|
|
|||||||
| สมัครสมาชิก | คู่มือการใช้ | รายชื่อสมาชิก | ปฏิทิน | ค้นหา | ข้อความวันนี้ | ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว |
  |
|
|
เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
#18
20 ตุลาคม 2016, 19:35
|
|||
|
|||
อ้างอิง:
 ต่อส่วนของเส้นตรงทั้งหมดออกทั้ง2ข้างถึงระยะอนันต์และให้เจฟวางกบไว้ที่ระยะอนันต์และถือว่าการปรบมือครั้งที่0 กบจะกระโดดมายังจุดปลายของส่วนของเส้นตรงเดิม สร้างวงกลม $\omega$ ให้จุดทุกจุดที่เกิดจากการตัดกับเส้น $n$ เส้น อยู่ใน $\omega$ ให้จุดที่เส้นตัดกับวงกลมข้างบนสุดเรียกว่า $a_1$ และให้ $a_{i+1}$ คือจุดที่อยู่ถัดจากจุด $a_i$ โดยนับวนตามเข็มนาฬิกา ทุก $i=1,2,3,...2n-1$ จะได้ว่ากบสามารถอยู่ได้ตามจุด $a_i$ พิจารณาจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$ กำหนดให้กบที่อยู่ตรง $a_i$ กระโดด $b$ ครั้ง ถึงจะถึงจุดที่เส้นที่ลากออกจาก $a_i$ ตัดกับ $a_{i+1}$ จะเรียกจุดที่อยู่ข้างบนจุดตัด(ให้จุดกึ่งกลางส่วนโค้งน้อยระหว่างจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$)ว่าจุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a_i,a_{i+1})$และจะเรียกจุดที่อยู่ข้างล่างว่าจุดล่างบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a-i,a_{i+1})$ ดังนั้นจำนวนจุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a_i,a_{i+1})$ $=b$ สมมติให้มีเส้น $l_1$ ที่ตัด $a_i$ ทำให้เกิดจุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ $(a_i,a_{i+1})$ แต่ตัดเส้น $a_{i+1}$ ทำให้เกิดจุดล่างบนเส้น$a_{i+1}$เทียบกับ$(a_i,a_{i+1})$ จากเส้น2เส้นตัดกันได้ที่จุดเดียวและไม่มีสามเส้นใดตัดกันที่จุดเดียว ดังนั้นเส้น $l_1$ จะตัดวงกลมระหว่างจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$ ซึ่งเกิดข้อขัดแย้งกับการกำหนดจุด $a_i$ ดังนั้นเส้นตรงทุกเส้นที่มาตัดกับเส้นที่ลากออกจากจุด $a_i$ กับ $a_{i+1}$ จะทำให้เกิด จุดบนบนเส้น$a_i$เทียบกับ$(a_i,a_{i+1})$ $=$ จุดบนบนเส้น$a_{i+1}$เทียบกับ$(a_i,a_{i+1})$ $= b$ นั่นคือเมื่อเจฟปรบมือ $b$ ครั้งกบจะกระโดดไปอยู่ในตำแหน่งเดียวกัน ดังนั้นทุก $2$ จุด ที่อยู่ติดกัน จะมีเพียงจุดใดจุดนึงเท่านั้นที่มีกบอยู่(กรณีไม่มีกบในทั้ง2จุดจะทำให้กบไม่ครบตามที่โจทย์ต้องการ) นั่นคือวางกบได้2แบบ คือ $a_1,a_3,...,a_{2n-1}$ หรือ $a_2,a_4,...,a_{2n}$ เพียวพอจะพิสูจน์ว่ากรณี $a_1,a_3,...,a_{2n-1}$ ทำไม่ได้ ซึ่งจาก $n$ เป็นเลขคู่ ชัดเจนว่าการวางกบแบบ $a_1,a_3,...,a_{2n-1}$ จะมีกบตรงจุด $a_{n+1}$ สมมติให้ เส้นที่ลากออกจาก $a_1$ กับ $a_{n+1}$ เป็นคนละเส้น ให้เส้นที่ลากออกจาก $a_1$ คือ $l_2$ ซึ่งจะแบ่งจุดเป็น2กลุ่มที่ไม่เท่ากัน ทำให้ฝั่งที่มีจุดมากกว่าจะมี$2$จุดซึ่งเส้นที่ลากออกจาก$2$จุดนั้นเป็นเส้นเดียวกัน ให้เป็น $l_3$ จะได้ $l_2$ กับ $l_3$ ตัดกันนอกวงกลมซึ่งจะขัดแย้งกับการกำหนด $\omega$ ดังนั้น $l_2$ ผ่านจุด $a_1$ กับ $a_{n+1}$ ทำให้เส้น $l_2$ มีกบ$2$ตัว ซึ่งจะขัดแย้งกับที่วางกบเพียง1ตัวไว้บนปลายส่วนของเส้นตรงเดียวกัน(วางบนเส้นตรงเดียวกันหลังปรบมือครั้งที่$0$จะทำให้กบ2ตัวอยู่บนจุด ปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน) ดังนั้น กรณี $n$ เป็นเลขคู่ จะไม่สามารถวางกบตามที่ต้องการได้  
|
|
#19
20 ตุลาคม 2016, 21:33
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
1. จะพิสูจน์ว่าจุดปลายที่อยู่ติดกันจะวางกบ2ตัวบนทั้งสองจุดปลายนั้นไม่ได้ พิจารณาส่วนของเส้นตรง2เส้นที่จุดปลายติดกัน จะได้ว่า ระหว่างจุดปลายกับจุดตัดของเส้นตรง2เส้นนี้ จะมีเส้นอื่นมาตัดเป็นจำนวนเท่ากัน เพราะถ้าไม่เท่ากัน แปลว่ามีส่วนของเส้นตรงที่จุดปลายอยู่ระหว่าง2เส้นนี้ ดังนั้นถ้าเอากบมาวางทั้งสองจุดปลายนี้ กบจะชนกันที่จุดตัดของเส้น2เส้นนี้ เนื่องจากกบมี n ตัว จะมีจุดปลายที่ว่างอย่างน้อย n จุด แต่เรามีจุดปลายอยู่ 2n จุด ดังนั้นระหว่างกบ2ตัวที่ติดกันจะมีจุดปลายที่ว่างแค่จุดเดียว 2. จะพิสูจน์ว่าถ้าสามารถวางกบแบบจุดเว้นจุดได้ (กบ2ตัวที่ติดกันจะมีจุดปลายว่าง1จุด) จะทำให้บรรลุความต้องการได้เสมอ พิจารณากบ2ตัวที่ติดกัน พิจารณาเฉพาะระหว่างจุดที่วางกบกับจุดตัดของ2เส้นนี้ จะมีเพียงเส้นเดียวที่ตัดกับเส้นตรงกลาง ส่วนเส้นอื่นๆจะตัดทั้งสองเส้นหรือไม่ตัดทั้งสองเส้นเลย ทำให้เส้นสองเส้นนี้ จะตัดกับเส้นอื่นเป็นจำนวนไม่เท่ากัน ดังนั้นกบจะไม่มีวันชนกัน จากข้อ1และ2สรุปว่าจะบรรลุความต้องการก็ต่อเมื่อสามารถวางกบแบบจุดเว้นจุดได้ ให้จุดปลายที่วางกบเป็นตัวแรกคือจุดปลายที่1 แล้วนับจุดปลายที่ 2,3,...,2n ตามเข็มนาฬิกา จะได้ว่าจุดที่ i กับ n+i เป็นจุดปลายของส่วนของเส้นตรงเดียวกัน เนื่องจากเจฟจะต้องวางกบที่จุด 1,3,5,...,2n-1 ถ้า n เป็นคู่ เมื่อ i เป็นคี่จะได้ว่า n+i เป็นคี่ ทำให้เจฟต้องวางกบทั้งสองจุดปลายของส่วนของเส้นตรง เกิดข้อขัดแย้ง ถ้า n เป็นคี่จะได้ว่า i เป็นคี่ก็ต่อเมื่อ n+i เป็นคู่ ทำให้แต่ละส่วนของเส้นตรงจะมีกบแค่ตัวเดียว จึงบรรลุตามที่ต้องการ
