พอจะมีโจทย์อสมการสนุกๆมั้ยครับ

[Thgx0312555]

สมมติ $a \ge b+c$ แล้วกระจายฝั่งซ้ายออกมาครับ

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{a^5}{a^4+b^4}+\dfrac{b^5}{b^4+c^4}+\dfrac{c^5}{c^4+a^4}\geq\dfrac{a+b+c}{2}$

ไม่ค่อยแน่ใจครับว่าถูกรึเปล่าโดยเฉพาะบรรทัดแรกๆช่วยcheckให้หน่อยนะครับ

[Beatmania]

#17 บรรทัดที่สี่ไม่จริงครับ

เพราะว่าถ้าหากมันจริงสำหรับทุก triple $(a,b,c)$ ลองแทนใหม่เป็น $(b,a,c)$ จะได้ว่าอสมการมันกลับด้าน

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{a^5}{a^4+b^4}+\dfrac{b^5}{b^4+c^4}+\dfrac{c^5}{c^4+a^4}\geq\dfrac{a+b+c}{2}$

คิดออกกกแล้วค้าบบบ ดีใจมากๆคิดตั้งนาน วิธีนี้น่าจะถูกแล้วใช่มั้ยครับ

[Beatmania]

บรรทัดที่สามไม่จริงนะครับ เพราะลำดับ $(a^5,b^5,c^5)$ กับ $(\frac{1}{a^4+b^4},\frac{1}{b^4+c^4},\frac{1}{c^4+a^4})$ ไม่ไปทางเดียวกัน

ถ้าไปทางเดียวกันจะต้องเป็น $(a^5,b^5,c^5)$ กับ $(\frac{1}{b^4+c^4},\frac{1}{c^4+a^4},\frac{1}{a^4+b^4})$ ครับ

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

บรรทัดที่สามไม่จริงนะครับ เพราะลำดับ $(a^5,b^5,c^5)$ กับ $(\frac{1}{a^4+b^4},\frac{1}{b^4+c^4},\frac{1}{c^4+a^4})$ ไม่ไปทางเดียวกัน

ถ้าไปทางเดียวกันจะต้องเป็น $(a^5,b^5,c^5)$ กับ $(\frac{1}{b^4+c^4},\frac{1}{c^4+a^4},\frac{1}{a^4+b^4})$ ครับ

งือออ ผิดอีกแล้วหรอออ เศร้าา ยากจริงๆครับข้อนี้ ผมคิดมาหลายวิธีแล้วไม่ออกเลยย

ใครคิดข้อนี้ออกแล้วขอhintเล็กๆหน่อยได้มั้ยครับ

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ nooonuii

ให้ $a,b,c>0$ จงพิสูจน์ว่า $\dfrac{a^5}{a^4+b^4}+\dfrac{b^5}{b^4+c^4}+\dfrac{c^5}{c^4+a^4}\geq\dfrac{a+b+c}{2}$

อาจาร์ยnooonuiiรบกวนช่วยhintหน่อยสิครับ

[ThE-dArK-lOrD]

(Solution by Vasile)

[nooonuii]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CoNanKung

อาจาร์ยnooonuiiรบกวนช่วยhintหน่อยสิครับ

ลองดูที่ #23 ครับ ผมนั่งรออยู่นานเผื่อว่าจะมีคนทำเฉลยแบบสวยๆบ้าง

แต่โจทย์มันยากครับก็เลยหาเฉลยสวยๆยากหน่อย ดูแล้วไม่น่าจะยากแต่ก็อย่างที่เห็นเฉลยแหละครับ

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

สวัสดีครับ อยากร่วมสนุกเหมือนกัน

ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวกที่ $a_1a_2...a_n=1$ จงแสดงว่า

$$\frac{a_1}{n-1+a_1}+\frac{a_2}{n-1+a_2}+...+\frac{a_n}{n-1+a_n}\leq 1$$

ช่วยhintข้อนี้หน่อยสิครับ ผมคิดมาหลายเดือนแล้วยังไม่ออกสักที

[otakung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ CoNanKung

ช่วยhintข้อนี้หน่อยสิครับ ผมคิดมาหลายเดือนแล้วยังไม่ออกสักที

อสมการนี้ไม่จริงรึเปล่าครับ

ให้ $n=3, a_1=2, a_2=2, a_3=\frac{1}{4}$

จะได้ $a_1a_2a_3=1$

และ $\frac{a_1}{n-1+a_1}+\frac{a_2}{n-1+a_2}+\frac{a_3}{n-1+a_3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}>1$

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ otakung

อสมการนี้ไม่จริงรึเปล่าครับ

ให้ $n=3, a_1=2, a_2=2, a_3=\frac{1}{4}$

จะได้ $a_1a_2a_3=1$

และ $\frac{a_1}{n-1+a_1}+\frac{a_2}{n-1+a_2}+\frac{a_3}{n-1+a_3}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}+\frac{1}{9}=\frac{10}{9}>1$

ข้อนี้โจทย์แก้จาก<=1เป็น >=1ครับ

[หัวหมาหางสิงโต]

เอาข้อง่ายๆ มาปลอบใจครับ
จงพิสูจน์ว่า \[a^a b^b c^c \geqslant (abc)^\frac{a+b+c}{3}\]

[CoNanKung]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ หัวหมาหางสิงโต

เอาข้อง่ายๆ มาปลอบใจครับ
จงพิสูจน์ว่า \[a^a b^b c^c \geqslant (abc)^\frac{a+b+c}{3}\]

ข้อนี้ใช้weight amgm ของ(1/a)^(a/a+b+c)อะครับ

โทดทีครับพอดีผมมาเข้าค่ายสอวนเลยไม่มีคอมให้พิมเป็นภาพแล้วผมก็ใช้พวกสัญลักษณ์ในเว็บนี้ไม่ค่อยเป็นซะด้วย

[CoNanKung]

ใครมีโจทย์สนุกๆอีกมาแบ่งปันกันได้นะครับ


ปล.ข้อคุณbeatmaniaนี่ยากจริงๆครับคิดมาหลายเดือนยังไม่ออกเลย