[สอวน. มอ. 2557] ข้อสอบคัดตัวแทนศูนย์ มอ 57

[FranceZii Siriseth]

Inequality

1.$a+b+c \le \frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}$

2.$x^2+y^2+z^2+xy+yz+zx \ge 2(\sqrt{x}+\sqrt{y}+\sqrt{z}) ,xyz=1$

3.$a^{3a}b^{3b}c^{3c} \ge (abc)^{a+b+c}$

Functional Equation

1.$f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q}$
$$f(f(x)-f(y))=x-y,\forall x,y \in \mathbb{Q}$$

2.$f:\ (-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$
$$f\bigg(\frac{x-y}{1-xy}\bigg)=\frac{f(x)f(y)}{(1-xy)^2} ,\forall x,y \in (-1,1) $$

3.จงหาพหุนามทั้งหมดซึ่งไม่มีรากเป็นจำนวนเชิงซ้อนและสอดคล้องกับสมการ
$$P(x^3)=P(x^2)P(x) ,\forall x\in \mathbb{R}$$

4.

Geometry
1.
2.
3.

Combinatorics

1.จงหาจำนวนผลเฉลยที่เป็นจำนวนเต็มของสมการ $x+2y+2z=100\ ,0 \le x \le 10 \le y \le 20 \le z$

2.จงแสดงว่ามีจุด $5$ จุดซึ่งอยู่ภายในรูปสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน $6,8,10$ จะต้องมีอย่างน้อย 2 จุด ที่ห่างกันไม่เกิน $5$ หน่วย

3.จงหาจำนวนเต็มบวกที่มากที่สุดซึ่งหาร $(a^2-b^2)(b^2-c^2)(c^2-a^2)$ ลงตัว ทุกจำนวนเต็ม $a,b,c$

Trigonometry

1.

2.$arcsin(x)+arccot\sqrt{1-x^2}=arccos(x)$

Number Theory

1.จงหาคำตอบของสมการ

2.จงหาจำนวนเต็มบวกที่น้อยที่สุดซึ่งมีจำนวนตัวหารบวก $60$ จำนวน

3.จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก $k$ เป็นอนันต์ซึ่ง $3 \mid 111..._{(k)}...111$

4.ทุกจำนวนเฉพาะ $p \ge 5$ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็มบวก $k$ เป็นอนันต์ซึ่ง $p \mid 111..._{(k)}...111$

5.จงหาจำนวนเต็มบวกคู่ $N$ ทั้งหมดซึ่ง $N=d_{1}+d_{2}+d_{3}+d_{4}+d_{5}$ และ $d_{4}=d_{1}+d_{2}+d_{3}$ เมื่อ $d_{i}$ คือตัวหารบวกตัวที่ $i$ เมื่อเรียงจากน้อยไปมาก



ปล.เดี๋ยวเพิ่มข้อสอบให้ครับ ถ้าให้ดีรบกวนอาจารย์เพิ่มให้ด้วยครับบบ

[Pitchayut]

Number Theory

ข้อสอง ตัวหารบวก 60 ตัว ก็ค่อยๆ หาไปเดี๋ยวจะเจอจำนวนที่น้อยที่สุดเอง แต่ถ้าจะให้เร็วขึ้น ใช้ความรู้เรื่อง highly composite number จะได้จำนวนนั้นคือ 5040

ข้อสามนี้ง่ายมากๆ แค่ใช้ความจริงที่ว่า "จำนวนที่มีผลรวมเลขโดดหารด้วย 3 ลงตัว จะหารด้วย 3 ลงตัวเสมอ" ก็จบทันที

ส่วนข้อ 4 จัดรูปนิดนึง จะได้ว่า
$$111..._{(k)}...111=\frac{10^{k}-1}{9} $$
ดังนั้นจึงแยกเป็นสองกรณี

กรณีที่ 1 $p=3$ ซึ่งพิสูจน์ไปแล้วในข้อสาม

กรณีที่ 2 $p\neq 3$ จะเห็นชัดว่า $p|10^{k}-1$ จาก Fermat Little Theroem จะได้ว่า
$$10^{p-1} \equiv 1 \pmod{p}$$
$$10^{c(p-1)} \equiv 1 \pmod{p}$$
ดังนั้น จะได้ว่ามีจำนวน $c(p-1)$ ซึ่งสอดคล้องกับเงื่อนไขดังกล่าวอยู่เป็นอนันต์

