Road to IMO 2017 to Infinity

[Terry Tao]

1. จงพิสูจน์ว่าสำหรับทุก $a \in \mathbb{Z} $ จะมี $n \in \mathbb{N} $ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบบวก

[Terry Tao]

อันนี้สูตร useful cอยู่บนเส้นตรงผ่านzและขนานกับab ก็ต่อเมื่อ (z-c)\(b-a)เป็นจำนวนจริง

[Terry Tao]

อีกสูตร cอยู่บนเส้นตรงผ่านzตั้งฉากกับเส้นตรงab ก็ต่อเมื่อ $\frac{(z-c)}{(b-a)} \in i\mathbb{R}$

[Terry Tao]

Triangle $BCF$ has a right angle at $B$. Let $A$ be the point on line $CF$ such that $FA=FB$ and $F$ lies between $A$ and $C$. Point $D$ is chosen so that $DA=DC$ and $AC$ is the bisector of $\angle{DAB}$. Point $E$ is chosen so that $EA=ED$ and $AD$ is the bisector of $\angle{EAC}$. Let $M$ be the midpoint of $CF$. Let $X$ be the point such that $AMXE$ is a parallelogram. Prove that $BD,FX$ and $ME$ are concurrent.
IMO 2016 problem1 ผมhintให้ครับ1.ไล่มุม 2.วาดวงกลมล้อมรอบBCF 3.อะไรcollinearกันบ้าง 4.หาสี่เหลี่ยมด้านขนานเยอะๆ

[Beatmania]

เอาจริงๆ เหรอครับ ผมว่าผมสู้พลานุภาพไม่ไหวแน่ๆ 555

แจก NT ให้ข้อนึงครับ

ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $\phi(5^m-1)=5^n-1$ จงแสดงว่า $gcd(m,n)>1$

ข้อแรกสุด ผมได้แต่แสดงว่ามีอ่ะครับ มีเป็นอนันต์คงจะยาก 555

ELMO2015#4

กรณี $a$ เป็นเลขคู่ก็ไม่ต้องทำไรต่อแล้วครับ 555

กรณีเป็นเลขคี่ ลองให้ $a=2^vk+1$ โดย $k$ เป็นเลขคี่

ก่อนอื่น เราจะแสดงว่ามี $n$ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบ

สมมุติขัดแย้งว่า ถ้าหากทุกๆ จำนวนนับ $n$ $p_n=2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนเฉพาะ

เราก็จะได้ว่า $p_v$ เป็นจำนวนเฉพาะด้วย พิจารณา $p_N$ โดย $N=\phi(\frac{p_v-1}{2^v})+v$ จะได้ว่า $p_N\equiv 0 (mod p_v)$

ขัดแย้งกับที่ว่า $p_N$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น จึงมีจำนวนนับ $n$ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบ

[Terry Tao]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Beatmania

เอาจริงๆ เหรอครับ ผมว่าผมสู้พลานุภาพไม่ไหวแน่ๆ 555

แจก NT ให้ข้อนึงครับ

ให้ $m,n$ เป็นจำนวนนับโดยที่ $\phi(5^m-1)=5^n-1$ จงแสดงว่า $gcd(m,n)>1$

ข้อแรกสุด ผมได้แต่แสดงว่ามีอ่ะครับ มีเป็นอนันต์คงจะยาก 555

ELMO2015#4

กรณี $a$ เป็นเลขคู่ก็ไม่ต้องทำไรต่อแล้วครับ 555

กรณีเป็นเลขคี่ ลองให้ $a=2^vk+1$ โดย $k$ เป็นเลขคี่

ก่อนอื่น เราจะแสดงว่ามี $n$ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบ

สมมุติขัดแย้งว่า ถ้าหากทุกๆ จำนวนนับ $n$ $p_n=2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนเฉพาะ

เราก็จะได้ว่า $p_v$ เป็นจำนวนเฉพาะด้วย พิจารณา $p_N$ โดย $N=\phi(\frac{p_v-1}{2^v})+v$ จะได้ว่า $p_N\equiv 0 (mod p_v)$

ขัดแย้งกับที่ว่า $p_N$ เป็นจำนวนเฉพาะ ดังนั้น จึงมีจำนวนนับ $n$ ที่ทำให้ $2^{2^n}+a$ เป็นจำนวนประกอบ

พิสูจน์ว่ามีนั่นแหละครับ ผมจำโจทย์ผิด 5555

[Beatmania]

แจก Set เรขาเผื่อมีคนสนใจครับ

1. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ

เส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน $BAC$ ตัดกับ $BC$ และ $\Omega$ ที่จุด E,F ตามลำดับ

