=\displaystyle\frac{x}{7}\displaystyle$
(10 คะแนน)

4. จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มีสัมประสิทธิ์เป็นจำนวนจริงซึ่ง $(x+10)P(2x)=(8x-32)P(x+6)$ และ $P(1)=210$
(12 คะแนน)

5. กำหนดให้ $x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $x+\displaystyle\frac{y}{z}\displaystyle=y+\displaystyle\frac{z}{x}\displaystyle=z+\displaystyle\frac{x}{y}\displaystyle=2$ จงหาค่าของ $x+y+z$
(12 คะแนน)


ข้อสอบวิชา คอมบินาทอริก วันพฤหัสบดีที่ 23 ตุลาคม 2557 เวลา 11.30-13.30 น.

1. จงตอบคำถามต่อไปนี้ (เติมเฉพาะคำตอบ)
1.1 จงหาจำนวนวิธีในการนำตัวอักษรในคำว่า giggling มาเรียงใหม่โดยที่ห้ามขึ้นต้นด้วยสระ

1.2 จัดเรียงแผ่นป้าย $50$ แผ่น ที่มีหมายเลขตั้งแต่ $1$ ถึง $50$ ติดอยู่แผ่นละ $1$ หมายเลขไม่ซ้ำกัน
โดยให้เลขคี่เรียงจากน้อยไปมากจากซ้ายไปขวาและ $2,4,6,8$ ต้องอยู่ติดกันเสมอ (สลับตำแหน่งกันได้) ได้ทั้งหมดกี่วิธี

2. ให้ $L(n,r)$ แทนจำนวนวิธีในการจัดคน $r$ คน นั่งโต๊ะกลม $n$ ตัวที่เหมือนกันโดยที่โต๊ะแต่ละตัวจะต้องมีคนนั่งอย่างน้อย $k$ คน
จงแสดงว่า $L(n,r)=(r-1)L(n,r-1)+\displaystyle\frac{{(r-1)}!}{{(r-k)}!}\displaystyle L(n-1,r-k)$ เมื่อ $r,n,k$ เป็นจำนวนนับซึ่ง $nk\leqslant r$

3. ให้ $n$ เป็นจำนวนนับใดๆ จงพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้โดยใช้วิธีการพิสูจน์เชิงการวัด
3.1 $\displaystyle\binom{2(n+1)}{n+1}=\binom{2n}{n+1}+2\binom{2n}{n}+\binom{2n}{n-1} \displaystyle$

3.2 $\displaystyle\frac{((n+1)!(n^2+5n+7))!}{((n+1)!)^{n!} ((n+3)!)!}\displaystyle$ เป็นจำนวนเต็ม

4. มีรางวัลที่ต่างกัน $20$ ชิ้น แจกให้เด็ก $8$ คน (ไม่จำเป็นต้องแจกรางวัลครบทุกชิ้น) จะทำได้ทั้งหมดกี่วิธี
เมื่อกำหนดให้มีเด็กเพียง $4$ คนเท่านั้นที่ได้รับรางวัล ซึ่งแต่ละคนอาจได้รางวัลมากกว่า $1$ ชิ้น

5. คุณครูต้องการจัดนักเรียนในห้องหนึ่งซึ่งมี $20$ คน มายืนเป็นแถวตรงหน้าเสาธง โดยในแถวตรงต้องมีนักเรียนอย่างน้อย $2$ คน
และจัดนักเรียนที่เหลือยกเว้นคนที่มีเลขที่น้อยที่สุดยืนเป็นวงกลมจะจัดได้ทั้งหมดกี่วิธี และถ้ามีนักเรียน $n$ คนจะจัดได้กี่วิธี


ข้อสอบวิชา อสมการ วันพฤหัสบดีที่ 23 ตุลาคม 2557 เวลา 14.00-16.00 น.

