[สอวน. มอ. หาดใหญ่ 2557] ข้อสอบปิดค่าย 1 ตค 57

[FranceZii Siriseth]

เวลาทำข้อสอบ $3$ ชั่วโมง

$Logic$ $and$ $Proof$

1.ให้ $r\in \mathbb{Q}^+$ จงแสดงว่า $\exists x,y \in \mathbb{Q}^+$ $$ r=2x+3y$$

2.จงแสดงว่า $$ \left\{\frac{n}{2} \right\} = \frac{1-(-1)^{n}}{4}$$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $n$ เมื่อ $ x=\left\lfloor\ x\right\rfloor +\left\{\ x\right\}$

3.กำหนดให้ $a_1=5, a_{n+1}=2a_{n}+3^{n}$ สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$ จงแสดงว่า $$a_{n}=3^n+2^n$$

4.จงแสดงว่า $\sqrt{3}$ ไม่สามารถเขียนอยู่ในรูป $a+\sqrt{2}b$ เมื่อ $a,b\in \mathbb{Q} $

5.$f,g :\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ และ $fog(x)=x^3$ จงแสดงว่า $f$ เป็นฟังก์ชั่น $1-1$ ก็ต่อเมื่อ $g$ เป็นฟังก์ชั่นทั่วถึง

$Number$ $Theory$

1.จงแสดงว่า $12\mid 3*{5^n} + 2*{7^n}+7 $สำหรับทุกจำนวนเต็มบวก $n$

2.จงแสดงว่า มีจำนวนเต็มบวก $n$ มากมายเป็นอนันต์ ซึ่ง $10^{n}+1$ เป็นจำนวนประกอบ

3.จงหาจำนวนเต็มบวก $n$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $n\mid p^6-1$ สำหรับทุกจำนวนเฉพาะ $p$

4.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $p\mid 2^{p^2}+1$

$Algebra$

1. ให้ $\frac{x}{y-z}+\frac{y}{z-x}+\frac{z}{x-y}=2557$ จงหาค่าของ $$ (\frac{x}{y-z})^2 + (\frac{y}{z-x})^2 + (\frac{z}{x-y})^2 $$

2.$P(x)=x^4-59x^3+kx^2-2557x+2014$ ถ้าผลคูณราก $2$ ตัวของพหุนาม เท่ากับ $53$ จงหาค่า $k$

3.$P(x^3)+xQ(x^3)=x^2+x+1$ จงแสดงว่า $x-1$ เป็นตัวประกอบของ $P(x)$ *******โจทย์ผิด

$Combinatorics$

1. ผู้ชาย $8$ คน ผู้หญิง $6$ คน เรียง 8 คนหน้ากระดานโดยที่ผู้ชายไม่ติดกันได้กี่วิธี (เขียนคำตอบเป็นจำนวนเต็ม)

2. มีแซนวิซ $6$ ชนิด ชนิดละ $10$ ชิ้นที่เหมือนกัน จงหาจำนวนวิธีในการเลือกแซนวิซ $20$ ชิ้น

3.ให้ $n$ เป็นจำนวนคี่ จงแสดงว่า $$\binom{n}{1} +\binom{n}{2}+...+\binom{n}{\frac{n-1}{2}} \ เป็นจำนวนคี่ $$

4. จงใช้เหตุผลเชิงการนับแสดงว่า $2^{2^n+1}[(2^n)!]^3$ หาร $(2^{n+2})!$ ลงตัว

$Geometry$

1.จงแสดงว่าเส้นตรงที่ลากปิดหัวท้ายของเส้นขนานที่ยาวเท่ากัน ย่อมขนานและยาวเท่ากัน

2.จงแสดงว่าสี่เหลี่ยมที่เส้นทแยงมุมแบ่งครึ่งซึ่งกันและกันนั้นเป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน

3.จงแสดงว่าเส้นมัธยฐานของรูปสามเหลี่ยมตัดกันที่จุดๆหนึ่งและจุดนั้นแบ่งอัตราส่วนภายในเส้นมัธยฐานนับตั้งแต่จุดยอดเป็น $2:1$

4.จงแสดงว่า มุมที่เส้นสัมผัสทำกับคอร์ดมีขนาดเท่ากับมุมในส่วนโค้งที่อยู่ตรงข้ามกับคอร์ดนั้น

5.ให้ $O$ เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมมุมแหลม $ABC$ เส้นแบ่งครึ่งมุม $A$ ตัด $BC$ ที่จุด $D$ ลากเส้นจากจุด $D$ ไปตั้งฉาก $AO$ ตัด $AC$ ที่จุด $P$ จงพิสูจน์ว่า $AB=AP$

[nooonuii]

เพิ่มโจทย์ให้ครับ

[FranceZii Siriseth]