วงกลมแนบในสามเหลี่ยม $ABC$ สัมผัสด้าน $BC$ ที่จุด $D$

ให้ $\omega,\Gamma_A$ แทนวงกลมล้อมรอบ $DEF$ และวงกลมแนบนอกตรงข้ามมุม $A$

ถ้าหาก $\omega\cap \Omega=F,T$ และ $\omega\cap \Gamma_A=S_1,S_2$

จงแสดงว่า $A,T,S_1$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน หรือ $A,T,S_2$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน (USATST2016 #2)

2. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ

ให้ $\omega_A$ แทนวงกลมที่สัมผัสด้าน $AB,AC$ และสัมผัส $\Omega$ แบบภายในที่จุด $T_A$

เรานิยาม $\omega_B,\omega_C,T_B,T_C$ ในทำนองเดียวกัน

จงแสดงว่า $AT_A,BT_B,CT_C$ ตัดกันที่จุดๆ เดียว (Japan MO 2007)

3. เราจะเรียกจุด $P$ ในสามเหลี่ยมมุมแหลมด้านไม่เท่า $ABC$ ว่า "มหัศจรรย์" ถ้าหากสองคล้องกับสมบัติสองข้อต่อไปนี้

1.) ถ้าหากเราลาก $PX\perp BC,PY\perp CA,PZ\perp AB$ โดยที่ $X,Y,Z$ อยู่บนด้าน $BC,CA,AB$

แล้ว $AX,BY,CZ$ ตัดกันที่จุดเดียว

2.) $\angle PAB+\angle PBC+\angle PCA = \angle 90^{\circ}$

จงหาทางเดินจุด (โลคัส) ของจุดมหัศจรรย์ (USATST2016 #6)

4. ให้ $ABC$ เป็นรูปสามเหลี่ยมที่มีวงกลม $\Omega $ ล้อมรอบ

เส้นแบ่งครึ่งมุมภายใน $ABC$ และมุม $BCA$ ตัดด้านตรงข้ามที่จุด $E,F$ ตามลำดับ

เส้นตรง $EF$ ตัดกับ $\Omega$ ที่จุด $M,N$ ให้ $I$ เป็นจุดศูนย์กลางวงกลมแนบใน

จงแสดงว่ารัศมีของวงกลมล้อมรอบ $MIN$ มีขนาดเป็นสองเท่าของรัศมี $\Omega $ (Russia 2006)

5. ให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมด้านไม่เท่าที่มี $I$ เป็นจุด ศก วงกลมแนบใน

วงกลมแนบในสัมผัสด้าน $\overline{BC}$, $\overline{CA}$, $\overline{AB}$ ที่จุด $D$, $E$, $F$, ตามลำดับ

ให้ $M$ เป็นจุดกึ่งกลางด้าน $\overline{BC}$, $Q$ เป็นจุดในวงกลมแนบในโดยที่ $\angle AQD = 90^{\circ}$

ให้ $P$ เป็นจุดภายในสามเหลี่ยมและอยู่บนเส้น $AI$ โดยที่ $MD = MP$

จงแสดงว่า $\angle PQE = 90^{\circ}$ หรือ $\angle PQF = 90^{\circ}$ (USATST2015 #1)

[Terry Tao]

เรขาสอบไปครบแล้วครับ ขอเป็น Algebra+IE+FE หน่อยครับ

[Beatmania]

ว่าแล้วว่าต้องเป็นน้องในค่าย 5555 จะจัดให้แบบไม่ผิดหวังแน่นอนครับๆ เอา I ไปก่อนแล้วกัน

1. ให้ $x_1\leq x_2\leq ...\leq x_n$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $\frac{x_1}{1}\geq \frac{x_2}{2}\geq ... \geq \frac{x_n}{n}$ จงแสดงว่า

$$\frac{x_1+x_2+...+x_n}{n\sqrt[n]{x_1x_2...x_n} }\leq \frac{n+1}{2\sqrt[n]{n!} }$$

(China TST 2015)

2. ให้ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงบวก จงแสดงว่า

$$\left (\frac{\sum_{j=1}^{n} \left (\prod_{k=1}^{j}a_k \right )^{\frac{1}{j}}}{\sum_{j=1}^{n}a_j} \right )^{\frac{1}{n}}+\frac{\left (\prod_{i=1}^{n}a_i \right )^{\frac{1}{n}}}{\sum_{j=1}^{n} \left (\prod_{k=1}^{j}a_k \right )^{\frac{1}{j}}}\le \frac{n+1}{n}$$