คำสั่ง จงแสดงวิธีพิสูจน์ข้อความที่กำหนดให้โดยใช้อสมการ A.M.-G.M.-H.M., อสมการโคชี-ชวาร์ซ, อสมการ A.M.-G.M. ถ่วงน้ำหนัก หรือความรู้พื้นฐาน

1. ให้ $a,b,c,d$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$\displaystyle\frac{4}{(a+2)^2 +4b^2}+\frac{4}{(b+2)^2 +4c^2}+\frac{4}{(c+2)^2 +4a^2}\leqslant 1\displaystyle$

2. จงหาจำนวนจริงบวก $a,b$ และ $c$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องกับระบบสมการ
$10a^3 +b^3 = 7ab+20bc-11$
$b^3 +20c^3 = 7bc+30ca-20$
$44a^3 +34c^3 = 20ab+51ca-50$

3. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $abc=1$ จงแสดงว่า
$a^3 b+b^3 c+c^3 a\geqslant a^{2/5} b^{3/5} +b^{2/5} c^{3/5} +c^{2/5} a^{3/5}$

4. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่ง $a+b+c+abc=4$ จงแสดงว่า $\Big(\displaystyle\frac{a}{\sqrt{b+c}}+\frac{b}{\sqrt{c+a}}+\frac{c}{\sqrt{a+b}}\displaystyle\Big)^2 (ab+bc+ca)\geqslant \frac{1}{2}(4-abc)^3$

5. ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า
$\displaystyle\frac{a^9}{bc}+\frac{b^9}{ca}+\frac{c^9}{ab}+\frac{3}{abc}\geqslant a^4 +b^4 +c^4 +3\displaystyle$


ข้อสอบวิชา ทฤษฎีจำนวน วันศุกร์ที่ 24 ตุลาคม 2557 เวลา 08.30-10.30 น.

1. ให้ $a$ เป็นจำนวนเต็มคู่ และ $b$ เป็นจำนวนเต็มคี่ ซึ่ง $(a,b)=1$
จงหา $(5^{4a}-1,5^{2b}-1)$ โดยใช้วิธีขั้นตอนแบบยุคลิด

2. จงพิสูจน์ว่า ถ้า $p$ และ $8p^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะทั้งคู่ แล้ว
$8p^2 +2p+1$ เป็นจำนวนเฉพาะ

3. จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ทั้งหมดที่ทำให้
$1^{2557} +2^{2557} +3^{2557} +...+n^{2557} +(n+1)^{2557}$ เป็นตัวประกอบ

4. ให้ $n\in \mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่า
$2^{2^{n+1}} +2^{2^n} +1$ มีตัวประกอบที่เป็นจำนวนเฉพาะที่แตกต่างกันอย่างน้อย $n+1$ จำนวน

5. ให้ $a,b,c\in\mathbb{N}$ จงพิสูจน์ว่า
ถ้า $(a,b,c)=1$ และ $\displaystyle\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{c}\displaystyle$ แล้ว $a+b$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์


ข้อสอบวิชา เรขาคณิต วันศุกร์ที่ 24 ตุลาคม 2557 เวลา 11.30-13.30 น.

1. ให้ สี่เหลี่ยม $ABCD$ เป็นรูปสี่เหลี่ยมที่มีผลรวมของความยาวของด้านตรงข้ามเท่ากัน จงพิสูจน์ว่า
มีวงกลมแนบในรูปสี่เหลี่ยมนี้ และแสดงว่าเส้นแบ่งครึ่งมุมทั้งสี่ของรูปสี่เหลี่ยมนั้น ตัดกันที่จุดๆ เดียว

2. ให้ สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีจุด $D$ อยู่บนด้าน $\overline{BC}$ โดย $AB$ X $DC = AC$ X $BD$ จงแสดงว่า $\overline{AD}$ เป็นเส้นแบ่งครึ่งมุม $B\hat{A}C$ แบบภายใน

3. ให้ สามเหลี่ยม $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีมุม $B\hat{A}C$ เป็นมุมแหลม และด้าน $\overline{BC}, \overline{CA}, \overline{AB}$ ยาว $a,b,c$ ตามลำดับ โดยมี $\overline{AD}$ เป็นเส้นมัธยฐาน
จงแสดงว่า $2(AD^2)=b^2+c^2-\displaystyle\frac{a^2}{2}\displaystyle$