ขอบคุณครับอาจารย์ nooonuii

[FranceZii Siriseth]

พีชคณิตข้อสุดท้ายครับ กลับมาลองคิดอีกที
ผมแทน $1,w,w^2$ เมื่อ $w = cis(\frac{2\pi}{3})$ เอาสามสมการมาบวกกันจะได้ $3P(1)=3$ , $P(1)=1$ มันก็ไม่น่าจะเป็นตัวประกอบของ $P(x)$ นี่ครับ โจทย์ข้อนี้ไม่ได้มีเงื่อนไขเพิ่มเติมนะครับ

[FranceZii Siriseth]

สรุปว่าข้อนี้โจทย์ผิดนะครับ ถามอาจารย์ผู้ออกข้อสอบแล้วครับ ข้อสอบที่ถูกจะเป็น $P(x^3)+xQ(x^3)=(x^2+x+1)(S(x))$

[ฟินิกซ์เหินฟ้า]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ FranceZii Siriseth

$Number$ $Theory$
4.จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $p\mid 2^{p^2}-1$

จาก Fermat's thm. $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $ และจากโจทย์ $2^{p^2}\equiv 1 \pmod{p} $

ให้ $d$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่ง $2^d \equiv 1 \pmod{p} $

ดังนั้น $d \mid p-1$ และ $d \mid p^2$

จะได้ $d=1$ เท่านั้น

ดังนั้น ไม่มี $p$ ดังกล่าว

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ฟินิกซ์เหินฟ้า

จาก Fermat's thm. $2^{p-1} \equiv 1 \pmod{p} $ และจากโจทย์ $2^{p^2}\equiv 1 \pmod{p} $

ให้ $d$ เป็นจำนวนที่น้อยที่สุดซึ่ง $2^d \equiv 1 \pmod{p} $

ดังนั้น $d \mid p-1$ และ $d \mid p^2$

จะได้ $d=1$ เท่านั้น

ดังนั้น ไม่มี $p$ ดังกล่าว

ผมจดโจทย์มาผิดอีกแล้วครับต้องเป็น $2^{p^2}+1$ ครับ

[Pitchayut]

Algebra ข้อ 1 ผมเห็นแต่วิธีถึกๆ ทั้งนั้น ก็เลยมาเสนอวิธีง่ายๆ ให้

แทน $a=\dfrac{y-z}{x},\ b=\dfrac{z-x}{y},\ c=\dfrac{x-y}{z}$

ให้ $P(x, y, z)=xyz(\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}+\dfrac{x-y}{z})=xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)$

สังเกตว่า ถ้า $x=y$ แล้ว $P(x, y, z)=0$ นั่นคือ P(x, y, z) มี $x-y$ เป็นตัวประกอบ และโดยความสมมาตร จะได้ว่า $y-z$ และ $z-x$ ต้องเป็นตัวประกอบด้วย

ดังนั้น $P(x, y, z)=K(x-y)(y-z)(z-x)$ และจากการแทนค่าจะได้ว่า $K=-1$

ดังนั้น เราจะเห็นว่า $a+b+c=-abc$

ทำให้ $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=-1$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=2557^2+2$

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

Algebra ข้อ 1 ผมเห็นแต่วิธีถึกๆ ทั้งนั้น ก็เลยมาเสนอวิธีง่ายๆ ให้

แทน $a=\dfrac{y-z}{x},\ b=\dfrac{z-x}{y},\ c=\dfrac{x-y}{z}$

ให้ $P(x, y, z)=xyz(\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}+\dfrac{x-y}{z})=xy(x-y)+yz(y-z)+zx(z-x)$

สังเกตว่า ถ้า $x=y$ แล้ว $P(x, y, z)=0$ นั่นคือ P(x, y, z) มี $x-y$ เป็นตัวประกอบ และโดยความสมมาตร จะได้ว่า $y-z$ และ $z-x$ ต้องเป็นตัวประกอบด้วย

ดังนั้น $P(x, y, z)=K(x-y)(y-z)(z-x)$ และจากการแทนค่าจะได้ว่า $K=-1$

ดังนั้น เราจะเห็นว่า $a+b+c=-abc$

ทำให้ $\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}=\dfrac{a+b+c}{abc}=-1$

เพราะฉะนั้น $\dfrac{1}{a^2}+\dfrac{1}{b^2}+\dfrac{1}{c^2}=\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2-2\left(\dfrac{1}{ab}+\dfrac{1}{bc}+\dfrac{1}{ca}\right)=2557^2+2$

ผมมีวิธีง่ายกว่านั้นครับ ให้ $a=\dfrac{x}{y-z} \quad ,b=...,\quad c=... $

$(a-1)(b-1)(c-1)=(a+1)(b+1)(c+1)$

$ab+bc+ca=-1$