(China TST 2015)

3. จงหาจำนวนจริงบวก $\lambda$ ที่น้อยที่สุดที่มีสมบัติว่า

สำหรับจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2,z_3$ ที่อยู่ภายในวงกลมหนึ่งหน่วย ถ้าหาก $z_1+z_2+z_3=0$ แล้ว

$$|z_1z_2+z_2z_3+z_3z_1|^2+|z_1z_2z_3|^2<\lambda$$

(China TST 2016)

4. ให้ $z_1,z_2,...,z_n$ เป็นจำนวนเชิงซ้อนและ $r\in (0,1)$โดยที่ $|z_i-1|\leq r$ จงแสดงว่า

$$|\sum_{i = 1}^{n} z_i||\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{z_i} |\geq n^2(1-r^2)$$

(China MO 2015 #1)

5. ให้ $x_1,x_2,...,x_n$ เป็นจำนวนจริงบวกโดยที่ $x_1+x_2+...+x_n=1$ จงแสดงว่า

$$(\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1-x_i} )(\sum_{1\leq i<j\leq n} x_ix_j)\leq \frac{n}{2} $$

(China Western MO 2015 #3)

[Beatmania]

อันนี้จะเป็น A นะครับ หาโจทย์ยากเหมือนกันนะ 55

1.) พิจารณาระบบสมการที่มี $x_1,x_2,x_3$ เป็นตัวแปรตามด้านล่าง

$$a_{11}x_1+a_{12}x_2+a_{13}x_3=0$$
$$a_{21}x_1+a_{22}x_2+a_{23}x_3=0$$
$$a_{31}x_1+a_{32}x_2+a_{33}x_3=0$$

กำหนดให้ $a_{ij} > 0$ ก็ต่อเมื่อ $i=j$ และผลรวม สปส ในแต่ละสมการมีค่ามากกว่าศูนย์

จงแสดงว่าระบบสมการนี้มีคำตอบแค่หนึ่งชุดคือ $(x_1,x_2,x_3)=(0,0,0)$ (ISL 1965)

2.) กำหนดให้ $a_0<a_1<...$ เป็นลำดับอนันต์ของจำนวนนับ

จงแสดงว่าจะมีจำนวนนับ $n$ เพียงจำนวนเดียวที่ทำให้

$$a_n<\frac{a_0+a_1+...+a_n}{n}<a_{n+1}$$

(IMO 2014 #1)

3.) สำหรับเซต $A,B$ ที่ไม่เป็นเซตว่าง เรากำหนดให้ $A+B=(a+b|a\in A,b\in B)$

เป็นไปได้หรือไม่ที่จะเขียน $\mathbb{Q}$ ในรูปของ $A\cup B\cup C$

โดยที่เซตทั้งสาม disjoint กัน และ $A+B,B+C,C+A$ disjoint กันเช่นกัน

(ISL 2012 A2)

4.) กำหนดให้

$$f(x)=\sum_{i = 1}^{n} a_ix^i,g(x)=\sum_{i = 1}^{n} \frac{a_i}{2^i-1} x^i$$

โดยที่ $n$ เป็นจำนวนนับ $a_1,a_2,...,a_n$ เป็นจำนวนจริงและ $a_n\neq 0$

ถ้าหาก $1,2^{n+1}$ เป็นรากของ $g$ จงแสดงว่า $f$ มีรากที่เป็นบวกและมีค่าน้อยกว่า $2^n$

(USATST 2004)

5.) จงหาพหุนาม $P(x)$ ที่มี สปส เป็นจำนวนจริงทั้งหมดโดยที่

$$P(\sqrt{2}x)=P(x+\sqrt{1-x^2})$$

สำหรับทุกจำนวนจริง $x\in[-1,1]$ (USATSTST 2015 #3)

[Terry Tao]

ขอบคุณครับ

[Aquila]

คุณ Beatmania ไม่ลองส่งพวกชีทแบบแยกเทคนิกให้น้องเขาดูละครับ

อย่าง Geo ก็จะมีหลายๆเทคนิกย่อย รวมทั้งพวก Dark Arts แบบเชิงซ้อน อัดแกนอะไรแบบนี้

ปล.หลังจากเลยช่วงทำโจทย์ส่วนนี้ไป แบบตอนน้องเขาสอบเสร็จแล้ว แบ่งๆกัน

[Beatmania]

มีคนขอ Combi มาครับ 555

1.) พิจารณาส่วนของเส้นตรง $n$ เส้นที่สองเส้นใดๆ ตัดกัน และไม่มีสามเส้นใดที่ตัดกันจุดเดียว