ข้อ 5 ผมยังไม่ได้คิด แต่ชัดว่า $d_1=1, d_2=2$

[FranceZii Siriseth]

ข้อ 5 ได้ 28 ครับ ถ้าคิดได้แล้วขอดู Solution เต็มๆหน่อยนะครับผมเขียนไปไม่ค่อยดีเท่าไหร่

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

ส่วนข้อ 4 จัดรูปนิดนึง จะได้ว่า
$$111..._{(k)}...111=\frac{10^{k+1}-1}{9} $$

สะเพร่านิดนึงนะครับ ลอง $111=\frac{10^3-1}{9}$

ทำผมใจแป้วไปเลยนึกว่าผิดสะแล้ว

[Pitchayut]

ไม่เป็นไรครับ ผมผิดเองครับ แก้เรียบร้อยแล้วครับ
มาดู Inequality ดีกว่า ท่าทางก็ไม่ยากเหมือนกัน

ข้อแรก $a, b, c > 0$ ชัวครับ เพราะว่าถ้าคูณ $abc$ เข้าไปทั้งสองข้าง จะเป็นอสมการ
$$a^2 bc+ab^2 c+abc^2\leq a^2 b^2+b^2 c^2+ c^2 a^2$$
$$(ab)(ca)+(ab)(bc)+(bc)(ca)\leq(ab)(ab)+(bc)(bc)+(ca)(ca)$$
อสมการสุดท้ายนี้เป็นจริงเสมอ ซึ่งเป็นผลมาจากอสมการว่าด้วยการจัดเรียง (ถ้าเขาไม่ให้ใช้ช่วยบอกด้วยครับ)

ข้อสอง เจอรากที่สอง กำจัดมันทิ้งโดยการแทนค่า $a=\sqrt{x}, b=\sqrt{y}, c=\sqrt{z}$ อสมการจะกลายเป็น
$$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq a+b+c$$
เมื่อ $abc=1$ จากนั้นจัดรูป
$$a^4+b^4+c^4+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2 \geq 2aู^2bc+2ab^2c+2abc^2$$
บวกด้วย $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2$ ทั้งสองข้าง จะได้เป็น
$$a^4+b^4+c^4+2a^2b^2+2b^2c^2+2c^2a^2 \geq a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2+2aู^2bc+2ab^2c+2abc^2$$
จัดกำลังสองสมบูรณ์
$$(a^2+b^2+c^2)^2\geq(ab+bc+ca)^2$$
อสมการสุดท้ายเป็นจริงเสมอ ซึ่งเป็นผลมาจากอสมการว่าด้วยการจัดเรียง (ถ้าเขาไม่ให้ใช้ช่วยบอกด้วยครับ)

ข้อสาม เจอเลขยกกำลังอย่างเดียว กำจัดมันทิ้งโดยใส่ใส่ $ln$ ทั้งสองข้าง จะกลายเป็น
$$3a\ln a+3b\ln b+3c\ln c \geq (a+b+c)(\ln a+\ln b+\ln c)$$
จบแล้วครับ ถ้าเราสมมุติให้ $a\geq b\geq c$ จะได้ว่า $\ln a\geq \ln b\geq \ln c$ ทำให้อสมการสุดท้ายเป็นจริงจากอสมการ Chevbyshev (ถ้าเขาไม่ให้ใช้ช่วยบอกด้วยครับ)

[Pitchayut]

ข้อ 5 Number Theory

ชัดเลยครับว่า $d_1=1, d_2=2$ ดังนั้น แยกกรณีตาม $d_3$

กรณีที่ 1 $d_3=3$ จะได้ $d_4=6$ นั่นคือ $d_5$ หาค่าไม่ได้

กรณีที่ 2 $d_3=4$ จะได้ $d_4=7$ จะได้ว่า $N=28\cdot 2^k$ ซึ่งแยกเป็นอีก 2 กรณี

กรณีที่ 2.1 $k<3$ นำไปแทนทั้งหมดจะได้ $N=28$ ตามต้องการ
กรณีที่ 2.2 $k>3$ ได้ $d_5=8$ เสมอ ซึ่งให้ $N=22$ ขัดแย้ง