4. กำหนดให้ $\underline{ }\underline{ }$ มีขนาด $1$ หน่วย จงอธิบายขั้นตอนการสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่ $5\sqrt{3}$ ตารางหน่วย (ไม่ต้องพิสูจน์)

5. ให้เส้นแบ่งครึ่งมุมภายนอกทั้งสามของสามเหลี่ยม $ABC$ ตัดส่วนต่อของด้านทั้งสามที่จุด $D,E,F$
จงแสดงว่า $D,E,F$ อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน

[Thgx0312555]

ALGEBRA (hint)
1. $a=b=c=d$ or $a=-b=c=-d$
2. $(x+y+z)(xy+yz+zx)-xyz=(x+y)(y+z)(z+x)$
3. ans. x=0,7,21,-7,-14,-28
4. ans. $P(x)=2(x-8)(x-4)(x+4)$ - พิสูจน์ว่า $P(8)=P(4)=P(-4)=0, deg=3$
5. $x+y+z=3$
hint - prove that $\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}=\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}$

[Nodahttap.A]

[Geometry] {Hint}
1. พิสูจน์ให้ได้ว่าสี่เหลี่ยมจุดสัมผัสสี่จุดของวงกลมแนบในสี่เหลี่ยม ABCD มีวงกลมล้อมรอบ
และ ถ้ามีวงกลมแนบใน จะเกิดหน้าจั่ว4อัน ลากตั้งตั้งฉากครึ่งตัดที่จุดศก.
2. Law of sine
3. สามเหลี่ยมคล้าย
4. 1 1 $\sqrt{2}$ แล้ว $\sqrt{2}$ 1 จะได้ $\sqrt{3}$
5. เมเนลอส

[Pitchayut]

NT Hint
1. ถ้า $a\equiv b \mod n$ แล้ว $x^a-1\equiv x^b-1 \mod x^n-1$

2. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $6$ จะได้ว่า $p \equiv 1,\ 5\mod 6$ จากนั้นลอง check congruence mod 6 ดู

3. congruence ไปเรื่อยๆ เดี๋ยวอีกไม่เกิน $10^{100}$ ปีก็ได้

4. พิสูจน์ให้ได้ว่า $2^{2^{n+1}} +2^{2^n} +1\mid 2^{2^{n+2}} +2^{2^{n+1}} +1$

5. จาก $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$ จัดรูปเป็น $(a-c)(b-c)=c^2$ ที่เหลือลองไปคิดดูเอง

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

NT Hint
1. ถ้า $a\equiv b \mod n$ แล้ว $x^a-1\equiv x^b-1 \mod n$

จริงรึ

[Pitchayut]

แก้แล้วครับ

[กขฃคฅฆง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

NT Hint
1. ถ้า $a\equiv b \mod n$ แล้ว $x^a-1\equiv x^b-1 \mod x^n-1$

2. ให้ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า $6$ จะได้ว่า $p \equiv 1,\ 5\mod 6$ จากนั้นลอง check congruence mod 6 ดู

3. congruence ไปเรื่อยๆ เดี๋ยวอีกไม่เกิน $10^{100}$ ปีก็ได้

4. พิสูจน์ให้ได้ว่า $2^{2^{n+1}} +2^{2^n} +1\mid 2^{2^{n+2}} +2^{2^{n+1}} +1$

5. จาก $\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}=\dfrac{1}{c}$ จัดรูปเป็น $(a-c)(b-c)=c^2$ ที่เหลือลองไปคิดดูเอง

ค่าย1ยังไม่เรียนสมภาคครับ จะขอ hint แบบไม่ใช้ congruence นะครับ

1. หา $(4a,2b)$

2. $p = 3, 3k+1, 3k+2$

3. แยกกรณี n เป็นคู่กับคี่

4. อุปนัย

5. แทน $c = \frac{ab}{a+b}$ ลงใน $(a,b,c)=1$

[prapras]

คอมบิเเต่ละข้อทำยังไงครับ