พอจะมีโจทย์อสมการสนุกๆมั้ยครับ

[CoNanKung]

ช่วงนี้ฝนตกบ่อยเบื่อๆอยากทำอสมการสักหน่อยครับใครพอจะมีข้อสวยๆช่วยจัดมาหน่อยครับ
ขอเป็นTMOเก่าๆก็ได้ครับ

[Thgx0312555]

ระดับเบสิกสุดครับ เอาไปข้อนึงก่อน

Let $x_1,x_2,...,x_n>0$, prove that $(1+\dfrac{x_1}{x_2})(1+\dfrac{x_2}{x_3})\cdots (1+\dfrac{x_n}{x_1}) \ge 2^n$

[CoNanKung]

ใช้AM-GMแบบแยกทีละวงเล็บแล้วจับคูณกันก็ออกแล้วนิ่ครับ

[Thgx0312555]

ใช่ครับ เมื่อกี้แค่ซ้อมๆ เดี๋ยวหาข้อยากกว่านี้ก่อนครับ

[Beatmania]

สวัสดีครับ อยากร่วมสนุกเหมือนกัน

ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a_1a_2...a_n=1$ จงแสดงว่า

$$\frac{a_1}{n-1+a_1}+\frac{a_2}{n-1+a_2}+...+\frac{a_n}{n-1+a_n}\leq 1$$

[Thgx0312555]

ข้อนี้ไม่น่ายากเท่าข้อคุณ Beatmania ครับ แต่สวยดีเหมือนกัน
Let $a,b,c>0, a+b+c=1$
Prove that $\dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{c+a}{b+ca}+\dfrac{a+b}{c+ab} \ge \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$

[nooonuii]

ให้ $a,b,c,d>0$ โดยที่ $abcd=1$ จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{a+b}+\sqrt{c+d} \leq \sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2}$

[Thgx0312555]

ขอเพิ่มอีกข้อนึงนะครับ อาจจะไม่ใช่อสมการแนวคลาสสิกเท่าไรครับ

กำหนดให้ $x_1,x_2,...,x_{2n} >0$
จงพิสูจน์ว่า $\max(x_1+\dfrac{1}{x_2},x_3+\dfrac{1}{x_4},...,x_{2n-1}+\dfrac{1}{x_{2n}}) \ge 1$ หรือ $\max(x_2+\dfrac{1}{x_3},x_4+\dfrac{1}{x_5},...,x_{2n}+\dfrac{1}{x_{1}}) \ge 4$

[Beatmania]

มาเสนออสมการอีกอันที่ไม่คลาสสิกเท่าไหร่ ลองดูครับ

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งไม่มีสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านทั้งสามเป็น $a,b,c$ จงแสดงว่า

$$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 10$$

(ดัดแปลงจาก IMO 2004 #4)

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555

ข้อนี้ไม่น่ายากเท่าข้อคุณ Beatmania ครับ แต่สวยดีเหมือนกัน
Let $a,b,c>0, a+b+c=1$
Prove that $\dfrac{b+c}{a+bc}+\dfrac{c+a}{b+ca}+\dfrac{a+b}{c+ab} \ge \dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}$

ขอข้อนี้ก่อนละกันข้ออื่นขอคิดแปปนะครับ อิอิ
ใครมีวิธีอื่นสวยๆมาแชร์กันได้นะครับ

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $a,b,c,d>0$ โดยที่ $abcd=1$ จงพิสูจน์ว่า $\sqrt{a+b}+\sqrt{c+d} \leq \sqrt{a^2+b^2} + \sqrt{c^2+d^2}$

solutionของผมข้อนี้ครับ
สงสัยนิดหน่อยครับคือไอtitu lemmaสำหรับหลายตัวแปรบวกกันนี่เค้าเรียกว่าอะไรหรอครับสามารถอ้างใช้ได้เลยรึเปล่า เพราะในวิธีของผมมีการใช้แบบ2ตัวแปรอยู่แต่ไม่รู้จะเขียนว่ายังไงดีอะครับ

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

สวัสดีครับ อยากร่วมสนุกเหมือนกัน

ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a_1a_2...a_n=1$ จงแสดงว่า

$$\frac{a_1}{n-1+a_1}+\frac{a_2}{n-1+a_2}+...+\frac{a_n}{n-1+a_n}\leq 1$$

ทำไมผมลองแทนค่าแล้วอสมการมันไม่จริงอะครับ

[Beatmania]

ขอโทษครับๆ แก้เป็น $\geq$ นะครับ

[nooonuii]

ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{a^5}{a^4+b^4}+\dfrac{b^5}{b^4+c^4}+\dfrac{c^5}{c^4+a^4}\geq\dfrac{a+b+c}{2}$

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

มาเสนออสมการอีกอันที่ไม่คลาสสิกเท่าไหร่ ลองดูครับ

ให้ $a,b,c$ เป็นจำนวนจริงบวกซึ่งไม่มีสามเหลี่ยมที่มีความยาวด้านทั้งสามเป็น $a,b,c$ จงแสดงว่า

$$(a+b+c)(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c})\geq 10$$

(ดัดแปลงจาก IMO 2004 #4)

ช่วยhintข้อนี้หน่อยครับไม่รู้จะเริ่มยังไงดี