Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > คอมบินาทอริก
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 30 กันยายน 2016, 11:00
kalakid kalakid ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 14 มีนาคม 2009
ข้อความ: 15
kalakid is on a distinguished road
Default ขอไอเดียพิสูจน์หน่อยครับ

1.Let $n\ge2$. Then
$$\sum_{k = 1}^{n} (-1)^k k^j\binom{n}{k} =0, \;\;\; for\;\; j=1,2,...,n-1.$$

02 ตุลาคม 2016 17:54 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 5 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ kalakid
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 27 กรกฎาคม 2020, 20:29
Anton's Avatar
Anton Anton ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 27 กรกฎาคม 2020
ข้อความ: 20
Anton is on a distinguished road
Send a message via ICQ to Anton Send a message via AIM to Anton Send a message via MSN to Anton Send a message via Yahoo to Anton Send a message via Skype™ to Anton
Default

อ้างอิง:
Problem. For an integer $n\geq 2$ and for each integer $j=1,2,\ldots,n-1$, prove that $$\sum_{k=1}^n\,(-1)^k\,\binom{n}{k}\,k^j=0\,.$$
Define an operator $\Delta$ by
$$\Delta p(x):=p(x+1)-p(x)$$
for all polynomials $p(x)\in\mathbb{C}[x]$. Prove that, if $p(x)\in\mathbb{C}[x]$ has degree $n$, then $$\Delta^{n+1}p(x)=0\tag{*}\,.$$ Now, observe that
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,(x+k)^j=\Delta^np_j(x)\,,$$
where $p_j(x):=x^j$ for $j=0,1,2,3,\ldots$. By the observation (*), we conclude that $$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,(x+k)^j=0$$ for $j=0,1,2,\ldots,n-1$. Plugging in $x:=0$, we obtain $$(-1)^n\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^k\,k^j\,\binom{n}{k}=\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,k^j=0$$ for every $j=0,1,2,\ldots,n-1$ (we use the convention $0^0=1$ here). Note, however, that
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,k^n=n!\,.$$

More generally, let $\displaystyle{p \brace q}$ be the Stirling number of the second kind with parameters $p,q\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$. We can write
$$x^p=\sum_{r=0}^n\,{p \brace r}\,r!\,\binom{x}{r}$$
for all $p\in\mathbb{Z}_{\geq 0}$. Therefore,
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,k^j=\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,\sum_{r=0}^j\,{j \brace r}\,r!\,\binom{k}{r}\,.$$
That is,
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,k^j=\sum_{r=0}^j\,{j \brace r}\,r!\,\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,\binom{k}{r}\,.$$
When $r<n$, then
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,\binom{k}{r}=\sum_{k=r}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{r}\,\binom{n-r}{k-r}=\binom{n}{r}\,(1-1)^{n-r}=0\,.$$
When $r=n$, then
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,\binom{k}{r}=\binom{n}{n}\,\binom{n}{n}=1\,.$$
When $r>n$, then
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,\binom{k}{r}=\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\cdot 0=0\,.$$
Therefore,
$$\sum_{k=0}^n\,(-1)^{n-k}\,\binom{n}{k}\,k^j={j\brace n}\,n!\,,$$
where we note that $\displaystyle{j\brace n}$ is conventionally defined to be $0$ if $j<n$.
__________________
Потом доказывай, что ты не верблюд.

29 กรกฎาคม 2020 03:12 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 11 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Anton
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 06:38


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha