|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#1
24 ตุลาคม 2015, 17:29
|
|||
|
|||
สอวน. ศูนย์สวนกุหลาบ ค่าย 1 ปี 58
1. กำหนดให้สี่เหลี่ยมผืนผ้ามา 1 รูป กว้าง $m$ หน่วย ยาว $n$ หน่วย จงบอกวิธีสร้างรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่มีพื้นที่เท่ากับ $\dfrac{m^2+n^2}{2}$ ตารางหน่วยพร้อมพิสูจน์ให้เห็นจริง 2. ในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ ให้ $h_a, h_b, h_c$ เป็นความสูงของรูปสามเหลี่ยมที่ลากจากจุด $A, B, C$ และ $r_a, r_b, r_c$ เป็นรัศมีวงกลมแนบนอกของรูปสามเหลี่ยม ABC จงพิสูจน์ว่า $$\frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c}=\frac{1}{r_a}+\frac{1}{r_b}+\frac{1}{r_c}$$ 3. ให้จุด $O$ เป็นจุดภายในรูปสามเหลี่ยม $ABC$ 3.1 ลาก $OA, OB, OC$ ตัดด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $A_1,B_1, C_1$ จงพิสูจน์ว่า4. ให้ $I$ เป็น incenter ของสามเหลี่ยม $ABC$ และ incircle ของสามเหลี่ยม $ABC$ สัมผัสด้าน $BC, AC, AB$ ที่จุด $D, E, F$ ถ้า $M$ เป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$ จงพิสูจน์ว่า $EF, DI, AM$ ตัดกันที่จุดเดียว ] จงใช้อสมการ AM-GM-HM, อสมการ weighted-AM-GM, อสมการ Cauchy Schwarz, อสมการ Modified Cauchy Schwarz, หรือความรู้พื้นฐานเพื่อพิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ 1. ($a, b, c>0$) $$\sum_{cyc}(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq 4(ab+bc+ca)$$ 2. ($x, y, z>0$, $x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\geq x^2y^2z^2$) หาค่าต่ำสุดของ $$\sum_{cyc}\frac{x^2y^2}{z^3(x^2+y^2)}$$ 3. ($a, b, c>0$) $$\sum_{cyc}\frac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\leq 1$$ 4. ($a, b, c>1$) $$\sum_{cyc}\frac{a^3}{b+c}>\frac{3}{2}$$ 5. ให้ $H_n=1+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}+...+\dfrac{1}{n}$ สำหรับทุก $n\in\mathbb{N}$ จงใช้ induction เพื่อพิสูจน์ว่า $H_{2^n}\geq 1+\dfrac{n}{2}$ สำหรับทุก $n\in\mathbb{N}$ 1. จงหาผลรวมของ $\overline{abcd}$ ทั้งหมดที่เป็นไปได้ซึ่งทำให้ $\overline{2a7b}-\overline{18cd}=341$ และ $8\mid\overline{7d2}$ (8 คะแนน) 2.1 จงพิสูจน์ว่าถ้า $3(a^2+b^2+c^2+d^2)=2(ab+ac+ad+bc+bd+cd)$ แล้ว $a=b=c=d$ (4 คะแนน) 2.2 จงหาค่าของ $a,b,c,d$ ที่ทำให้ $a+b+c+d=40$ และ $ab+ac+ad+bc+bd+cd=600$ (4 คะแนน) 3. ให้ $a>0$ และ $f(x)=\dfrac{a^{2x}}{a^{2x}+a}$ เมื่อ $x\in\mathbb{Q}^+$ จงหาค่าของ $$\sum_{i=0}^{n-m}f\left(\frac{m+i}{n}\right)+\sum_{i=1}^{n-m}f\left(\frac{i}{n}\right)$$ (12 คะแนน) 4. ให้ $P(x)$ เป็นพหุนาม Quadratic และเป็น Monic ที่ทำให้มี $\alpha\in\mathbb{R}$ ที่ทำให้ $P(\alpha)=P(P(P(\alpha)))=0$ จงพิสูจน์ว่า $P(0)P(1)=0$ (10 คะแนน) 5. ให้ $a,b,c\in\mathbb{R}$ จงพิสูจน์ว่าหนึ่งในสามสมการต่อไปนี้ต้องมีรากจริง $x^2+(a-b)x+(b-c)=0$, $x^2+(b-c)x+(c-a)=0$, $x^2+(c-a)x+(a-b)=0$ (12 คะแนน) 1. ให้ $m,n\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $(2m+1,2n+1)=1$ จงพิสูจน์ว่า $(2^{2m+1}+2^{m+1}+1,2^{2n+1}+2^{n+1}+1)=1\ หรือ\ 5$ 2. ให้ $n$ เป็นจำนวนประกอบ จงแสดงว่าไม่มี $k\in\mathbb{N}$ ที่ทำให้ $(n-1)!+1=n^k$ 3. จงหา $(m,n)\in\mathbb{N}^2$ ที่ทำให้ $2^m+3^n$ เป็นกำลังสองสมบูรณ์ 4. จงหาจำนวนเฉพาะ $p$ ที่ทำให้ $4p^2+1,\ 6p^2+1$ เป็นจำนวนเฉพาะพร้อมกัน 5. จงแสดงว่ามี $n\in\mathbb{N}$ เป็นอนันต์ที่ทำให้ $n\mid 2^n+1$ 1. จงเติมคำตอบ 1.1 จงหาสัมประสิทธิ์หน้า $x^4$ ของ $(x^2+2x-1)^7$2. จงพิสูจน์ว่า 2.1 $\displaystyle{\left[\sum_{i=0}^{k}\binom{m}{i}\binom{m-i}{k-i}\right]\binom{m-k}{r-k}=2^k\binom{r}{k}\binom{m}{r}}$ ทุกจำนวนนับ $m\geq r\geq k$3. ญาญ่าแจกลูกบอล 10 ลูกต่างกันให้เด็ก 3 คน โดยที่ถ้าเด็กคนที่ 1 ได้ลูกบอลเป็นจำนวนคู่ลูก ญาญ่าจะได้ 1 แต้ม แต่ถ้าเด็กคนที่ 1 ได้ลูกบอลเป็นจำนวนคี่ลูก ญาญ่าจะเสีย 1 แต้ม จงหาผลรวมของแต้มที่ญาญ่าจะได้เมื่อคำนวณจากทุกวิธีที่เป็นไปได้ 4. ให้ $n\in\mathbb{N}$ จงหาเซตซ้ำย่อยที่มีสมาชิก $2n$ ตัวของ $\{1\cdot a_1,\ n\cdot a_2,\ n\cdot a_3,\ \infty\cdot a_4\}$ 5. มีข่าวลือแพร่ในกลุ่มคนที่มี 10 คน ซึ่งจับกันเป็นคู่ๆ 5 คู่ สองคนที่จับคู่กันจะเรียกว่าเป็น "คู่หู" กัน ข่าวลือจะถูกแพร่โดยส่งต่อทางโทรศัพท์ไปเรื่อยๆ โดยมีเงื่อนไขว่า เมื่อเริ่มต้น มีผู้รู้ข่าวลือเพียงคนเดียว และผู้รับข่าวลือจะโทรหาใครก็ได้ ที่ไม่ใช่คนที่โทรบอกตนเอง หรือ คู่หูของคนที่โทรบอกตนเอง หรือ คู่หูของตนเอง 5.1 ถ้ามีการโทรทั้งหมด $n$ ครั้ง จะมีเส้นการแพร่ข่าวลือในกลุ่มกี่วิธี 25 ตุลาคม 2015 15:47 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Pitchayut เหตุผล: เพิ่มข้อสอบของวันที่ 2 
|
|
#2
24 ตุลาคม 2015, 19:29
|
||||
|
||||
|
Brutal Force (น่าจะมีวิธีดีกว่านี้นะครับ = =") $(a-b)^2+(a-c)^2+(a-d)^2+(b-c)^2+(b-d)^2+(c-d)^2=0$ f(x)+f(1-x)=1 http://www.artofproblemsolving.com/community/c5171_2011_allrussian_olympiad http://www.artofproblemsolving.com/community/c5167_2007_allrussian_olympiad
__________________
I'm Back 24 ตุลาคม 2015 19:29 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
|
|
#3
24 ตุลาคม 2015, 19:55
|
||||
|
||||
|
$$\sum_{cyc} \sqrt{(a^2+ab+bc+ca)(b^2+ab+bc+ca)} \geq \sum_{cyc} (ab+ab+bc+ca)$$ $$2\sum_{cyc} \frac{a^3b}{a^4+a^2b^2+b^4}\leq 2\sum_{cyc} \frac{a^3b}{2a^3b+b^4} =3- \sum_{cyc} \frac{b^3}{2a^3+b^3} \leq 3-1=2$$ $$\sum_{cyc} \frac{a^3}{b+c}>\sum_{cyc} \frac{a}{b+c}\geq\frac{3}{2}$$ $$\underbrace{\frac{1}{2^{n+1}}+\frac{1}{2^{n+1}}+...+\frac{1}{2^{n+1}}}_{2^n ตัว} =\frac{1}{2}$$
__________________
I'm Back 24 ตุลาคม 2015 19:56 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Beatmania
|
|
#4
24 ตุลาคม 2015, 20:41
|
|||
|
|||
|
แทน $rr_a=(s-b)(s-c)$ ลงไป จัดรูปดีๆ ถ้าสามเหลี่ยมสองรูปมีส่วนสูงร่วมกัน แล้วอัตราส่วนของพื้นที่ = อัตราส่วนของฐาน ดังนั้น $\dfrac{OA_1}{AA_1}=\dfrac{[OBC]}{[ABC]}$ ทำคล้ายๆ กับ 3.1 ได้ว่า $\dfrac{AO_1}{AA_2}=1+\dfrac{[O_1BC]}{[ABC]}=1+\dfrac{[OBC]}{[ABC]}$
|
|
#5
25 ตุลาคม 2015, 08:41
|
||||
|
||||
|
Comment ให้บางข้อครับ
Algebra 4 ต้องเป็นพหุนามโมนิกด้วย ไม่งั้นจะยกตัวอย่างค้านได้ เช่น $P(x)=\dfrac{1}{2}(x-2)(x+2), \alpha=2$ ในสามตัวนี้ $a-b,b-c,c-a$ ต้องมีตัวนึงน้อยกว่าหรือเท่ากับ $0$ อยู่แล้ว ให้ $[ABC]$ เป็นพื้นที่สามเหลี่ยม จะได้ $\dfrac{[ABC]}{r_a}=\dfrac{b+c-a}{2}$ พิสูจน์ได้จาก $[ABC]=[ACI_a]+[ABI_a]-[BCI_a]=\frac{1}{2}br_a+\frac{1}{2}cr_a-\frac{1}{2}ar_a$ และ $\dfrac{[ABC]}{h_a}=\dfrac{a}{2}$ทำแบบนี้ทั้งสามสมการแล้วนำมาบวกกัน สมมติ $G$ เป็นจุดตัดของ $DI, EF$ จะได้ $\angle GID = \angle B, \angle GIE = \angle C$ จากนั้นก็ไล่กฎของ sine M ต้องเป็นจุดกึ่งกลางของ $BC$ ต้องพิสูจน์ให้ได้ว่า $\dfrac{\sin \angle BAG}{\sin \angle B}=\dfrac{\sin \angle CAG}{\sin \angle C}$ ขอบคุณสำหรับโจทย์ด้วยครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 25 ตุลาคม 2015 08:42 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555
|
|
#6
25 ตุลาคม 2015, 15:59
|
|||
|
|||
|
เพิ่มข้อสอบวันที่ 2 ให้แล้วนะครับ และขอบคุณคุณ Beatmania และคุณ Thgx0312555 ที่ช่วยแก้โจทย์และให้ Hint ไว้ ตอนนี้ผมขอ comment บางข้อก็แล้วกันครับ
แยก 2 กรณีคือ $n=4$ และ $n>4$ กรณี $n>4$ ให้พิสูจน์ว่า $n\mid(n-1)!$ โดยการแสดงว่าเราสามารถหยิบสองตัวจากผลคูณที่ผลคูณของสองตัวนั้นหารด้วย $n$ ลงตัว $n=5k,5k+1,5k+2,5k+3,5k+4$ ได้ $n=5$ แค่ตัวเดียว ถ้า $n$ สอดคล้องกับโจทย์ แสดงให้ได้ว่า $2^n+1$ ก็สอดคล้อง มีขนมต่างกัน $m$ ชิ้น เลือกมา $k$ ชิ้นไปขายให้พ่อค้า 2 คน และเลือกอีก $r-k$ ชิ้นไว้กินเอง นอกนั้นเก็บใส่กล่อง จำนวนแต้มเท่ากับ $\displaystyle{\sum_{r=0}^{10}(-1)^r\binom{10}{r}2^{10-r}}$ สังเกตไหมว่ามันคือทวินาม Note : 1. เทียบกับปีที่แล้ว ผมว่าพีชคณิตกับคอมบิง่ายลง แต่วิชาอื่นยากขึ้นหมด 2. อสมการ ปีนี้เป็นปีแรกที่ใช้ Modified Cauchy ได้
