ช่วย prove หรือ disprove conjecture ตัวนี้หน่อยครับ

[จูกัดเหลียง]

ช่วงนี้ผมลากออกจากการเรียนเลยว่างๆน่ะครับ เเล้วผมก็ไปเจอของอันนึงเข้าเห็นว่าน่าสนใจเลยลองเอามาให้คิดกันดูนะครับ เป็น conjecture ที่ผมมั่วๆขึ้นมาเองนะครับ

พิจารณาอสมการ $\displaystyle 0<2^k-3^n<\dfrac{3^n-1}{2}$ เมื่อ $k,n\in\mathbb{N}$

ผมตั้ง conjecture ไว้ 2 ข้อดังนี้ครับ
1.มี $n$ เป็นจำนวนอนันต์ที่ทำให้ไม่มีจำนวนนับ $k$ ที่สอดคล้องอสมการนี้

ตัวอย่างของ $n$ นะครับ (ผมไล่ๆเเค่เลขน้อยๆอยู่) $n=1,2,7,9,12,16,19$ ตอนเเรกผมเชื่อว่าถ้า $n$ มากๆขอบมันน่าจะกว้างพอให้มีค่า $k$ ได้ เเต่ปรากฏว่า เลข $7,9,12,16,19$ นี้ทำให้ผมคิดใหม่น่ะครับ

2. ถ้ากรณีที่ $n=5s,\exists s\in\mathbb{N}$ เเล้ว $\dfrac{k}{n}=1.6$ เช่น $n=5,10,15,20$ ได้ $k=8,16,24,32$ ตามลำดับ


ตอนนี้ข้อ 2 ได้ว่าไม่จริงเเล้วครับๆ

[Thgx0312555]

ลอง take log ดู อาจจะได้อะไรมากขึ้นก็ได้ครับ

[จูกัดเหลียง]

อ่อครับ ข้อหนึ่งก็เป็นจริงด้วย

[ThE-dArK-lOrD]

$k=159,n=100$