Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > พีชคณิต
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 26 กันยายน 2015, 11:49
Thamma Thamma ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณคุ้มครองร่าง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 19 กุมภาพันธ์ 2013
ข้อความ: 307
Thamma is on a distinguished road
Default จำนวนเต็ม

พิสูจน์ว่าเป็นจำนวนเต็มหรือไม่

$ \left( 2\root3\of{2} +1 - \root\of{12\root3\of{2} - 15}\right)^3 $
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 28 กรกฎาคม 2020, 19:48
Anton's Avatar
Anton Anton ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กรกฎาคม 2020
ข้อความ: 20
Anton is on a distinguished road
Send a message via ICQ to Anton Send a message via AIM to Anton Send a message via MSN to Anton Send a message via Yahoo to Anton Send a message via Skype™ to Anton
Default

อ้างอิง:
Problem. Justify whether the expression
$$\bigg(2\sqrt[3]{2}+1-\sqrt{12\sqrt[3]{2}-15}\bigg)^3$$
is an integer.
Let $t:=\sqrt[3]{2}$. We note that $t^3=2$, so
$$12\sqrt[3]{2}-15=12t-15=4t^4+4t-15\,.$$
We make an Ansatz that
$$4t^4+4t-15=(2t^2+at+b)^2$$
for some rational numbers $a$ and $b$. Thus, the coefficient of $t^2$ in $(2t^2+at+b)^2$, after reduction by the relation $t^3=2$, should become $0$. That is,
$$a^2+4b=0\,.$$
The constant term of $(2t^2+at+b)^2$, after reduction by the relation $t^3=2$, should become $-15$. Therefore,
$$8a+b^2=-15\,.$$
From the relations above, we have
$$(b^2+15)^2=(-8a)^2=8^2a^2=8^2(-4b)=-256b\,.$$
Thus,
$$b^4+30b^2+256b+225=0\,.$$
This means
$$(b+1)(b^3-b^2+31b+225)=0\,.$$
We try $b=-1$, which means $a=-\dfrac{b^2+15}{8}=-2$. Then, we check whether $12t-15=(2t^2+at+b)^2=(2t^2-2t+1)^2$. Now,
$$(2t^2-2t-1)^2=4t^4+4t^2+1-8t^3-4t^2+4t=4(2t)+4t^2+1-8(2)-4t^2+4t=12t-15\,.$$
That is,
$$\sqrt{12\sqrt[3]{2}-15}=\sqrt{12t-15}=\sqrt{(2t^2-2t-1)^2}=|2t^2-2t-1|=1+2t-2t^2=1+2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4}\,.$$
Therefore,
$$\left(2\sqrt[3]{2}+1-\sqrt{12\sqrt[3]{2}-15}\right)^3=\Big(1+2\sqrt[3]{2}-\big(1+2\sqrt[3]{2}-2\sqrt[3]{4}\big)\Big)^3=(2\sqrt[3]{4})^3=2^3\cdot 4=32$$
is an integer.
__________________
Потом доказывай, что ты не верблюд.

28 กรกฎาคม 2020 21:26 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anton
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 02:49


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha