Mathcenter Forum  

Go Back   Mathcenter Forum > คณิตศาสตร์โอลิมปิก และอุดมศึกษา > อสมการ
สมัครสมาชิก คู่มือการใช้ รายชื่อสมาชิก ปฏิทิน ค้นหา ข้อความวันนี้ ทำเครื่องหมายอ่านทุกห้องแล้ว

ตั้งหัวข้อใหม่ Reply
 
เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
  #1  
Old 21 มกราคม 2017, 07:37
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default อสมการ

จงเเสดงว่า ทุกๆ $a,b,c>0$ ที่สอดคล้องกับ $a+b+c=1$ $$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{2\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #2  
Old 21 มกราคม 2017, 07:46
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

For any positive real $a,b,c$ with $a+b+c=1$, $$\frac {ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+3(ab+bc+ca)\ge 2$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

21 มกราคม 2017 08:23 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 2 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #3  
Old 22 มกราคม 2017, 23:43
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

ทำได้แต่ข้อ 2 อะ ข้อ 1 ยังไม่มีไอเดียดีๆเลย

จากโจทย์ Homogenize อสมการเป็น

$(a+b+c)(a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2)+3abc(ab+bc+ca) \geq 2abc(a+b+c)^2$

จากนี้ สมมติให้ $c$ มากสุด ดังนั้น $c \geq a,b$

จัดรูปเป็น $(c^3-abc+bc^2+c^2a)(a-b)^2+(a^2b+ab^2)(a-c)(b-c) \geq 0$

ซึ่งก็จริงจาก $c^3 \geq abc$ กับ $(a-c)(b-c) \geq 0$

ปล. โจทย์จากไหนครับ แต่งเองใช่ป่าว สวยดีนะครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #4  
Old 23 มกราคม 2017, 08:11
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
จงเเสดงว่า ทุกๆ $a,b,c>0$ ที่สอดคล้องกับ $a+b+c=1$ $$\frac{ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+\frac{2\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$$
ข้อหนึ่งครับ
ไม่เคยทำวิธีแบบคุณ Aquila เป็นเลย - - แต่ก็เป็นวิธีที่สวยดีครับ

by A.M-G.M
$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{(a+c)(b+c)}{c}+\frac{\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 5$
$\displaystyle \therefore \sum_{cyc} \dfrac{ab}{c}+\frac{2\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #5  
Old 24 มกราคม 2017, 00:44
Thgx0312555's Avatar
Thgx0312555 Thgx0312555 ไม่อยู่ในระบบ
กระบี่ประสานใจ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 12 สิงหาคม 2011
ข้อความ: 885
Thgx0312555 is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
For any positive real $a,b,c$ with $a+b+c=1$, $$\frac {ab}{c}+\frac{bc}{a}+\frac{ca}{b}+3(ab+bc+ca)\ge 2$$
$\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}$
$=(a+b+c)(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ca}{b}) = a^2(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b})+b^2(\dfrac{c}{a}+\dfrac{a}{c})+c^2(\dfrac{a}{b}+\dfrac{b}{a})+ab+bc+ca$
$\ge 2a^2+2b^2+2c^2+ab+bc+ca = 2-3(ab+bc+ca)$

ข้อสองครับ
__________________
----/---~Alice~ จงรับรู้ไว้ ชื่อแห่งสีสันหนึ่งเดียวที่แสดงผล
---/---- ~Blue~ นี่คือ สีแห่งความหลังอันกว้างใหญ่ของเว็บบอร์ดนี้
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #6  
Old 24 มกราคม 2017, 08:02
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Thgx0312555 View Post
ข้อหนึ่งครับ
ไม่เคยทำวิธีแบบคุณ Aquila เป็นเลย - - แต่ก็เป็นวิธีที่สวยดีครับ

by A.M-G.M
$\displaystyle \sum_{cyc} \dfrac{(a+c)(b+c)}{c}+\frac{\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)}+\frac{\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)} \ge 5$
$\displaystyle \therefore \sum_{cyc} \dfrac{ab}{c}+\frac{2\sqrt{abc}}{(a+b)(b+c)(c+a)}\ge 2$
สวยดีครับ

ผมมองเป็น AM-GM แบบนี้ไม่ค่อยจะออกเหมือนกัน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #7  
Old 24 มกราคม 2017, 08:55
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

#3 ใช่ครับ
#4 เป็นวิธีที่ผมใช้เเต่งเลยครับ

ปล.เก่งกันมากครับ นึกว่าจะไม่มีคนมาเล่นซะเเล้ว
__________________
Vouloir c'est pouvoir
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #8  
Old 24 มกราคม 2017, 09:27
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ จูกัดเหลียง View Post
#3 ใช่ครับ
#4 เป็นวิธีที่ผมใช้เเต่งเลยครับ

ปล.เก่งกันมากครับ นึกว่าจะไม่มีคนมาเล่นซะเเล้ว
มีโจทย์สวยๆก็เอามาแปะเพิ่มไว้ก็ได้นะครับ