เจฟจะวางกบที่ปลายส่วนของเส้นตรงแต่ละเส้น และวางหันหน้าไปยังปลายอีกด้านหนึ่งขอส่รวนของเส้นตรง

เมื่อเจฟปรบมือ กบจะกระโดดโดยไปยังจุดตัดจุดแรกที่เจอ

เขาต้องการวางกบโดยที่ไม่มีกบสองตัวใดๆ อยู่ในตำแหน่งเดียวกันหลังการปรบมือแต่ละครั้ง

จงแสดงว่า

เจฟจะสามารถวางกบตามที่เขาต้องการได้เสมอเมื่อ $n$ เป็นเลขคี่ และ

เจฟจะไม่สามารถทำตามความต้องการเขาได้ ถ้าหาก $n$ เป็นจำนวนคู่

(IMO2016 #6)

2.) เราจะเรียกรูปหลายเหลี่ยม $P$ ว่า Lattice Polygon ถ้าหากความยาวด้านทุกด้านเป็นจำนวนนับ

และสองด้านที่ติดกันใดๆ จะตั้งฉากกัน

ถ้าหากเราสามารถปู Lattice Polygon P ได้ด้วย S-tetrominoes ได้

จงแสดงว่าไม่ว่าอย่างไรก็ตาม ถ้าหากเราใช้ S-tetrominoes และ Z-tetrominoes ในการปู P

เราจะต้องใช้ Z-tetrominoes เป็นจำนวนคู่ชิ้นเสมอ (ISL 2014 C3)

ปล.ข้อนี้ไปหารูป tetrominoes กันเองนะครับๆ = =" แนบรูปไม่เป็น

3.) มีตารางขนาดอนันต์ แต่ละช่องจะถูกระบายด้วยสีสีหนึ่งจากสีทั้งหมด $1201$ สี

โดยที่มีสมบัติว่า สี่เหลี่ยมผืนผ้าที่มีความยาวรอบรูป 100 ใดๆ ที่คลุมช่องในตารางสนิท

จะไม่มีสองช่องใดๆ ในสี่เหลี่ยมผืนผ้านี้ที่มีสีเดียวกัน

จงแสดงว่า ข้อความด้านบนเป็นจริงสำหรับสี่เหลี่ยมผืนผ้าขนาด $1\times1201$ และ $1201\times 1$

(Balkan MO 2016 #4)

4.) ให้ $x$ เป็นจำนวนอตรรกยะ จงแสดงว่ามีจำนวนเต็ม a,b โดยที่ $\frac{1}{2555}<ax+b<\frac{1}{2012}$

(TMO9 #10 / Special Case of Kronecker's Theorem)

5.) ให้ $X_1, X_2, \ldots, X_{100}$ เป็นสับเซตที่ไม่ใช่เซตว่างและแตกต่างกันของ $S$

สำหรับทุก $i=1,2,...,99$ , $X_i\cap X_{i+1}=\emptyset$ และ $X_i\cup X_{i+1}\neq S$

จงหาค่าที่น้อยที่สุดที่เป็นไปได้ของ $|S|$ (USAMO2016 #1)

[Beatmania]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Aquila

คุณ Beatmania ไม่ลองส่งพวกชีทแบบแยกเทคนิกให้น้องเขาดูละครับ

อย่าง Geo ก็จะมีหลายๆเทคนิกย่อย รวมทั้งพวก Dark Arts แบบเชิงซ้อน อัดแกนอะไรแบบนี้

ปล.หลังจากเลยช่วงทำโจทย์ส่วนนี้ไป แบบตอนน้องเขาสอบเสร็จแล้ว แบ่งๆกัน

จริงๆ ก็ชอบเรขาอ่ะครับ แต่ยังต้องฝึกฝนอีกหน่อยนึงถึงจะเก่ง

พวกเรขาด้านมืดผมแทบไม่ค่อยได้แตะเลยครับ - -" อาจจะแนะนำตรงส่วนนี้ยังไม่ค่อยได้

ปกติผมจะชอบ Synthetic Geometry มากกว่าครับ เหมือนมันเห็นความสวยงามได้มากกว่า

แต่ก็อาจจะมีตรีโกณนิดหน่อยตามความจำเป็น 555

[Pitchayut]

IE แต่ละข้อดูป่าเถื่อนมากเลย แล้วอาจารย์ในค่ายเค้าชอบออกแนว 3-4 ตัวแปรด้วย