[สอวน. ม.เกษตรศาสตร์] ข้อสอบค่าย2/2557

[~!!Arale!!~]

-พีชคณิต-

1.ให้ $x_{1},x_{2},x_{3},...x_{2014}$ เป็นรากที่ไม่เท่ากับ$1$ ของพหุนาม $P(x)=x^{2015} -1 \\$
จงแสดงว่า $\frac{1}{1-x_{1}}+\frac{1}{1-x_{2}}+...+\frac{1}{1-x_{2014}}=1007$

2. จงแยกตัวประกอบของ $x^{3}+y^{3}+z^{3}-xy(x+y)-yz(y+z)-zx(z+x)+2xyz$

3. $\sum_{x=1}^{2015} \frac{x(x+1)^{2}x+2^{2}+x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2^{2})}$ มีค่าเท่าไร

4. $x+y+z=p\\
x^{2}+y^{2}+z^{2}=p^{2}\\
x^{3}+y^{3}+z^{3}=3p^{2}-2p^{3}\\$
เมื่อ $p$ เป็นจำนวนเฉพาะที่มากกว่า2 จงหาค่า $x,y,z$ ที่สอดคล้องกับระบบสมการนี้


-ทฤษฎีจำนวน-

1. ให้ $x\equiv 3 (mod\,5)\\
x\equiv 2 (mod\,6)\\
x\equiv 4 (mod\,7)\\$
จงหาผลเฉลยของระบบสมการนี้

2. $a^{\phi(m)} \equiv 1 (mod\,m)\\
a^{\phi(n)} \equiv 1 (mod\,n)\\
จงแสดงว่า a^{\phi(mn)} \equiv 1 (mod\,mn)$

3. จงแสดงว่า ($2^{2^{p}}$$+1$, $2^{2^{q}}$$+1$, $2^{2^{r}}$$+1$)
เมื่อ $p,q,r$ เป็นจำนวนนับที่แตกต่างกัน

4. $ให้\,m,n\in\mathbb{N} \qquad ถ้า \,m|n\\
จงแสดงว่า \,\phi(m)|\phi(n)$


-สมการเชิงฟังก์ชัน-

1. หา $f:\mathbb{Q} \rightarrow \mathbb{Q} \,ทั้งหมดที่สอดคล้อง$
$f(x+y)=f(x)f(y)-f(xy)+1$ โดย $f(1)=2$

2. หา $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\, ทั้งหมดที่สอดคล้อง$
$f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^{2}$

3. ให้ $f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}\,ซึ่งสอดคล้อง$
$f(xy+x+y)=f(xy)+f(x)+f(y)$
จงแสดงว่า $f(x+y)=f(x)+f(y)$


-คอมบินาทอริก-

1. มีไพ่สำรับหนึ่งซึ่งมีไพ่อยู่$2n$ ใบ เขียนหมายเลขบนไพ่ในสำรับนี้ ตั้งแต่$1,2,3,...,n$ โดยแต่ละหมายเลขจะเขียนบนไพ่$2$ใบ
ทำการสับไพ่ในสำรับนี้ จงหาจำนวนวิธีสับไพ่ โดยที่ไพ่หมายเลขเดียวกันจะไม่อยู่ติดกันเลย

2. ให้เซต $(x,y)|x,y\in{0,1,2,...,n}$ เป็นเซตของจุดบนระนาบ
จงแสดงว่า มีเซตขนาด$3n$ ซึ่งไม่มีสี่เหลี่ยมมุมฉากที่มีจุดมุมอยู่ในเซตนี้ทั้ง$4$จุดได้

3. ให้เซต $A$ และเซต $B$ เป็นเซตจำกัดของจุดบนระนาบโดยไม่มีจุดใดร่วมกันเลย เมื่อลากเส้นผ่าน$2$จุดใดๆ ใน$B$
ก็จะผ่านจุดใน$A$ อย่างน้อย$1$จุด และ เมื่อลากเส้นผ่าน$2$จุดใดๆ ใน$A$ ก็จะผ่านจุดใน$B$ อย่างน้อย$1$จุด
จงแสดงว่า $AB$ จะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

มีเรขาคณิตด้วยนะคะ แต่แนบรูปไม่เป็นTT ซักพักจะลงให้ค่ะ

[FranceZii Siriseth]

FE
1.$f(x)=x+1 ,\quad \forall x \in \mathbb{Q}$

2.$P(x,y) : f(xf(x)+f(y))=y+f(x)^{2}$

$P(0,y) : f(f(y))=y+f(0)^2 $ f is a bijection -----1

$\exists u \in \mathbb{R}$ such that $f(u)=0$

$P(u,u) : f(0)=u$ แทนกลับใน 1

$f(f(0))=0=f(0)^2$ ดังนั้น $f(0)=0$

$P(0,y) : f(f(y))=y$

$P(f(x),0) : f(f(x)x)=x^2=f(x)^2$ จะได้ว่า $f(x)=x,-x \quad \forall x \in \mathbb{R} $

$\exists a\not= b \in \mathbb{R} , f(a)=a,f(b)=-b$

แทนค่ากลับจะได้ $a=b=0$ ขัดแย้ง จะได้ว่า ถ้า $a\not=b$ แล้ว $f(a)=f(b)$

แทนค่ากลับเพื่อตรวจคำตอบจะได้ $f(x)=x,-x \quad \forall x \in \mathbb{R} $

[FranceZii Siriseth]

Algebra

1.วิธีนี้สวยดีครับ

$$x^{2014}+x^{2013}+....+x+1=(x-x_{1})(x-x_{2})....(x-x_{2014})$$

$$\ln(x^{2014}+x^{2013}+....+x+1)=\ln(x-x_{1})+\ln(x-x_{2})+...+\ln(x-x_{2014})$$

$$\frac{d}{dx}\ln(x^{2014}+x^{2013}+....+x+1)=\frac{d}{dx} \ln(x-x_{1})+\ln(x-x_{2})+...+\ln(x-x_{2014})$$

$$\frac{1}{x^{2014}+x^{2013}+....+x+1}(2014x^{2013}+2013x^{2012}+....+2x+1)=\frac{1}{x-x_{1}}+\frac{1}{x-x_{2}}+...+\frac{1}{x-x_{2014}}$$

แทน $x=1$ จบคร้าบ

[gon]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~!!Arale!!~

3. $\sum_{x=1}^{2015} \frac{x(x+1)^{2}x+2^{2}+x^{2}+x+1}{(x+1)^{2}(x+2^{2})}$ มีค่าเท่าไร

ข้อนี้ โจทย์ถูกหรือเปล่าครับ ดูแปลก ๆ ชอบกล โดยเฉพาะตำแหน่งของ $x$

[Pitchayut]

มาบอกใบ้ Number Theory ให้

Hide

1. ทำตรงๆ เลย ไม่มีอะไรมาก

2. ประยุกต์บทพิสูจน์ของทฤษฎีบทของออยเลอร์ เพื่อหาบทกลับ แล้วจะได้ตามต้องการ

3. โดยไม่เสียนัยทั่วไปเราสามารถสมมุติให้ $p\geq q\geq r$ จากนั้นใช้สูตรผลต่างกำลังสองแยกตัวประกอบของ $2^{\displaystyle{2^p}}-1$ เมื่อทำต่ออีกนิด เราก็จะได้ว่า $\gcd(2^{\displaystyle{2^p}}-1,2^{\displaystyle{2^q}}-1)=1\ หรือ\ 2$ ที่เหลือฝากไปทำต่อเอง

4. ใช้สูตรทั่วไปของ $\phi(x)$ บวกกับการแยกตัวประกอบ ก็ได้แล้วครับ

ส่วนเรื่องเรขาโพสต์เป็นข้อความมาก็ได้ครับ ไม่เป็นไรครับ

[Pitchayut]

มาต่อกันที่ algegra (ข้อ 3-4 ผมคิดว่าโจทย์น่าจะผิด)

Hint

1. สมมุติ $y_i=1-x_i$
2. มันเป็นพหุนามสมมาตร 3 ตัวแปร ดังนั้นลองเขียนในรูป $x+y+z, xy+yz+zx, xyz$

[Beatmania]

ข้อ 4

จัดรูปสมการ จะได้ $x+y+z=p,xy+yz+zx=0,xyz=p^3-p^2$

ดังนั้น $x,y,z$ จะเป็นรากของสมการ $t^3-pt^2-p^3+p^2=0$ ที่เหลือผมว่าคงต้องคาร์ดานแล้วแหละ :P