__________________
เหนือฟ้ายังมีอวกาศ 20 ตุลาคม 2016 21:36 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ กขฃคฅฆง
|
|
#22
21 ตุลาคม 2016, 09:57
|
||||
|
||||
|
วันนี้เรียน FE ใช่มั้ยครับ จัดไปครับ
1.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า ถ้าหาก $a,b,c$ เป็นจำนวนเต็มที่ $a+b+c=0$ แล้วเราจะได้ว่า $$f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)$$ (IMO 2012 #4) 2.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$ ทั้งหมดที่ $$f(f(m)+n)+f(m)=f(n)+f(3m)+2014$$ สำหรับทุกจำนวนเต็ม $m,n$ (ISL 2014 A4) 3.) จงหาฟังก์ชัน $f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$ ทั้งหมดที่ $$f(x+f(x+y))+f(xy)=x+f(x+y)+yf(x)$$ สำหรับทุกจำนวนจริง $x,y$ (IMO 2015 #5) 4.) จงหาฟังก์ชัน $f,g:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N}$ ทั้งหมดที่มีสมบัติว่า $$f^{g(n)+1}(n)+g^{f(n)}(n)=f(n+1)-g(n+1)+1$$ สำหรับทุกจำนวนนับ $n$ (ในที่นี้ $f^k(n)$ หมายถึงฟังก์ชันซ้อนกับ $k$ ตัว) (ISL 2011 A4) 5.) ให้ $S$ เป็นสับเซตของจำนวนจริง เราจะกล่าวว่าฟังก์ชัน $f,g:S\rightarrow S$ ว่าเป็น "คู่หู" ถ้าหากสอดคล้องกันสองเงื่อนไขต่อไปนี้ 1.) $f(x)<f(y),g(x)<g(y)$ เมื่อ $x,y\in S$ และ $x<y$ 2.) $f(g(g(x)))<g(f(x))$ เมื่อ $x\in S$ จงพิจารณาว่ามีฟังก์ชันที่เป็นคู่หูหรือไม่เมื่อ 1.) $S=\mathbb{N}$ 2.) $S=\left\{a-\frac{1}{b}|a,b\in\mathbb{N}\right\} $ (ISL 2008 A3)
__________________
I'm Back
|
|
#23
21 ตุลาคม 2016, 16:05
|
||||
|
||||
|
อ้างอิง:
WLOG ให้ $Q$ เป็น monic จะได้ $P$ เป็น monic ด้วย ก่อนอื่นจะได้ $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ หรือ $\deg [P(x)]=5,\deg [Q(x)]=3$ กรณี $\deg [P(x)]=3,\deg [Q(x)]=5$ $\quad 1,2,...,15$ เป็นคำตอบของ $P(Q(x))=0$ แต่สมการ $P(x)=0$ มีคำตอบได้อย่างมาก $3$ คำตอบ สมมติคำตอบเหล่านั้นคือ $a,b,c$ ต่อมาสมการ $Q(x)=a,Q(x)=b,Q(x)=c$ มีคำตอบได้อย่างมากสมการละ $5$ คำตอบ แต่เราทราบว่าสามสมการนี้ต้องมีคำตอบรวมกัน $15$ คำตอบ จึงทำให้แต่ละสมการมี $5$ คำตอบพอดี เราจึงได้ระบบสมการต่อไปนี้ $Q(x)=(x-r_1)(x-r_2)\cdots (x-r_5)+a$ $Q(x)=(x-r_6)(x-r_7)\cdots (x-r_{10})+b$ $Q(x)=(x-r_{11})(x-r_{12})\cdots (x-r_{15})+c$ เมื่อ $r_1,r_2,...,r_{15}$ เป็นการเรียงสับเปลี่ยนของ $1,2,...,15$ ดังนั้นโดยผลบวกราก $r_1+r_2+\cdots+r_5=r_6+r_7+\cdots+r_{10}=r_{11}+r_{12}+\cdots+r_{15}$ และ $\displaystyle \sum_{1\le i < j \le 5} r_ir_j=\sum_{6\le i < j \le {10}} r_ir_j=\sum_{{11}\le i < j \le {15}} r_ir_j$ จะได้ $r^2_1+r^2_2+\cdots+r^2_5=r^2_6+r^2_7+\cdots+r^2_{10}=r^2_{11}+r^2_{12}+\cdots+r^2_{15} = \dfrac{1}{3}(1^2+2^2+\cdots+15^2) = \dfrac{1240}{3}$ จึงเกิดข้อขัดแย้ง อีกกรณีนึงสามารถทำเช่นเดียวกัน แต่จะมาเปลี่ยนตรงท้ายจะกลายเป็น $r_1+r_2+r_3=r_4+r_5+r_6=\cdots=r_{13}+r_{14}+r_{15}=24$ $r^2_1+r^2_2+r^2_3=r^2_4+r^2_5+r^2_6=\cdots=r^2_{13}+r^2_{14}+r^2_{15}=248$ WLOG $r_1=15$ จะได้ $r_2 \ge 5$ หรือ $r_3 \ge 5$ ทำให้ $r_1^2+r_2^2+r_3^2 > 248$ เกิดข้อขัดแย้ง ปล.1 อย่าพึ่งรีบ hint สิครับ ปล.2 อาจารย์ในค่ายค่อนข้างชอบอสมการที่มีค่ากึ่งกลางนะ ไว้ว่างๆจะหาโจทย์มาให้น้องในค่ายทำเหมือนกัน แต่ช่วงนี้ก็ไม่ค่อยได้ทำโจทย์ละครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
|
#24
21 ตุลาคม 2016, 16:35
|
||||
|
||||
|
ให้ข้อคลาสสิกไปข้อนึงดีกว่า
ในลำดับที่ประกอบด้วยจำนวน $ab+1$ จำนวนซึ่งแตกต่างกันทั้งหมด จงพิสูจน์ว่าจะมีลำดับย่อยซึ่งมีสมาชิก $a+1$ ตัวและเป็นลำดับเพิ่ม หรือมีสมาชิก $b+1$ ตัวและเป็นลำดับลด นิยาม: ลำดับย่อยคือลำดับที่เกิดจาก delete สมาชิกในลำดับเริ่มต้นออกไปบางตัว โดยไม่เปลี่ยนตำแหน่งของตัวที่เหลือ https://en.wikipedia.org/wiki/Subsequence
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล ---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
|
|
#25
21 ตุลาคม 2016, 17:48
|
|||
|
|||
|
วิธีผมเอง ไม่รู้มีใครทำแบบนี้ป่าว
ให้ $s_1,s_2,s_3,...,s_{ab+1}$ สมมติขัดแย้งว่า ทุกๆลำดับย่อยเพิ่มแท้ มีความยาวไม่เกิน $a$ และ ทุกๆลำดับย่อยลดแท้ มีความยาวไม่เกิน $b$ จะทาสีตัวเลขทุกตัว โดยให้ $f(n)$ แทนสีของ $s_n$ โดยทาสีตามขั้นตอนต่อไปนี้ 1. ทาสี $s_1$ ด้วยสีที่ 1 จากนั้นหาตัวแรกที่น้อยกว่า $s_1$ ให้เป็นตัวที่ $t_{1,2}$) 2. ทำนองเดียวกัน หาตัวแรกที่น้อยกว่า $s_{t_{1,2}}$ ให้เป็นตัวที่ $t_{1,3}$ จากนั้นทำไปเรื่อยๆจนจบลำดับ 3. ทาสี $s_{t_{1,k}}$ ด้วยสีที่ 1 ทุกๆ $k$ 4. ดำเนินการเช่นนี้ไปเรื่อยๆ โดยเริ่มจากตัวแรกที่ไม่ถูกทาสี และให้สีเป็น $2,3,4,...$ ไปเรื่อยๆ สังเกตว่าจะมีช่องที่ทาสีที่ $i$ อยู่ไม่เกิน $b$ ช่อง (เพราะมิฉะนั้นจะเกิดลำดับลดความยาว $b+1$) และมีสีไม่เกิน $a$ สี เพราะตัวแรกที่ทาสีที่ $i$ สำหรับ $i=1,2,3,...$ จะทำให้เกิดลำดับเพิ่ม เพราะฉะนั้น จำนวนพจน์ต้องมีไม่เกิน $ab$ พจน์ ซึ่งเป็นข้อขัดแย้ง
|
|
#26
21 ตุลาคม 2016, 20:51
|
|||
|
|||
|
อ้างอิง:
ให้ สร้างรังนกดังนี้ รังที่ $i$ คือ [$\frac{i-1}{2555*2012}$,$\frac{i}{2555*2012}$] โดยที่ $i=1,2,3,...,2012*2555$ จาก $x$ เป็นจน.อตรรกยะให้ {$ax+b$} เป็นนกอนันต์ตัวซึ่งชัดเจนว่าเป็นอตรรกยะ จึงไม่มีนกที่อยู่ $2$ รัง ซึ่งมีนกอยู่เป็นอนันต์ตัวและมีรัง 2012*2555 รัง จึงมีอย่างน้อย $1$ รัง ที่มีนกอย่างน้อย $2$ ตัว ให้ $a_kx+b_k,a_jx+b_j$ เป็นนก $2$ ตัว ดังนั้น ให้ $a_0 = a_k - a_j$ และ $b_0 = b_k - b_j$ ได้มี $a_0x+b_0 < c+\frac{1}{2012*2555}$ ดังนั้นมี $a_1=a_0$ และ $b_1=b_0-c$ ที่ $a_1x+b_1 < \frac{1}{2012*2555}$ ให้ $g=a_1x+b_1$ ให้ $\left\lceil\,\frac{1}{2554g}\right\rceil = m$ ดังนั้น $mg \geqslant \frac{1}{2554} > \frac{1}{2555}$ และ $mg $ $\leqslant g(\frac{1}{2554g} + 1)$$ = \frac{1}{2554} +g < \frac{1}{2554} + \frac{1}{2555*2012} < \frac{2013}{2554*2012} < \frac{2554}{2554*2012} < \frac{1}{2012} $ ดังนั้นจึงมี $a,b$ ที่สอดคล้องกับที่โจทย์ต้องการ 09 เมษายน 2017 12:18 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ Lspeed
|
| |
หัวข้อคล้ายคลึงกัน
|
||||
| หัวข้อ | ผู้ตั้งหัวข้อ | ห้อง | คำตอบ | ข้อความล่าสุด |
| prove minkowski's inequality if p is infinity and essential supremum | rainbowpark | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 0 | 20 สิงหาคม 2009 22:43 |
| 1^infinity ไม่เท่ากบ1เพราะ? | 000 | คณิตศาสตร์อุดมศึกษา | 3 | 03 มิถุนายน 2009 21:08 |
| เครื่องมือของหัวข้อ | ค้นหาในหัวข้อนี้ |
|
|
