Functional Equation Marathon

[Pitchayut]

6. จงหาฟังก์ชันจริงต่อเนื่อง $f$ ที่นิยามบนช่วง $[x, y]$ ที่ทำให้
$$t\cdot f(x)+(1-t)f(y)=f(tx+(1-t)y)$$
สำหรับทุกๆ $t\in [0, 1]$
หมายเหตุ : ห้ามอ้าง jensen ต้องใช้ความรู้พื้นฐานเท่านั้น

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

แทน $x=y$ ได้ $f(0)=0$

แทน $f(x)=f(y)$ ได้ $x=y$ นั่นคือ $f$ เป็น $1-1$

แทน $y=0$ ได้ $f(f(x))=x$

ดังนั้น $f(x)=f^{-1}(x)$

เพราะว่ากราฟของ $y=f^{-1}(x)$ เกิดจากการสะท้อนกราฟ $y=f(x)$ โดยมีเส้นสะท้อนเป็นเส้น $y=x$

ดังนั้น จะได้ว่ากราฟทั้งสองจะตัดกันที่จุด $(k, k)$ สำหรับจำนวนจริง $k$ บางค่าเท่านั้น

นั่นคือ $f(x)=x$ ทุกค่า $x$ ซึ่งตรวจสอบได้ว่าเป็นคำตอบที่แท้จริง

ส่วนสีแดงผมว่าเหตุผลยังไม่พอนะครับ เช่น $f(x)=-x$ ก็มีสมบัติเดียวกัน

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

นั่นคือ $f(x)=x$ ทุกค่า $x$ ซึ่งตรวจสอบได้ว่าเป็นคำตอบที่แท้จริง

แล้ว $f(x)=-x$ ละครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

5. (PSU 2015) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Q}\to\mathbb{Q}$ ทั้งหมดซึ่งสอดคล้องสมการเชิงฟังก์ชัน

$$
f(f(x)-f(y))=x-y
$$

สำหรับทุก $x,y\in\mathbb{Q}$

ขอแก้มือนะครับตอนสอบคิดไม่ออก

$P(x,y) : f(f(x)-f(y))=x-y$ เพราะว่า f is a bijection แสดงได้ไม่ยากว่า $f(0)=0$

$P(-x,0) : f(f(-x))=-x=f(-f(x))$ ดังนั้น $f(-x)=-f(x)$

$P(f(x),f(-y)) : f(x+y)=f(x)+f(y)$ จะได้ว่า $f(x)=cx$

แทนค่ากลับ $f(x)=x,-x , \ \forall x \in \mathbb{Q}$

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

6. จงหาฟังก์ชันจริงต่อเนื่อง $f$ ที่นิยามบนช่วง $[x, y]$ ที่ทำให้
$$t\cdot f(x)+(1-t)f(y)=f(tx+(1-t)y)$$
สำหรับทุกๆ $t\in [0, 1]$
หมายเหตุ : ห้ามอ้าง jensen ต้องใช้ความรู้พื้นฐานเท่านั้น

สังเกตจุด $(x,f(x)),(\alpha x+\beta y,f(\alpha x+\beta y)),(y,f(y));\forall\alpha ,\beta \in \mathbb{R_0^+} \alpha+\beta=1$

เราได้ว่า $\alpha (x)+\beta (y)=\alpha x+\beta y$

และ $\alpha f(x)+\beta f(y)=f(\alpha x+\beta y)$

เราจะได้ว่า จุด $X(x,f(x)),Z(\alpha x+\beta y,f(\alpha x+\beta y)),Y(y,f(y))$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน $\forall\alpha ,\beta \in \mathbb{R_0^+} \alpha+\beta=1$ โดยทำอัตราส่วน $XZ:ZY=\alpha :\beta$

ดังนั้นแล้ว $f(x)=ax+b;\forall x\in[x,y]\exists a,b\in\mathbb{R}$

7.มีฟังก์ชั่น $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ที่

$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3;\forall x\in\mathbb{R}$$ หรือไม่?

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

7. มีฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ที่

$$f(g(x))=x^2,g(f(x))=x^3;\forall x\in\mathbb{R}$$ หรือไม่?

สมมติว่ามีฟังก์ชัน $f,g$ ที่มีสมบัติดังกล่าว

จะได้ว่า $f(x^3)=f(g(f(x)))=(f(x))^2$

เนื่องจาก $h(x)=x^3$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่งจะได้ว่า $f$ เป็นฟังก์ชันหนึ่งต่อหนึ่ง

ต่อไปพิจารณา

$f(1)=(f(1))^2$

$f(0)=(f(0))^2$

$f(-1)=(f(-1))^2$

จะได้ว่า $f(-1),f(0),f(-1)\in\{0,1\}$

โดยหลักช่องนกพิราบจะมีสองค่าในบรรดาค่าของ $f(-1),f(0),f(-1)$ ที่มีค่าเท่ากัน

ซึ่งขัดแย้งกับสมบัติหนึ่งต่อหนึ่งของ $f$ ดังนั้นไม่มี $f,g$ ที่มีสมบัติดังกล่าว

[nooonuii]

8. จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ หรือไม่ซึ่งมีสมบัติว่า $f(f(x))=-x \text{ ทุกค่า } x\in\mathbb{R}$

[Beatmania]

8. เหลือเชื่อจริงๆ ครับว่ามี เราให้ $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ โดยมีสมบัติว่า

$f(0)=0,f(x)=-\frac{1}{x},\forall x\in\mathbb{R},0<|x|\leq 1$ และ $f(x)=\frac{1}{x}\forall x\in\mathbb{R},|x|>1$

เราจะได้ว่า

ถ้า $x=0\rightarrow f(f(0))=f(0)=0=-0$

ถ้า $0<|x|\leq 1\rightarrow f(f(x))=f(-\frac{1}{x})=-x$

และถ้า $|x|>1 \rightarrow f(f(x))=f(\frac{1}{x})=-x$

9.จงหาคำตอบทั้งหมดของสมการเชิงฟังก์ชั่น $f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C}$

$$f(z)+zf(1-z)=z+1;\forall z\in\mathbb{C}$$

[Pitchayut]

9. แนวนี้ง่ายมากๆ จาก
$$f(z)+zf(1-z)=z+1\textrm{_________________}(1)$$
เปลี่ยน $z$ เป็น $1-z$ จะได้ว่า
$$f(1-z)+(1-z)f(z)=2-z\textrm{____________}(2)$$
นำ $z$ ไปคูณสมการ $(2)$ จะได้เป็น
$$zf(1-z)+z(1-z)f(z)=z(2-z)\textrm{_______}(3)$$
นำ $(3)-(1)$ จะได้
$$\{z(1-z)-1\}f(z)=z(2-z)-z+1$$
คูณ $-1$ ทั้งสองข้างจะได้
$$(z^2-z+1)f(z)=z^2-3z-1$$
ซึ่งจะได้
$$f(z)=\frac{z^2-3z-1}{z^2-z+1}$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

$(z^2-z+1)f(z)=z^2-3z-1$
ซึ่งจะได้
$f(z)=\frac{z^2-3z-1}{z^2-z+1}$

$z$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนนะครับ

[Pitchayut]

เป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ใช้คุณสมบัติทุกอย่างได้เหมือนจำนวนจริงนี่นา
เอาข้อ 10 ไปทำก่อนก็แล้วกัน
10. จงหา $f:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ ที่ทำให้
$$f(a)f(b)f(c)f(d)=f(a^2+b^2+c^2+d^2)$$

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

เป็นจำนวนเชิงซ้อนก็ใช้คุณสมบัติทุกอย่างได้เหมือนจำนวนจริงนี่นา

ผมว่าพื้นฐานคุณรั่วมาก ลองไปหาดูครับว่ามันเหมือนจำนวนจริงทุกอย่างหรือเปล่า

[Pitchayut]

ผมยังต้องเรียนรู้อีกเยอะครับ แต่ส่วนข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเท่าที่ผมหาเจอคือตัวส่วนต้องห้ามเป็น 0 ซึ่งจะเกิดเมื่อ $z^2-z+1=0$ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่มีนิยามที่ $\displaystyle{z=\frac{1\pm \sqrt{3}i}{2}}$ ดังนั้นฟังก์ชันที่ผมได้จึงไม่ใช้คำตอบที่แท้จริง ดังนั้นไม่มีฟังก์ชันที่สอดคล้องครับ

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

ผมยังต้องเรียนรู้อีกเยอะครับ แต่ส่วนข้อผิดพลาดที่เกิดขึ้นเท่าที่ผมหาเจอคือตัวส่วนต้องห้ามเป็น 0 ซึ่งจะเกิดเมื่อ $z^2-z+1=0$ ดังนั้นฟังก์ชันจะไม่มีนิยามที่ $\displaystyle{z=\frac{1\pm \sqrt{3}}{2}}$ ดังนั้นฟังก์ชันที่ผมได้จึงไม่ใช้คำตอบที่แท้จริง ดังนั้นไม่มีฟังก์ชันที่สอดคล้องครับ

คือว่ามีคิดเลขผิดด้วยอ่ะครับ ลองดูใหม่นะครับ

[Pitchayut]

เจอแล้ว จุดที่ผิดอยู่ตรงนี้ครับ

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

นำ $(3)-(1)$ จะได้
$$\{z(1-z)-1\}f(z)=z(2-z)-z+1$$

ซึ่งแก้เป็น
นำ $(3)-(1)$ จะได้
$$\{z(1-z)-1\}f(z)=z(2-z)-z-1$$
คูณ $-1$ ทั้งสองข้างจะได้
$$(z^2-z+1)f(z)=z^2-z+1$$
ซึ่งจะได้
$$f(z)=1$$
แต่ทีนี้ $z^2-z+1$ ต้องไม่เท่ากับ $0$ ด้วย ซึ่งมันจะขัดกับสมการที่โจทย์กำหนดเพราะมันบอกว่าใช้กับจำนวนเชิงซ้อนได้ทุกจำนวน จึงไม่มีคำตอบที่ต้องการ