กรณีที่ 3 $d_3>4$ จะได้ $d_4=d_3+3$ จะได้ว่า มีหนึ่งในสองจำนวนนี้ที่เป็นจำนวนประกอบ ดังนั้น แยกเป็นอีกสองกรณี

กรณีที่ 3.1 $d_3$ เป็นจำนวนประกอบ เนึ่องจาก $d_3>4$ จะได้ว่าต้องมีจำนวนเฉพาะ $p>2$ ที่ $p\mid d_3$ ดังนั้น $p$ ต้องเป็นตัวประกอบของ $n$ ขัดแย้ง
กรณีที่ 3.2 $d_4$ เป็นจำนวนประกอบ เนึ่องจาก $d_4>4$ จะได้ว่าต้องมีจำนวนเฉพาะ $p>2$ ที่ $p\mid d_4$ ดังนั้น $p$ เป็นตัวประกอบของ $N$ แต่ว่า $d_3$ ไม่มีวันเป็นตัวประกอบของ $d_4$ จึงขัดแย้ง

สรุปว่า $N$ มีค่าเดียวคือ $28$

[Aquila]

เสนอให้อีกวิธีง่ายๆ แค่ AM-GM เท่านั้น

$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a} \geq 2\sqrt{\frac{ab}{c}\cdot\frac{bc}{a}}=2b$

อีกข้อ

$x^2+yz \geq 2\sqrt{x^2yz}=2\sqrt{x\cdot xyz}=2\sqrt{x}$

จับบวกกันก็จบเลย

หรืออีกวิธี จัดกำลังสองสมบูรณ์น่าจะได้ เพราะอสมการข้างบนอยู่ในรูป $A+B \geq 2\sqrt{AB}$

ส่วนข้อ 3 กรรมการเขาอยากให้ใช้พวก weight หรือเปล่า ไม่รู้เหมือนกันนะครับ
----------------------------------------------------------------------
เอ๊อ combi ข้อ 2 นี่โจทย์เป็นแบบนี้จริงๆหรือเปล่า

มันให้พิสูจน์ว่า 5 จุดนี้ ทุกๆ 2 จุดจะห่างกันไม่เกิน 5

หรือ ให้มา 5 จุด แล้วมีอย่างน้อย 2 จุดจากใน 5 จุดที่ห่างกันไม่เกิน 5

ช่วยยืนยันทีครับ

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

เอ๊อ combi ข้อ 2 นี่โจทย์เป็นแบบนี้จริงๆหรือเปล่า

มันให้พิสูจน์ว่า 5 จุดนี้ ทุกๆ 2 จุดจะห่างกันไม่เกิน 5

หรือ ให้มา 5 จุด แล้วมีอย่างน้อย 2 จุดจากใน 5 จุดที่ห่างกันไม่เกิน 5

ช่วยยืนยันทีครับ

แบบที่ 2 ครับ แก้โจทย์ให้แล้วครับผม

[FranceZii Siriseth]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Pitchayut

ข้อสาม เจอเลขยกกำลังอย่างเดียว กำจัดมันทิ้งโดยใส่ใส่ $ln$ ทั้งสองข้าง จะกลายเป็น
$$3a\ln a+3b\ln b+3c\ln c \geq (a+b+c)(\ln a+\ln b+\ln c)$$
จบแล้วครับ ถ้าเราสมมุติให้ $a\geq b\geq c$ จะได้ว่า $\ln a\geq \ln b\geq \ln c$ ทำให้อสมการสุดท้ายเป็นจริงจากอสมการ Chevbyshev (ถ้าเขาไม่ให้ใช้ช่วยบอกด้วยครับ)

ใช้ได้ครับ เพราะผมก็ใช้วิธีนี้เหมือนกันครับ

[Thamma]

Combi ข้อ 2
แบ่งสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน 6,8,10 ออกเป็นสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้าน 3,4,5 จำนวน 4 รูป
ในจำนวน 5 จุด จะมี 2 จุด อยู่ภายในหรือบนขอบของสามเหลี่ยมเล็ก 1 รูป
ทำให้มีระยะห่างกันน้อยกว่าหรือเท่ากับ 5 หน่วยค่ะ