อสมการผมร้างมาเป็นปีๆเลยครับ อยากจะเอากลับมาทวนเหมือนกัน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #9  
Old 27 มกราคม 2017, 09:49
จูกัดเหลียง's Avatar
จูกัดเหลียง จูกัดเหลียง ไม่อยู่ในระบบ
ลมปราณไร้สภาพ
 
วันที่สมัครสมาชิก: 21 กุมภาพันธ์ 2011
ข้อความ: 1,234
จูกัดเหลียง is on a distinguished road
Default

เพิ่มครับ

(Proposed by Adil Abdullayev) For $x,y,z>0$ $$\sqrt{1+\frac{(x+y)(y+z)(z+x)}{xyz}}\ge \sqrt{\frac{x}{y}}+\sqrt{\frac{y}{z}}+\sqrt{\frac{z}{x}}$$
__________________
Vouloir c'est pouvoir

27 มกราคม 2017 09:49 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ จูกัดเหลียง
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #10  
Old 27 มกราคม 2017, 19:24
BAWHK BAWHK ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 31 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 12
BAWHK is on a distinguished road
Default

ให้ $a=\frac{x}{y},b=\frac{y}{z},c=\frac{z}{x} จะได้ abc=1$
เเปลงโจทย์เป็น$\sqrt{1+(1+a)(1+b)(1+c)}\geqslant \sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}$
$ \leftrightarrow 1+(1+a)(1+b)(1+c)\geqslant a+b+c+2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$
$ \leftrightarrow (1+ab)+(1+bc)+(1+ca) \geqslant 2\sqrt{ab}+2\sqrt{bc}+2\sqrt{ca}$
ซึ่งสมการบรรทัดสุดท้ายเป็นจริงโดย AM-GM

27 มกราคม 2017 19:24 : ข้อความนี้ถูกแก้ไขแล้ว 1 ครั้ง, ครั้งล่าสุดโดยคุณ BAWHK
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #11  
Old 27 มกราคม 2017, 20:08
Aquila Aquila ไม่อยู่ในระบบ
บัณฑิตฟ้า
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 ตุลาคม 2013
ข้อความ: 412
Aquila is on a distinguished road
Default

อีกวิธีนึงแบบที่ไม่ต้องกระจาย

มันมองเป็น Cauchy ได้อยู่

จัดรูปอสมการ แล้วใช้ well known identity

$\sqrt{(x+y+z)(xy+yz+zx)} \geq \sqrt{xy^2}+\sqrt{yz^2}+\sqrt{zx^2}$

ซึ่งจริงจาก Cauchy สำหรับลำดับ $(y,z,x),(xy,yz,zx)$

ปล. คุณ BAWHK มีโจทย์เจ๋งๆมาแชร์บ้างไหมครับ
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #12  
Old 27 มกราคม 2017, 23:04
BAWHK BAWHK ไม่อยู่ในระบบ
เริ่มฝึกวรยุทธ์
 
วันที่สมัครสมาชิก: 31 ตุลาคม 2016
ข้อความ: 12
BAWHK is on a distinguished road
Default

ให้$x,y,z$ เป็นจำนวนจริงบวก จงเเสดงว่า
$\frac{2x^2+xy}{(y+\sqrt{zx}+z)^2 }+\frac{2y^2+yz}{(z+\sqrt{xy}+x)^2 }+\frac{2z^2+zx}{(x+\sqrt{yz}+y)^2 } \geqslant 1$
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
  #13  
Old 03 กุมภาพันธ์ 2017, 11:23
GG:) GG:) ไม่อยู่ในระบบ
สมาชิกใหม่
 
วันที่สมัครสมาชิก: 11 พฤศจิกายน 2016
ข้อความ: 9
GG:) is on a distinguished road
Default

$(y+\sqrt{zx}+z)^2 \leq (y+2z)(x+y+z)$
It remains to prove that,
${\sum_{cyc} \frac{2x^2+xy}{y+2z}\geq \sum_{cyc} x}$
$\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{2x^2+2xy+2xz}{y+2z} \geq \sum_{cyc} x$
$\leftrightarrow \sum_{cyc} \frac{x}{y+2z}\geq 1$
It is true by Cauchy
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้
ตั้งหัวข้อใหม่ Reply


เครื่องมือของหัวข้อ ค้นหาในหัวข้อนี้
ค้นหาในหัวข้อนี้:

ค้นหาขั้นสูง

กฎการส่งข้อความ
คุณ ไม่สามารถ ตั้งหัวข้อใหม่ได้
คุณ ไม่สามารถ ตอบหัวข้อได้
คุณ ไม่สามารถ แนบไฟล์และเอกสารได้
คุณ ไม่สามารถ แก้ไขข้อความของคุณเองได้

vB code is On
Smilies are On
[IMG] code is On
HTML code is Off
ทางลัดสู่ห้อง


เวลาที่แสดงทั้งหมด เป็นเวลาที่ประเทศไทย (GMT +7) ขณะนี้เป็นเวลา 12:31


Powered by vBulletin® Copyright ©2000 - 2024, Jelsoft Enterprises Ltd.
Modified by Jetsada Karnpracha