|
|
#7
25 ตุลาคม 2015, 16:40
|
|||
|
|||
|
NT3 สังเกตุว่าถ้า $m \geqslant 2$ แล้วจะได้nเป็นจำนวนคู่
ย้ายข้างไปเป็นผลต่างกำลังสองแล้วดูหรมของทั้งสองก้อนครับ CB2.2 $(2,3)= 1$ , คิดแยกว่าก้อน $\frac{(9n)!}{2^{3n}} $ กับก้อน $\frac{(9n)!}{3^{2n}} $ หารลงตัว 25 ตุลาคม 2015 17:17 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Kodaku
|
|
#8
25 ตุลาคม 2015, 20:38
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
5. อีกวิธี พิสูจน์ว่า $3^k|2^{3^k}+1$ อ้างอิง:
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 25 ตุลาคม 2015 20:45 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
|
|
#10
27 ตุลาคม 2015, 08:34
|
||||
|
||||
|
Combinatorics 5
ส่งข่าวลือไปให้คนที่เคยได้รับข่าวลือแล้วได้ไหมครับ ถ้าส่งได้ก็จะง่ายมาก แต่ถ้าส่งไม่ได้ก็จะยาก
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
|
#11
27 ตุลาคม 2015, 12:48
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
ได้ $80\cdot 6^{n-1}$ กับ $\frac{11}{108} $ รึป่าวครับ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 27 ตุลาคม 2015 13:14 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 3 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
|
|
#12
27 ตุลาคม 2015, 15:34
|
||||
|
||||
|
คะแนนของญาญ่าจะเท่ากับ $a_{i_1}a_{i_2} \cdots a_{i_{10}}$ เมื่อ $i_j$ เป็นหมายเลขของคนที่ได้รับลูกบอลที่ $j$ และ $a_1 = -1, a_2=1, a_3=1$ $\displaystyle \sum_{1 \le i_1,i_2,...,i_{10} \le 3} a_{i_1}a_{i_2} \cdots a_{i_{10}} = (-1+1+1)^{10}=1$ ans. $2(n+1)^2-1$ ลองวิเคราะห์ดูนะครับว่าคำตอบนี้ได้มาจากไหน Combinatorics 5 5.1 ใช่ครับ 5.2 แยกกรณีธรรมดาได้ครับ ใช้ Sample Space เป็นณเดชน์ไม่ได้เริ่ม ไม่รู้ว่าคำตอบถูกไหมนะครับ ยังไม่คิดออกมาเป็นเลขเลย
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้ 28 ตุลาคม 2015 00:58 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Thgx0312555 เหตุผล: ดูตามโพสต์ข้างล่างเลย
|
|
#13
27 ตุลาคม 2015, 17:27
|
|||
|
|||
|
คุณ Thgx0312555 Combi ข้อ 4 ไม่ใช่ $2(n+1)^2-1$ หรอครับ ส่วน Combi ข้อ 5 ของคุณ กขฅคฅฆง ตรงกับผมทั้ง 2 ข้อครับ
$$(a+b)\sqrt{(c+a)(c+b)}\geq (a+b)(c+\sqrt{ab})=ac+bc+(a+b)\sqrt{ab}\geq ac+bc+2ab$$
|
|
#14
27 ตุลาคม 2015, 23:58
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
|
|
#15
28 ตุลาคม 2015, 00:57
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
| |
| เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|
